Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно

На рисунке изображён график функции у = f(x) и отмечены точки А, В, С и D на оси Ох. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

В таблице для каждой точки укажите номер соответствующий характеристике.

Дан график функции.
Точка выше оси Ох, значит значение функции положительно, расположена на промежутке , значит значение производной отрицательно – это .
Точка ниже оси Ох, значит значение функции отрицательно, расположена на промежутке , значит значение производной отрицательно – это .
Точка выше оси Ох, значит значение функции положительно, расположена на промежутке , значит значение производной положительно – это .
Точка ниже оси Ох, значит значение функции отрицательно, расположена на промежутке , значит значение производной положительно – это .

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.

На этой странице вы узнаете

Где проходит граница между теплом и холодом?
Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?
Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?

Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье.

Связь графика функции и производной

Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям.

Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции.

Возьмем график произвольной функции.

Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».

Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным.

В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт.

Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума.

Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке.

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум.

В точках экстремума производная равна 0.

Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х.

Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан

y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х.

Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график.

производная положительна на промежутках возрастания функции;
производная отрицательна на промежутках убывания функции.

Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются.

Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у.

Где проходит граница между теплом и холодом?

Можно представить, что ось х — это полюс, который разделяет тропики и льды. Над осью х всегда будет светить солнце, а температура будет положительной. А вот под осью х всегда будут льды и снега, и температура — отрицательной.

Следовательно, знак производной на ее графике будет совпадать со знаком температуры в тропиках или льдах.

Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней.

В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х.

Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной.

Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:

В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума.
На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать.
На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать.

Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания.

Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки.

В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.

Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).

Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2.

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.

Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?

Представим, что мы составили графики “Заинтересованность зрителей фильмом” и “Наличие в фильме экшн-сцен”. Совпадут ли эти графики? Скорее всего, нет.

Экшн-сцены могут вызывать интерес у зрителей, равно как и романтические сцены или смешные повороты сюжета. Получается, что наличие экшн-сцен и заинтересованность фильмом — это разные величины в кинематографе, хотя и связаны между собой.

Также и графики производной и функции: они зависят друг от друга, но иллюстрируют совсем разные свойства функции, поэтому сильно отличаются.

Связь графика функции и первообразной

Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?

Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию.

F'(x) = f(x)

Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются.

В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу.

Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной.

При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?

Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x).

Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным.

В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.

Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума.

Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0.

Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?

Представим, что в качестве функции у нас выступают кофейные зерна. Тогда производная — то, что мы получаем в результате их переработки — это вкусный напиток.

Из чего получаются сами кофейные зерна? Их собирают с кофейного дерева. То есть зерна будут производной от кофейного дерева, а кофейное дерево — это первообразная.

Фактчек

Графики функции, производной и первообразной связаны между собой.
В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х.
Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной.

Проверь себя

Задание 1.
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?

На промежутках убывания функции.
На промежутках возрастания функции.
В точках экстремума.
Невозможно определить по графику.

Задание 2.
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?

На промежутках возрастания функции.
На промежутках убывания функции.
В точках экстремума.
Невозможно определить по графику.

Задание 3.
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)?

Точка максимума функции.
Точка минимума функции.
Любая произвольная точка на функции.
Невозможно определить по графику.

Задание 4.
Выберите верный вариант:

F(x) = f'(x)
F(x) = f(x)
F'(x) = f'(x)
F'(x) = f(x)

Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4

На этой странице вы узнаете

Почему функции похожи на американские горки?
Как с помощью производной оценить рост популярности видео в соцсети?
Какие фокусы творят тригонометрия и геометрия вместе?

Она спешит на помощь быстрее, чем Чип и Дейл. Она наш спасательный круг в океане математики. Давайте посмотрим, как производная способна на такие чудеса.

Производная

Функции достаточно часто встречаются при решении задач. Они могут быть как составными частями какого-то задания, так и отдельным номером. Разумеется, встречаются не только простые функции. Если открыть банк заданий, то мы удивимся, насколько сложными они бывают. Так что делать с такими сложными и непонятными функциями?

Производная — одно из самых важных понятий математического анализа. С ее помощью можно описать поведение любой функции.

Почему функции похожи на американские горки?

Предположим, мы хотим прокатиться на американских горках. Представим их вид сбоку: это череда подъемов и резких спусков. Мы можем с легкостью описать их: на каких участках будет подъем, а на каких спуск, насколько крутыми они будут, сколько раз вагончик преодолеет границу между подъемом и спуском или спуском или подъемом. Мы даже можем предположить, на каких участках вагончик разгоняется сильнее. Точно так же можно описать и любую функцию.

