Привет! Продолжаем разбирать ОГЭ по информатике 2023. Сегодня посмотрим 3 задание.
Третье задание из ОГЭ по информатике проверяет умение работать с логическим выражением.
В логическом выражении могут использоваться союз И и союз ИЛИ.
Пусть 0 – это ложь, 1 – Истина. Тогда напишем таблицу истинности для союза И и для союза ИЛИ.
Дата регистрации:8 лет назад
Помогите решить уважаемые математики
Задание: Приведите пример пятизначного натурального числа, кратного 3, сумма цифр которого равна их произведению?
Есть ли формула или правило с помощью которых можно решать подобные задачи, или как объяснить школьнику решение.Извините не могу адекватно оценить сложность задачи, так как совсем не математик и учился 20 лет тому.Заранее благодарен.
Дата регистрации:11 лет назад
“Есть ли формула или правило”Наверное никакого общего правила нет, но наверное нужно знать о представлении чисел в десятичной системе счисления, о признаке деления на 3, о том что произведения чисел равно нулю когда хотя бы один из сомножителей равен 0 и о том что старшая цифра целого многозначного числа не может быть равна 0.Отсюда сразу же следует что сумма цифр не может быть равна 0, по условию задачи оно равно произведению, поэтому произведение не может быть равно 0. Из последнего следует что ни одна цифра не равна 0.Также практически очевидно, что если число abcde отвечает условию задачи, то условию задачи отвечают числа с любыми перестановками цифр т.е числа bcdeа, acbed и т.д.Можно еще заметить, что если сумма цифр делится на 3 (признак деления на 3) и равна произведению цифр, то произведение обязательно включает в себя число кратное 3 (3, 6 или 9), а поэтому в число входит либо 3 либо 6 либо 9.Дальше мне стало лень думать и я написал себе программу определяющую подходящие числа методом перебора. В результате работы программы получился такой набор чисел11133113131133113113131311331131113311313131133111Этот набор и есть все пятизначные числа, удовлетворяющие условию задачи, других чисел нет.Странно, что все числа делятся на 9.
Редактировалось 1 раз(а). Последний 22.11.2014 16:55.
Дата регистрации:9 лет назад
ЦитатаДальше мне стало лень думать и я написал себе программу
Не надо. От перестановки цифр ничего не меняется, так что можно принять $a_1 ge a_2ge a_3ge a_4ge a_5$ Так как максимальное значение суммы цифр , равенство возможно при $a_2a_3a_4a_5 le 5$. Вот уже можно и не думать.
Перестановки цифр 11125, так же дают такие числа, произведение цифр которых равно их сумме, хотя и не кратно 3. Однако интересно то, что для любой комбинации остаток от деления на 3 всегда одинаков.
Дата регистрации:14 лет назад
Посты: 13 190
Да, это ужасно интересно!
Цитатаtritraktorka
Перестановки цифр 11125, так же дают такие числа, произведение цифр которых равно их сумме, хотя и не кратно 3. Однако интересно то, что для любой комбинации остаток от деления на 3 всегда одинаков.
Может, это потому так, что (mod 3) ?
добавим, что и сумма цифр числа 22211 тоже равна их произведению. А про остатки от деления на 3 и 9 при перестановки цифр – это из другой оперы.
Редактировалось 2 раз(а). Последний 27.11.2014 01:02.
Дата регистрации:10 лет назад
Посты: 1 972
Вы о каких числах спрашиваете?
Всех, удовлетворяющих условию задачи Или только о наборе чисел, полученных друг из друга перестановкой цифр?
Остаток от деления числа на 9 такой же, как у суммы его цифр. Ну, а сумма цифр от их порядка не зависит.
дважды два – не всегда 5
я имею ввиду числа, получаемые перестановкой
Цифр 1,1,1,2,5 и остаток при делении этих чисел на 3.
Ну, на этот вопрос я вам ответила.
Доказательство такое же, как у признака делимости на 9, который проходят в школе.
числа, получаемые перестановкой цифр
1,1,2,2,2, также имеют одинаковый остаток от деления на 3.Может, это тоже потому так, что 10n≡1 (mod 3) ? Интересно, как это следует?
Данные числа не делятся ни на 9, ни на 3,
Как же для них может быть такое же доказательство, как для признака делимости на 9, который проходят в школе?Даже доказательство того, что они не делятся на 3 и на 9, которое можно получить с помощью приведенного Вами примера не является ещё доказательством того, что остаток от деления на 3 должен быть одинаковым для каждой группы чисел.
Редактировалось 1 раз(а). Последний 27.11.2014 01:40.
