«Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
1. Выберите все верные утверждения о физических явлениях, величинах и закономерностях.
Запишите в ответ их номера.
1) Вектор скорости материальной точки всегда направлен по касательной к её траектории.
2) В процессе кристаллизации постоянной массы вещества его внутренняя энергия увеличивается.
3) Разноимённые точечные электрические заряды отталкиваются друг от друга.
4) Явления интерференции и дифракции могут наблюдаться в любом диапазоне электромагнитных волн.
5) При переходе атома из одного стационарного состояния в другое стационарное состояние атом испускает или поглощает фотон.
2. Даны следующие зависимости величин:
А) зависимость потенциальной энергии гравитационного взаимодействия от высоты, на которую поднято тело;
Б) зависимость электроёмкости плоского конденсатора от расстояния между пластинами;
В) зависимость давления идеального газа от температуры при изотермическом процессе.
Установите соответствие между этими зависимостями и видами графиков, обозначенных цифрами 1−5. Для каждой зависимости А−В подберите соответствующий вид графика и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
3. Две звезды одинаковой массы притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю F. Во сколько раз уменьшился бы модуль сил притяжения между звёздами, если бы расстояние между их центрами увеличилось в 1,5 раза, а масса каждой звезды уменьшилась в 2 раза?
4. Мальчик столкнул санки с вершины горки. Сразу после толчка санки имели скорость 5 м/с. Высота горки 10 м. Трение санок о снег пренебрежимо мало. Какова скорость санок у подножия горки? (Ответ дайте в метрах в секунду.) Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с 2 .
Тело массой 0,2 кг подвешено к правому плечу невесомого рычага (см. рисунок). Груз какой массы надо подвесить ко второму делению левого плеча рычага для достижения равновесия?
6. Из лёгкого жёсткого стержня сделан горизонтальный рычаг с длинами плеч 40 см и 200 см. К короткому концу рычага на нити подвешен груз массой m, а к длинному концу рычага для уравновешивания приложена некоторая сила. Человек начинает медленно опускать длинный конец рычага, прикладывая к нему вертикально вниз силу (см. рисунок). На графике показана зависимость момента M силы тяжести груза m (относительно точки опоры рычага) от угла α между рычагом и горизонтом.
Из приведённого ниже списка выберите все правильные утверждения на основании анализа графика.
1) При повороте рычага плечо действующей на груз силы тяжести не изменяется.
2) Когда уравновешенный рычаг горизонтален, модуль приложенной к его длинному концу силы равен 0,5 Н.
3) Масса груза m равна 250 г.
4) При увеличении угла α момент силы относительно точки опоры рычага уменьшается.
5) Момент силы относительно точки опоры рычага всё время больше 1 Н·м.
Маленький брусок перемещают на расстояние S по шероховатой горизонтальной поверхности, прикладывая к нему горизонтально направленную силу F. Коэффициент трения между бруском и поверхностью всюду равен
Затем к этому бруску прикладывают такую же по модулю силу, направленную под углом в сторону поверхности (см. рис.), и брусок перемещается на такое же расстояние по той же самой поверхности.
Определите, как по сравнению с предыдущим случаем изменятся модуль силы трения между бруском и поверхностью и работа силы реакции поверхности.
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
8. Два пластилиновых шарика массами m и 2m находятся на горизонтальном гладком столе. Первый из них движется ко второму со скоростью а второй покоится относительно стола. Укажите формулы, по которым можно рассчитать модули изменения скоростей шариков в результате их абсолютно неупругого удара.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
А) Модуль изменения скорости первого шарика
Б) Модуль изменения скорости второго шарика
В сосуде под поршнем находится идеальный газ. В стенке сосуда есть клапан, с помощью которого можно изменять количество газа в сосуде. Перемещая поршень, можно изменять объём сосуда. На диаграмме изображены четыре равновесных состояния газа, соответствующие разным значениям числа N частиц в сосуде и занимаемого газом объёма V. Температура газа поддерживается постоянной. Определите отношение максимального давления в сосуде к минимальному.
10. Два моля идеального одноатомного газа совершают циклический процесс, изображённый на диаграмме (см. рис.). Температура газа в состоянии 2 равна 2000 К. Какое количество теплоты получает газ на участке 2−3 этого циклического процесса? Ответ выразите в килоджоулях и округлите до целого числа.