Представим наши американские горки в виде функции.

Функция будет на некоторых участках возрастать, а на некоторых убывать. Скорость ее изменения на разных участках будет разной.

Скорость изменения функции показывает, насколько сильно будет изменяться значение функции (то есть значение у) при небольшом изменении переменной функции (то есть значения х).

Отложим на нашем графике две точки: х и х₁ и поднимем из них прямые, которые пересекут график в точках А и В. Тогда точка А будет иметь координаты (х;у), а точка В — (х₁;у₁).

Представим, что наш вагончик проехал из точки А в точку В. Расстояние, которое он проехал по горизонтали, будет равно х₁— х, а поднялся он на высоту у₁— у. Для удобства дальнейших рассуждений примем эти расстояния за х и у.

Знак Δ “дельта” — означает изменение величины, то есть разность между тем, что было в точке А и стало в точке В.

Теперь мы можем ввести определение приращения.

Приращение функции — это разность между двумя значениями функции, то есть у.

Приращение аргумента — это разность между двумя значениями аргумента, то есть х.

Скорость изменения функции будет равна отношению приращения функции к приращению аргумента. При этом чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее мы приблизимся к верному значению.

Отсюда мы получаем определение производной функции.

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

Производную функции обозначают как f'(x).

Если мы применим одинаковое приращение аргумента к разным участкам функции, то заметим, что приращение функции также будет разное. Где-то значение у изменится больше, где-то меньше. Именно так изменяется скорость функции на разных ее участках.

Нахождение производной называется дифференцированием.

Как с помощью производной оценить рост популярности видео в соцсети?

Возможно, ситуация не очень похожа на правду, и мы бы сразу попали в топ. Но пусть будет так для удобства цифр.

Геометрический смысл производной

Поскольку в этом примере мы взяли достаточно большое расстояние между значениями х, то АВ — секущая. Если мы будем сокращать расстояние между значениями аргумента, то две точки на графике будут ближе друг к другу, а секущая будет стремиться к касательной.

Следовательно, мы можем описать скорость изменения функции через тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в некоторой точке.

Из этих рассуждений мы можем вывести геометрический смысл производной:

Если провести касательную к функции в некоторой точке, то производная в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона.

Рассмотрим касательную отдельно. Это прямая, которая имеет уравнение y = kx+b, где к — коэффициент наклона.

Тогда мы получаем следующее уравнение:

f'(x) = k = tg(a)

Какие фокусы творят тригонометрия и геометрия вместе?

Геометрический смысл производной — главный совместный номер. Производная равняется тангенсу угла наклона касательной, проведенной к функции в определенной точке.

Знак производной

Построим графики двух прямых с разным углом наклона. Пусть в первом случае k = 1, а во втором k = -1. Тогда получаем графики функций у = х и у = -х.

Заметим, что тангенс угла наклона имеет разные значения в этих случаях: tg(a) = -1 и tg(a) = 1.

Теперь достроим к касательным графики функций. В первом случае точка, к которой проведена касательная, будет лежать на участке функции, на котором она убывает. Во втором случае точка касания будет лежать на возрастающем участке функции.

Чтобы определить, убывает или возрастает функция, нужно посмотреть на ее наклон на участке.

Вспомним американские горки: пусть по функции будет слева направо ехать вагончик. В участках, где вагончик будет подниматься на гору, функция возрастает, а где вагончик съезжает с горки — функция убывает.

Из этих рассуждений мы можем вывести зависимость знака функции и знака производной.

1. Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда производная в данной точке положительна.

В этом случае касательная к функции также будет возрастать.

f'(x) = tg(a). Если tg(a) > 0, то и f'(x) > 0.

2. Функция убывает в точке тогда и только тогда, когда производная в данной точке отрицательна.

В этом случае касательная к функции будет убывать.

f'(x) = tg(a). Если tg(a) < 0, то и f'(x) < 0.

3. Если касательная к функции параллельна оси абсцисс, то производная в этой точке равна 0.

Поскольку прямая будет параллельна оси абсцисс, то у нее не будет угла наклона, а следовательно: k = tg(a) = 0 = f'(x).

Такие точки называются стационарными, это точки экстремума или седловые точки.