Видимо Вы под действием эмоций
погорячились с ответом, уважаемый brukvalub. И это действительно интересно. Рассмотрел шестизначные числа, сумма цифр которых равна их прозведению. Они получаются перестановкой цифр: 1,1,1,1,2,6. Для всех данных чисел остаток от деления на 3 также одинаков.Для четырехзначных чисел, удовлетворяющих условию равенства произведения их цифр сумме этих цифр и получаемых перестановкой цифр 1,1,2,4, также справедливо равенство остатка от деления на 3.Семизначных и более значных чисел, удовлетворяющих условию похоже не существует. Также как двузначных и трёхзначных. Таким образом, похоже, что это свойство присущее группам чисел, обладающих свойством равенства произведения их цифр сумме этих цифр. Вот мне и интересно, откуда следует это свойство?
Редактировалось 1 раз(а). Последний 27.11.2014 10:56.
Дата регистрации:15 лет назад
Посты: 3 635
ЦитатаВот мне и интересно, откуда следует это свойство?
Вот, попробуйте сосчитать, как изменится число, если две рядом стоящие цифры, скажем, a,b, поменять местами.что при этом случится с остатком при делении на 3 или на 9.И потом, если есть два числа из одних и тех же цифр, то можно ли получить одно из другого многократной перестановкой соседних цифр.
Да, Вы правы,
Любые числа, состоящие из одинакового набора цифр имеют один и тот же остаток от деления на 3, но как это следует из того, на что указал уважаемый brukvalub? Что- то я не понимаю.
действительно, разность чисел,
Получаемых перестановкой их цифр всегда кратна 9 и соответственно 3. Осталось понять как это связано с тем, что 10n≡1 (mod 3).
Не существует n-значное число, сумма цифр которого равна их произведению. Найти наименьшее n. По поводу:
ЦитатаСемизначных и более значных чисел, удовлетворяющих условию похоже не существует. Также как двузначных и трёхзначных
Цитатаshadows
Не существует n-значное число, сумма цифр которого равна их произведению. Найти наименьшее n. По поводу:
Разве 2 не будет наименьшим n?
сами найдите такое двузначное число.
Ответы
Союз И похож на умножение в математике. Если в логическом выражении присутствует 0 (ложь), то в итоге тоже получается 0 (ложь). Лишь две единицы дают тоже единицу.
Таблица истинности для союза ИЛИ
Эта операция похоже на суммирование в математике. Лишь 1 или 1 даёт не 2, как в математике, а 1.
Перейдём к решению примерных задач из ОГЭ по информатике 2023.
Напишите наименьшее число X, для которого истинно высказывание:
Нужно, чтобы высказывание было истинным. Посмотрим, когда единица (истина) получается для союза И. Такое происходит только когда слева и справа стоят 1 (единицы).
Получается наш X должен быть больше 16, и число должно быть не нечётное, т.е. чётное! Наименьшее чётное число большее 16 будет 18.
Ответ: 18
Напишите наибольшее целое число x, для которого истинно высказывание:
Опять высказывание должно быть истинным.
С другой стороны X НЕ больше или равно 11, т.е. X должен быть меньше 11 (X < 11).
Наибольшее целое число будет 10.
Ответ: 10
Задача (Союз И)
Напишите наименьшее натуральное двузначное число, для которого истинно высказывание:
НЕ (первая цифра нечётная) И (число делится на 3)
Первая цифра должна быть НЕ нечётная. Значит, она должна быть чётная. Число должно делится на 3. Найдём наименьшее двухзначное число, у которого первая цифра чётная, и оно делится на 3. Это будет 21.
Ответ: 21
Задача (Союз ИЛИ)
Для какого целого числа X ЛОЖНО высказывание:
В этой задаче используется союз ИЛИ. Нужно, чтобы высказывание было ложным. Ложь при союзе ИЛИ получается только в одном случае, когда слева и справа стоят нули.
Получается, что только одно целое число входит в допустимый диапазон. Это тройка.
Ответ: 3
Задача (Частица НЕ над всем выражением)
Напишите наименьшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:
НЕ((x<=200) ИЛИ (x<=100))
Нам нужно сделать выражение истинным. Но всё выражение находится под влиянием частицы НЕ. Можно эту частицу полностью убрать, но воспринимать, как будто нужно сделать выражение ложным. А дальше всё как обычно.
Ложь у союза ИЛИ получается в одном случае.
Наименьшее число получается 201.
Ответ: 201
Задача (Крепкий орешек)
В этой примерной задаче из ОГЭ по информатике применим все приёмы, которые мы разбирали до этого.
Когда союз И выдаёт единицу ?
Посмотрим, когда левое выражение выдаёт 1. Уберём частицу НЕ, но тогда будем смотреть, когда левое выражение выдаёт 0.
Учтём правое от союза И выражение. Наименьшее чётное число получается 102.
Ответ: 102