11. В вертикальном цилиндре под тяжёлым горизонтальным поршнем площадью 0,1 м 2 находится идеальный газ. Атмосферное давление над поршнем равно 10 5 Па, а под поршнем — на 30% выше. Газ медленно нагревают, в результате чего поршень поднимается на высоту 20 см. Какую работу при этом совершает газ? Ответ дайте в джоулях.
12. В сосуде неизменного объема при комнатной температуре находилась смесь водорода и гелия, по 1 моль каждого. Половину содержимого сосуда выпустили, а затем добавили в сосуд 1 моль водорода. Считая газы идеальными, а их температуру постоянной, выберите из предложенного перечня все утверждения, которые соответствуют результатам проведенных экспериментальных исследований, и укажите их номера.
1) Парциальное давление водорода уменьшилось.
2) Давление смеси газов в сосуде не изменилось.
3) Концентрация гелия увеличилась.
4) В начале опыта концентрации газов были одинаковые.
5) В начале опыта массы газов были одинаковые.
13. Постоянное количество идеального газа нагревается так, что его объем изменяется прямо пропорционально температуре. Как в этом процессе изменяются следующие физические величины: давление газа; внутренняя энергия газа?
3) не изменяется
14. При подключении куска проволоки к полюсам батареи через неё течёт ток силой 0,5 А. Этот кусок проволоки сложили пополам, место сгиба разрезали. Затем разрезали каждый получившийся короткий провод на три равные части, зачистили концы и присоединили все эти части к полюсам батареи параллельно. Найдите силу тока, которая будет течь через батарею в этом случае. Внутреннее сопротивление батареи очень мало.
Электрон имеет горизонтальную скорость направленную вдоль прямого длинного проводника с током I (см. рисунок). Куда направлена (вниз, влево, к наблюдателю, вверх, от наблюдателя, вправо) действующая на электрон сила Лоренца ? Ответ запишите словом (словами).
16. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора. В нём наблюдаются гармонические электромагнитные колебания с периодом Т = 5 мс. В начальный момент времени заряд конденсатора максимален и равен Каков будет заряд конденсатора через t = 2,5 мс? (Ответ дать в мкКл.)
17. Исследовалась зависимость напряжения на обкладках конденсатора от заряда этого конденсатора. Результаты измерений представлены в таблице.
Погрешности измерений величин q и U равнялась соответственно 0,005 мКл и 0,01 В.
Выберите все утверждения, соответствующие результатам этих измерений.
1) Электроёмкость конденсатора примерно равна 5 мФ.
2) Напряжение на конденсаторе возрастает с увеличением заряда.
3) Для заряда 0,02 мКл напряжение на конденсаторе составит 0,12 В.
4) Для заряда 0,06 мКл напряжение на конденсаторе составит 0,5 В.
5) Напряжение на конденсаторе не зависит от заряда.
Маленький шарик массой m c зарядом q, закреплённый на непроводящей невесомой нерастяжимой нити, равномерно вращается, двигаясь по гладкой горизонтальной поверхности по окружности с некоторой постоянной по модулю скоростью V в однородном вертикальном магнитном поле Как изменятся модули действующих на шарик силы Лоренца и силы натяжения нити, если увеличить массу шарика, не изменяя других параметров?
Модуль силы Лоренца
Модуль силы натяжения нити
19. В первой экспериментальной установке положительно заряженная частица влетает в однородное электрическое поле так, что вектор скорости перпендикулярен вектору напряжённости (рис. 1). Во второй экспериментальной установке вектор скорости такой же частицы перпендикулярен вектору индукции магнитного поля (рис. 2).
Установите соответствие между экспериментальными установками и траекториями движения частиц в них.
А) в первой установке
Б) во второй установке
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
20. Покоящийся атом поглотил фотон с энергией Чему равен импульс атома после поглощения? (Ответ дайте в )
21. Ядро элемента претерпевает гамма-распад. Как изменятся следующие физические величины: зарядовое число; массовое число у образовавшегося (дочернего) ядра по отношению к исходному?
22. На фотографии представлена электрическая цепь, состоящая из источника тока (1), реостата (2), ключа (3), амперметра (4) и вольтметра (5). Абсолютная погрешность измерения приборов равна половине цены деления. Укажите верную запись показаний вольтметра и погрешность. В ответе запишите значение и погрешность слитно без пробела.