Подведем итог.
Знак производной определяется по изначальной функции:

если функция возрастает, то производная положительна;
если функция убывает, то производная отрицательна;
в точках, где функция не возрастает и не убывает (стационарные точки), производная равна 0.

Точки экстремума

Как уже было сказано ранее, производная функции может равняться 0. Она принимает такое значение в точках экстремума.

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум.

На рисунке видно, что точки А и В являются экстремумами. Например, до точки А функция будет возрастать, а после нее уже убывать, то есть наибольшее значение эта функция достигнет именно в точке экстремума.

Если вспомнить наш вагончик, то в точке А он достигнет наибольшую высоту над землей.

Во втором случае аналогичные рассуждения, но функция достигает уже наименьшее значение в точке В.

В теме производной есть такие термины, как “точка минимума” и “точка максимума”.

Точка минимума — это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

В этой точке знак функции меняется с отрицательного на положительный (то есть сначала функция убывала, а потом начала возрастать). Это точка В.

Точка максимума — это точка, в которой достигается максимальное значение функции на отрезке.

В этой точке знак функции меняется с положительного на отрицательный (то есть сначала функция возрастала, а потом стала убывать). Это точка А.

Также с точками экстремума связаны наибольшее и наименьшее значение функции.

Важно!
Следует вспомнить, что когда мы говорим о значении функции, то имеем в виду значение ординаты, то есть у (или f(x)).

Наибольшее значение функции — точка на оси ординат, в которой достигается наибольшее значение функции на заданном отрезке.

Например, в точке А будет достигаться наибольшее значение функции.

Наименьшее значение функции — точка на оси ординат, в которой достигается наименьшее значение функции на заданном отрезке.

В точке В будет достигаться наименьшее значение функции.

Физический смысл производной

Предположим, что некоторая точка движется прямолинейно, и ее путь можно описать по закону х(t). То есть за определенное время t точка пройдет расстояние х.

Физический (механический) смысл производной состоит в том, что производная от функции равняется скорости движения некоторого тела по траектории x(t) в момент времени t. x'(t) = v

Также вспомним, что скорость тела зависит от его ускорения. Тогда, применяя аналогичные рассуждения, получаем:

v'(t) = a

Производную можно брать несколько раз. Например, если мы дважды возьмем производную от x(t), то получим ускорение точки:

Как найти скорость и ускорение точки с помощью производной?

Для этого необходимо воспользоваться физическим смыслом производной: производная от функции равна скорости движения некоторого тела. Производная от скорости равна ускорению тела.

Фактчек

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Скорость изменения функции равняется отношению приращения функции к приращению аргумента. Нахождение производной называется дифференцированием.
Если провести касательную к функции в некоторой функции, то производная в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона. Это геометрический смысл производной.
Производная будет положительна на участках возрастания функции и отрицательна на участках убывания. В стационарных точках (точки экстремума и седловые точки) производная будет равна 0.
Точка минимума — точка, в которой достигается минимальное значение на заданном отрезке, точка максимума — точка, в которой достигается максимальное значение.
Физический (механический) смысл производной состоит в том, что производная от функции равняется скорости движения некоторого тела по траектории x(t) в момент времени t.

Термины

Абсцисса — координата определенной точки на оси Х.

Ордината — координата определенной точки на оси У.

Проверь себя

Задание 1.
Что такое приращение функции?

Разность между значениями у;
Разность между значениями х;
Сумма значений у;
Сумма значений х.

Задание 2.
Чему равна производная?

Котангенсу угла наклона касательной;
Тангенсу угла наклона касательной;
Синусу угла наклона касательной;
Косинусу угла наклона касательной.

Задание 3.
Как меняется знак производной в точке максимума?

Знак производной не меняется;
Производная всегда равна 0 и не имеет знака;
Знак меняется с положительного на отрицательный;
Знак меняется с отрицательного на положительный.

Задание 4.
В каком случае функция будет возрастать?

Если производная положительна;
Если производная отрицательна;
Если производная равна 0;
Ни один из вышеперечисленных случаев.

Задание 5.
Какая величина получится, если дважды взять производную у функции?

Скорость;
Ускорение;
Путь;
Время

Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 3 4. — 1 5. — 1

Задание

На рисунке изображен график функции у=f(х) и отмечены точки А, В, С и D на оси 0х. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

соответствие каждой точке характеристики функции и её производной — График функции y=f(x)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение

Для решения данной задачи будем использовать следующие правило:

Если касательная образует острый угол с осью абсцисс (ось Х), то значение производной положительное. Если тупой угол, то – отрицательное. А если она параллельна оси OХ, то равна нулю.

Точка А: значение функции в точке положительно (так как точка А лежит выше оси ОХ), а значение производной функции в точке отрицательно (касательная образует тупой угол с ОХ) — характеристика 4;

Точка В: значение функции в точке отрицательно (так как точка лежит ниже оси ОХ), и значение производной функции в точке отрицательно (касательная образует тупой угол с ОХ) — характеристика 1;

Точка С: значение функции в точке отрицательно (так как точка лежит ниже оси ОХ), а значение производной функции в точке положительно (касательная образует острый угол с ОХ) – характеристика 3;

Точка D: значение функции в точке положительно (так как точка лежит выше оси ОХ), и значение производной функции в точке положительно (касательная образует острый угол с ОХ) – характеристика 2.

Назад Оглавление Вперед

Задача: Дан график производной функции . Определить, в какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение.

Отбросим лишнее (оставим на чертеже только отрезок )

Требуется определить точку, в которой функция принимает наибольшее значение.

Вспомним статью: Нахождение максимума и минимума функции одной переменной..

Замечание 1: Вторая теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Замечание 2: Это наибольшее и наименьшее значение она достигает или внутри отрезка или на его границах.

Замечание 3: В точке максимума производная функции равна нулю и меняет свой знак с плюса на минус.

В этом случае есть две точки, в которых производная равна нулю, но только при этот график переходит из верхней полуплоскости в нижнюю (т.е. производная меняет свой знак с «+» на «-»).

Вывод: — точка максимума функции на отрезке .

Ответ: в точке функция достигает своего наибольшего значения на отрезке

А зачем, собственно говоря, в условии задачи дано ограничение на рассматриваемый отрезок? И почему именно ?
Рассмотрим и проанализируем отрезок .

1) на интервале производная (а это график производной ) отрицательна, т.е. функция убывает .

2) в точке производная равна 0 и меняет свой знак с «-» на «+», т.е. функция имеет в этой точке минимум.

3) на интервале производная положительна (график лежит выше оси ОХ) , т.е. функция возрастает.

4) в точке производная равна 0 и меняет свой знак с «+» на «-», т.е. функция имеет в этой точке максимум.

5) на отрезке производная отрицательна, т.е. функция убывает.

Построим пример графика, удовлетворяющий пунктам 1) — 6).

В данном случае наибольшее значение функция принимает наибольшее значение на границе интервала в точке , а не в точке максимума .

Только по графику производной сравнивать значение функции практически невозможно, поэтому и взят интервал , на котором функция сначала возрастает, а потом убывает, т.е. думать особо не надо.

Замечание: дан график ПРОИЗВОДНОЙ!!!

На рассматриваемом отрезке производная всюду отрицательна (лежит ниже оси ОХ ), т.е. функция всюду убывает на этом отрезке, типа вот такого:

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в левой точке рассматриваемого отрезка.

Ответ: Функция , определенная на отрезке принимает наибольшее значение в точке

Назад Оглавление Вперед

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции $f\left ( x \right )$ в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

$\boldsymbol{f$

1. На рисунке изображён график функции $y\ =\ f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0 .$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 .$

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке $x_0$ .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

$f$

2. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$
Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0.$

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке $x_0$ функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке $x_0$ образует тупой угол $\alpha$ с положительным направлением оси $X$ . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла $\varphi$ , смежного с углом $\alpha$ .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $tg \varphi = 0, 25.$ Поскольку $\alpha + \varphi = 180^{\circ}$ , имеем:

$tg \alpha = tg(180^{\circ} -\varphi ) = - tg \varphi = -0, 25.$

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая $y\ =\ -\ 4x\ -\ 11$ является касательной к графику функции $y\ =\ x^3 +\ 7x^2 +\ 7x\ -\ 6.$

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции $y=f\left(x\right)$ и прямой $y=kx+b$ в точке $x_0 .$

При $x= x_0$ значения выражений $f\left(x\right)$ и $kx+b$ равны.

При этом производная функции $f\left(x\right)$ равна угловому коэффициенту касательной, то есть $k$ .