Школьник проводит термодинамические эксперименты, используя стакан с кипящей водой, подвешенные на нитях шарики, калориметр с водой и термометр. Сначала школьник погружает металлический шар в кипяток, а затем, дождавшись прогревания шара, переносит его в калориметр и измеряет установившуюся температуру воды в нём. Школьник зарисовал схемы оборудования, которое он использовал при проведении пяти разных опытов (калориметр школьник применял один и тот же, но воду комнатной температуры он каждый раз наливал в него заново). Какие два из этих опытов позволяют сделать вывод о наличии зависимости количества теплоты, получаемого телом при нагревании, от массы этого тела?
На тонкую собирающую линзу от удалённого источника падает пучок параллельных лучей (см. рисунок). Как изменится положение изображения источника, создаваемого линзой, если между линзой и её фокусом поставить плоскопараллельную стеклянную пластинку с показателем преломления n (на рисунке положение пластинки отмечено пунктиром)? Ответ поясните, указав, какие физические закономерности Вы использовали. Сделайте рисунок, поясняющий ход лучей до и после установки плоскопараллельной стеклянной пластинки.
25. На рисунке изображен вектор напряженности Е электрического поля в точке С, которое создано двумя неподвижными точечными зарядами и Чему равен заряд если заряд ? (Ответ дать в нКл.)
26. П-образный контур с пренебрежимо малым сопротивлением находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура (см. рис.). Индукция магнитного поля B = 0,2 Тл. По контуру со скоростью v = 1 м/с скользит перемычка сопротивлением R = 5 Ом. Сила индукционного тока в контуре I = 4 мА. Чему равна длина перемычки? Ответ дайте в метрах.
27. Воздушный шар, оболочка которого имеет массу и объём наполняется при нормальном атмосферном давлении горячим воздухом, нагретым до температуры Определите максимальную температуру окружающего воздуха, при которой шар начнёт подниматься. Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.
28. На уроке физики школьник собрал схему, изображенную на рисунке. Ему было известно, что сопротивления резисторов равны и Токи, измеренные школьником при помощи идеального амперметра А при последовательном подключении ключа К к контактам 1, 2 и 3, оказались равными, соответственно, Чему было равно сопротивление резистора ?
29. В фокальной плоскости тонкой линзы с фокусным расстоянием F = 1 м симметрично относительно её главной оптической оси находятся два когерентных точечных источника света S1 и S2 с длиной волны = 546 нм. Расстояние между источниками d = 2 мм. За линзой на некотором расстоянии от неё расположен экран, на котором наблюдаются интерференционные полосы (см. рисунок). Экран параллелен линзе. Найдите период интерференционной картины на экране вблизи точки, где разность хода лучей от этих источников равна нулю.
30. При выполнении трюка «Летающий велосипедист» гонщик движется по трамплину под действием силы тяжести, начиная движение из состояния покоя с высоты Н (см. рисунок).
На краю трамплина скорость гонщика направлена под углом к горизонту. Пролетев по воздуху, гонщик приземляется на горизонтальный стол, находящийся на той же высоте, что и край трамплина. Какова дальность полета L на этом трамплине? Cопротивлением воздуха и трением пренебречь.
Какие законы Вы используете для описания гонщика по трамплину? Обоснуйте их применение к данному случаю.
1) Верно. Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
2) Неверно. В процессе кристаллизации тела постоянной массы внутренняя энергия уменьшается.
3) Неверно. Разноименные точечные заряды притягиваются друг к другу.
4) Верно. Явления интерференции и дифракции присущи всем видам волн.
5) Верно. По второму постулату Бора при переходе из одного энергетического состояния в другое атом излучает или поглощает энергию.
А) Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей, выражается формулой Зависимость потенциальной энергии гравитационного взаимодействия от высоты, на которую поднято тело, — прямая пропорциональная, графиком которой является (1).
Б) Электроёмкость плоского конденсатора выражается формулой Эта зависимость между электроёмкостью и расстоянием между пластинами обратно пропорциональная, графиком
которой является (5).
В) При изотермическом процессе температура постоянна. В координатах (р,Т) график имеет вид (3).
Согласно закону всемирного тяготения сила притяжения между двумя материальными точками прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Во втором случае получим
Сила притяжения уменьшилась бы в 9 раз.
Поскольку трением санок о снег можно пренебречь, для них выполняется закон сохранения полной механической энергии. Пусть m — масса санок, — высота горки, — начальная скорость, а u — искомая скорость санок у подножия горки. Выпишем закон сохранения энергии (потенциальную энергию будем отсчитывать от низа горки):
По правилу рычага Откуда
1) При повороте рычага плечо силы тяжести уменьшается.