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$

$\left\{ \begin{array}{c}x^3+{7x}^2+7x-6=-4x-11 \\{3x}^2+14x+7=-4 \end{array}\right..$

Из второго уравнения находим $x =\ -1$ или $x=-\frac{11}{3}.$ Первому уравнению удовлетворяет только $x = -1$ .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = t^2 - 3t - 29$ , где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t = 3$ с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета: $x\left(t\right)=t^2-3t-29.$

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

$v\left(t\right)=x$ В момент времени $t=3$ получим:

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ , то функция $f (x)$ возрастает.

Если $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ , то функция $f (x)$ убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

5. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ , определенной на интервале $(-3; 9).$ Найдите количество точек, в которых производная функции $f(x)$ равна 0.

Производная функции $f {$ в точках максимума и минимума функции $f(x).$ Таких точек на графике 5.

6. На рисунке изображён график $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ — производной функции $f(x)$ , определённой на интервале $(-6; 5)$ . В какой точке отрезка $[-1; 3]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке $[-1;3]$ производная функции $f(x)$ положительна.

Значит, функция $f(x)$ возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение $f(x).$ Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

7. На рисунке изображён график функции $y= f(x)$ , определённой на интервале $(-3; 8)$ . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y = 1.$

Прямая $y=1$ параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции $y = f(x)$ точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

8. На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-7; 14).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x)$ на отрезке $[-6; 9].$

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке $[-6; 9]$ такая точка всего одна! Это $x=7.$

9. На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-6; 5).$ Найдите точку экстремума функции $f(x)$ на отрезке $[-5; 4].$

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке $[- 5; 4]$ график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке $x = -2.$ В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, $x= -2$ является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция $F(x)$ , для которой $f(x)$ является производной, называется первообразной функции $y = f(x).$ Функции вида $y = F(x) + C$ образуют множество первообразных функции $y = f(x).$

10. На рисунке изображён график $y = F(x)$ — одной из первообразных некоторой функции $f(x)$ , определённой на интервале $(-6; 6).$ Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f(x)=0$ на отрезке $[-4; 4] .$

Функция $F(x),$ для которой $f(x)$ является производной, называется первообразной функции $y = f(x).$

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку $[-4; 4]$ , в которых производная функции $F(x)$ равна нулю. Это точки максимума и минимума функции $F(x).$ На отрезке $[-4; 4]$ таких точек 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» – в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная u0026#8212; профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
07.06.2023

Производная функции. Геометрический смысл производной

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Производная – это скорость изменения функции.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$
.

Покажем, как найти $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$
с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции $y=f{\left( x \right)}$
. Возьмем на нем точку А с абсциссой $x_0$
. Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции $f{\left( x \right)}$
в точке $x_0$
равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем $k=tg \mkern 3mu \alpha$
. Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника $AMN:$

$f$

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси X.

$f$

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке $x_0$
равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции $y=f{\left( x_0 \right)}$
. Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке A функция $f{\left( x_0 \right)}$
возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке A, образует острый угол $\alpha$
с положительным направлением оси X. Значит, в точке A производная положительна.

В точке B наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол $\beta$
с положительным направлением оси X. Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке B производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция $y=f\left( x \right)$
возрастает, ее производная положительна.

Если $f\left( x \right)$
убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках C (точка максимума) и D (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка С — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке С с «плюса» на «минус».

В точке D — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$
положительна, то функция $f\left( x \right)$
возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

1. Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке E касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки E функция возрастала — и после точки E продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

2. Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных. В ней вы найдете производные всех элементарных функций и правила взятия производных, то есть дифференцирования.

Геометрический смысл производной, задачи

Покажем, что такое геометрический смысл производной, на примере нескольких задач из Банка заданий ФИПИ.

Производная функции $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ равна нулю в точках максимума и минимума функции $f(x).$ Таких точек на графике 5.

Задача 2. На рисунке изображен график функции y= $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ ) — производной функции $y=f(x$ ). Сколько точек максимума имеет функция $y=f(x$ ) на отрезке $\ [-1;\ 5]$ ? В ответе запишите это число.

Обратите внимание, что на этом рисунке изображен не график функции, а график ее производной.

В вариантах ЕГЭ по математике таких задач много. Пользуясь графиком производной, надо ответить на вопрос о поведении функции.

В точке максимума функции производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Такая точка на отрезке $[-1;\ 5]$ на графике одна.

Задача 3. На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0.$

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке (то есть угловому коэффициенту касательной).

Это геометрический смысл производной.

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$

В точке $x_0\$ функция y = f(x) убывает. Касательная, проведенная к ее графику в этой точке, образует тупой угол $\beta$ с положительным направлением оси Х. Найдем тангенс острого угла $\alpha ,$ смежного с углом $\beta .$

$\alpha +\beta =180{}^\circ.$

$tg\beta =-tg\alpha =\ -0,5.$

Задача 4. На рисунке изображен график производной функции $f(x),$ определенной на отрезке $[-3;\ 7].$ В какой точке отрезка $[1;\ 5]$ $f(x)$ принимает наименьшее значение?

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 1,5.

Значит, $x=1,5$ – точка минимума функции $f(x).$

Поэтому и свое наименьшее значение функция $y\ =\ f(x)$ принимает в точке 1,5.

Задача 5. На рисунке изображен график $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ — производной функции $y = f(x).$ В какой точке отрезка $[1; 5]$ функция $y = f(x)$ принимает наименьшее значение?

На рисунке есть такая точка, и это x = 3.

Слева от этой точки производная отрицательна, и функция убывает. Справа от точки x = 3 производная положительна, и функция возрастает.

Значит, $x=3$ – точка минимума функции $f(x).$

Кстати, вид графика функции $f(x)$ определить нетрудно. Это квадратичная парабола с ветвями вверх.

Задача 6. На рисунке изображен график $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ производной непрерывной функции $y=f(x).$ В какой точке отрезка $[-4;\ -\ 1]$ функция $y=f(x)$ принимает наибольшее значение?

На отрезке $\left[-4;1\right]$ расположена точка $x=-2,5,$ в которой производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-».

Это значит, что $x=-2,5\$ — точка максимума функции $f(x)$ на отрезке $\left[-4;1\right]$ и наибольшее значение функция $f(x)$ принимает именно в этой точке.

Ответ: – 2,5.

Точка минимума функции f(x) — это x = 0. В этой точке производная равна 0 и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Слева от точки 0 производная отрицательна, функция убывает. Справа от этой точки производная положительна, функция возрастает.

Наименьшее значение на отрезке достигается при x = 0.

Задача 8. На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0.$

Производная функции $f(x)\$ в точке $x_0$ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции $f(x)\$ в этой точке.

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$

$y=kx+b$ – касательная к $f(x).$

В точке $x_0$ производная отрицательная, $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ т.к. функция $f(x)$ — убывает в этой точке.

$\alpha$ — угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.

Угол $\alpha$ — тупой, а смежный с ним угол $\varphi$ — острый.

$tg\alpha =-tg\varphi =-\displaystyle \frac{3}{8}=-0,375.$

Задача 9. На рисунке изображен график непрерывной функции f(x) и касательные CD и MN, проведенные к ее графику в точках А и В. Найдите отношение значений производной функции f(x) в точках А и В.

Найдём значения производных в точках А и В с помощью графика.

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ где $\alpha$ — угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0.$

Для точки А: $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$

Для точки В: $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$

Условия касания

Пусть прямая $y=kx+b$ касается графика функции $y=f(x)$ в точке $x_0.$ Тогда для точки $x_0$ выполняются условия касания:

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$

Первое уравнение показывает, что значения функций $y=f(x)$ и $y=kx+b$ в точке $x_0$ равны друг другу. Это верно, поскольку эта точка лежит и на одном, и на другом графике.

Второе условие показывает, что производная функции $f(x)\$ в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.

Задача 10. Прямая $y=7x+b$ касается графика функции $f(x)=2x^3-x^2+3x-4,$ причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.

Запишем условие касания:

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$

$\left\{ \begin{array}{c}2x^3-x^2+3x-4=7x+b \\6x^2-2x+3=7 \end{array}\right. .$

Начнем со второго уравнения:

$6x^2-2x-4=0;$

$D=b^2-4ac=4+4\cdot 6\cdot 4=4\cdot 25={10}^2;$

$x_{1,2}=\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\displaystyle \frac{2\pm 10}{12};$

$x_1=1;\ \ x_2=-\displaystyle \frac{2}{3}.$

Т.к. $x_0\textgreater 0,$ то $x_0=1.$

Найдем $b,$ подставив $x_0\$ в первое уравнение:

$b=-7.$

Условия касания встречаются нам не только в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, но и в задачах с параметрами. Более того, это один из приемов решения уравнений и неравенств с параметрами.

Физический смысл производной

Мы узнали, что такое геометрический смысл производной. Научились находить производную с помощью графика функции и решать задачи ЕГЭ. Производная помогает нам исследовать функции, находить их точки максимума и минимума, строить графики функций.

И оказывается, что с производной вы познакомились намного раньше — в школьном курсе физики. Вы уже пользовались этим математическим понятием, но не называли его словом «производная».

Вспомним тему «Кинематика» в физике. Это раздел физики, описывающий механическое движение. Величины, которыми описывается движение какого-либо тела, — это скорость v, время t, координата х, если тело движется вдоль прямой. Или координаты x и y, если оно движется по плоскости.

Вспомним формулу для равномерного прямолинейного движения: $x = v \cdot t,$ где x — координата.

Пусть 3 материальных точки — например, три автомобиля — одновременно выезжают с постоянными скоростями из точки А и едут по прямолинейному шоссе. На графике показано, как меняется их координата x с течением времени. У какого из автомобилей скорость больше?

Очевидно, у третьего. Считая, что x = vt, для первого автомобиля найдем $v_1$ = 20 км/ч. Возможно, это машина, которая поливает или чистит дорогу, и поэтому так медленно едет. Для второго автомобиля $v_2$ = 40 км/ч, для третьего $v_3$ = 75 км/ч.

Но если пройденный путь, то есть изменение координаты тела, мы разделим на время, то найдем тангенс угла наклона для каждой из этих прямых. Так и есть.

Скорость тела — это производная от его координаты по времени.

А теперь пусть тело, например, автомобиль, движется вдоль оси x, причем его скорость не является постоянной. Зависимость его координаты от времени x(t) показана на графике.

Возьмем на графике точку, соответствующую моменту времени $t_0,$ и проведем в этой точке касательную к графику функции.

Тангенс угла наклона этой касательной численно равен мгновенной скорости тела в момент $t_0.$

$v_{x }(t_0) = tg \alpha .$

Мы получили, что мгновенная скорость — это производная от координаты по времени.

Это физический смысл производной.

Но не только скорость в физике является производной от другой физической величины, координаты.

Ускорение — это производная от скорости по времени. Сила тока — производная от заряда по времени.

Изучая курс физики в школе и в вузе, вы увидите множество уравнений, связывающих одни физические величины с производными других физических величин. Такие уравнения называются дифференциальными. А само действие взятия производной называется дифференцированием.

Вот задача из вариантов ЕГЭ по математике, где используется физический смысл производной.

Задача 11. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Производная — это скорость изменения функции. Мгновенная скорость движущегося тела (материальной точки) является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной.

Найдем на графике s(t) точки, в которых производная функции s(t) равна нулю. Таких точек 6. Это точки максимума и минимума функции s(t).

Изучая высшую математику в вузе, вы узнаете еще одно определение производной.

Производной функции f(x) в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

Это определение есть в вашем школьном учебнике алгебры. Но намного важнее не механически его запомнить, а понять его смысл. Первые шаги к этому мы сделали, определив производную как скорость изменения функции. Мы также узнали, что такое геометрический смысл производной и физический смысл производной.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Производная функции. Геометрический смысл производной» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
07.06.2023

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $\displaystyle y=-{{x^2+289}\over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \ x=17, \hfill \\ x=-17. \end{array} \right.$

Исследуем знаки производной.

В точке $x = 17$ производная $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x= 17$ — точка максимума функции $y(x).$

2. Найдите точку минимума функции $y=2x^2-5x+lnx-3.$

Найдем производную функции.

$y{$

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}\over{x}}=0\Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \ x=1, \\ x={{1}\over{4}}. \end{array} \right.$

Определим знаки производной.

В точке $x = 1$ производная $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, $x= 1$ — точка минимума функции $y(x).$

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция $y=2^t$ монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же $x_0$ , что и точка максимума функции $t\left(x\right)=5-8x-x^2.$ А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при $x=-4$ . В точке $x = -4$ производная $Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x= - 4$ — точка максимума функции ${ t}\left({ x}\right)$ .

Заметим, что точку максимума функции $t\left(x\right)=5-8x-x^2$ можно найти и без производной.

Графиком функции $t\left(x\right)$ является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение $t\left(x\right)$ достигается в вершине параболы, то есть при $x=-\frac{8}{2}=-4.$

Ответ: – 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=\sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по $X.$

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция $y=\sqrt{z}$ монотонно возрастает, точка максимума функции $y=\sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции $t\left(x\right)=4-4x-x^2.$

Это вершина квадратичной параболы $t\left(x\right)=4-4x-x^2;x_0=\frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции $y=x^3+2x^2-4x+4$ на отрезке $[-2;0].$

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции $y=x^3+2x^2-4x+4$ с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=\frac{-4\pm 8}{6};x_1=\frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке $x = - 2$ производная равна нулю и меняет знак с “+” на “-“. Значит, x = – 2 — точка максимума функции $y(x)$ . Поскольку при $x\in [-2;0]$ функция $y(x)$ убывает, $y_{max}\left(x\right)=y\left(-2\right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке $[0,3;3].$

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

Точка $x_1=1$ — точка минимума функции $y\left(x\right)$ . Точка $x_2=\frac{1}{4}$ не лежит на отрезке $[0,3;1].$ Поэтому

Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно и Значит, наименьшее значение функции на отрезке $\left[0,3;1\right]$ достигается при $x=1.$ Найдем это значение.

$y_{min}\left(x\right)=y\left(1\right)=4-10-5=-11.$

7. Найдите наименьшее значение функции $y=9x-{\ln \left(9x\right)}+3$ на отрезке $\left[\frac{1}{18};\frac{5}{18}\right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

$y=9x-{\ln \left(9x\right)}+3=9x-{\ln 9-{\ln x}}+3.$

Мы применили формулу для логарифма произведения. $y$ при $x=\frac{1}{9}.$

Если Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно то Если , то

Значит, $x=\frac{1}{9}$ — точка минимума функции $y(x)$ . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $\left[\frac{1}{18};\frac{5}{18}\right].$

$y_{min}\left(x\right)=y\left(\frac{1}{2}\right)=1+3=4.$

8. Найдите наибольшее значение функции $y(x)=14x-7tgx-3,5\pi +11$ на отрезке $\left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right].$

Найдем производную функции $y(x)=14x-7tgx-3,5\pi +11.$ $y$

Приравняем производную к нулю: $14-\frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=\frac{1}{2}.$

${cos}^2x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $x\in \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right], y$ если $x=\pm \frac{\pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $\left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right].$

При $x=\frac{\pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=\frac{\pi }{4}$ — точка максимума функции $y(x).$

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-\frac{\pi }{3}$ и $x =\frac{\pi }{4}.$

$y\left(\frac{\pi }{4}\right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{\pi }{4}\right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-\frac{\pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$ если $e^x=4.$ Тогда $x=ln4.$

Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно При $x=ln4$ знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, $x=ln4$ — точка минимума функции $y(x).$ $y\left(ln4\right)=4^2-8\cdot 4+9=16-32+9=-7.$

10. Найдите наибольшее значение функции $y=12cosx+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\pi +6$ на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}.\right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$

$Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно$
$12sinx=6\sqrt{3};$

$sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

По условию, $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ . На этом отрезке условие $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=\frac{\pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=\frac{\pi }{3}.$

В точке $x_0=\frac{\pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=\frac{\pi }{3}$ — точка максимума функции $y(x)$ . Других точек экстремума на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции ${ y=12cosx+6}\sqrt{{ 3}}{ }{ x}{ -}{ 2}\sqrt{{ 3}}{ }\pi { +6}$ на отрезке $\left[{ 0};\frac{\pi }{{ 2}}\right]$ достигается при ${ x=}\frac{\pi }{{ 3}}.$

$y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{\pi }{3}\right)=12.$

11.Найдите наименьшее значение функции $y=16x-6sinx+6$ на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно — нет решений.

Что это значит? Производная функции $y=16x-6sinx+6$ не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку $cosx\le 1$ , получим, что Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно для всех $x$ , и функция $y\left(x\right)=16x-6sinx+6$ монотонно возрастает при $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $\left[{ 0};\frac{\pi }{{ 2}}\right]$ , то есть при $x=0.$

$y_{min}\left(x\right)=y\left(0\right)=6.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.06.2023

Значение функции в точке положительно а значение производной функции в точке отрицательно

На этой странице вы узнаете

Связь графика функции и производной

Связь графика функции и первообразной

Фактчек

Проверь себя

На этой странице вы узнаете

Производная

Геометрический смысл производной

Знак производной

Точки экстремума

Физический смысл производной

Фактчек

Термины

Проверь себя

Задание

Решение

Производная функции. Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной, задачи

Условия касания

Физический смысл производной

Добавить комментарий Отменить ответ