2) Когда рычаг уравновешен, момент силы равен моменту силы тяжести груза. Из графика видно, что когда рычаг горизонтален, M = 1 Н·м, значит,
3) Используя значения момент силы тяжести для горизонтального рычага, находим массу груза:
4) При увеличении угла α момент силы относительно точки опоры рычага, равный моменту силы тяжести, уменьшается.
5) Момент силы относительно точки опоры рычага не превосходит 1 Н·м.
В первом случае сила реакции опоры равна N = mg, поэтому сила трения равна Во втором случае сила реакции опоры равна сила трения
Значит, модуль силы трения увеличивается (1). В обоих случаях сила реакции опоры перпендикулярна перемещению, поэтому работа этой силы равна 0 и не изменяется (3).
После абсолютно неупругого удара шарики будут двигаться вместе со скоростью В горизонтальном направлении на них не действуют никакие силы, т. к. стол гладкий, поэтому выполняется закон сохранения импульса: откуда Тогда модуль изменения скорости первого шарика и модуль изменения скорости второго шарика
Из закона Авогадро найдем давление в каждой точке, используя значения из графика:
Таким образом, максимальное значение давления в точке 1, минимальное — в точке 2. Таким образом,
Процесс 2−3 изобарный. По первому закону термодинамики По уравнению состояния газа во второй точке Тогда
В процессе нагревания давление под поршнем остаётся постоянным, т. е. процесс является изобарическим. Тогда работа идеального газа равна:
Вначале сосуде находилась смесь 1 моль водорода и 1 моль гелия. После выпускания половины содержимого сосуда в нём стало 0,5 моль водорода и 0,5 моль гелия. Затем в сосуд добавили 1 моль водорода, в нём стало 1,5 моль водорода и 0,5 моль гелия. Объём сосуда и температура по условию постоянны.
1) Количество водорода увеличилось, значит, его парциальное давление увеличилось.
2) Общее количество вещества одинаково (2 моль), давление смеси газов в сосуде не изменилось.
3) Количество гелия уменьшилось, значит, его концентрация уменьшилась.
4) В начале опыта количество вещества водорода и гелия было одинаковым, концентрации газов были одинаковые.
5) Молярные массы водорода и гелия разные, при одинаковом количестве вещества массы газов были разными.
Верны второе и четвёртое утверждения.
Так как параметр то мы имеем дело с изобарным нагреванием. А значит, давление газа постоянно.
Внутренняя энергия фиксированного количества идеального газа зависит только от температуры, т.е. увеличение температуры приведет к увеличению внутренней энергии газа.
Сопротивление длинного однородного проводника обратно пропорционально площади его сечения: Всю проволоку сопротивлением разрезали на 6 равных частей сопротивлением каждая. Общее сопротивление такой цепи при параллельном соединении будет равно Тогда, по закону Ома, в цепи будет течь ток в 36 раз больший первоначального
Согласно правилу правой руки: «Если отведенный в сторону большой палец правой руки расположить по направлению тока, то направление обхвата провода четырьмя пальцами покажет направление линий магнитной индукции». Следовательно, вектор магнитной индукции поля, создаваемого проводником в точке, где находится электрон, направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас.
Направление силы Лоренца, действующей на положительно заряженную частицу, определяется правилом левой руки: «Если левую руку расположить так, чтобы линии индукции магнитного поля входили в ладонь перпендикулярно ей, а четыре пальца были направлены по току (по движению положительно заряженной частицы или против движения отрицательно заряженной), то отставленный большой палец покажет направление действующей силы Лоренца». Электрон заряжен отрицательно. Мысленно проделав для него описанные выше действия, получаем, что сила Лоренца направлена вертикально вниз в плоскости рисунка.
Поскольку период колебаний равен 5 мс, через 2,5 мс пройдет полпериода, а значит, конденсатор уже успеет разрядиться (за первую четверть периода) и перезарядиться в другом направлении (за вторую четверть). Следовательно, заряд конденсатора будет равен (но знаки зарядов пластин поменяются).
Скорость материальной точки
Согласно определению скорости и определению производной:
Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора: , где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:
, где , ,
– проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора .
Таким образом . Модуль скорости: .
Касательная к траектории
С математической точки зрения, систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение линии (кривой), заданной параметрическими уравнениями. Время , при таком рассмотрении, играет роль параметра. Из курса математического анализа известно, что направляющий вектор для касательной к этой кривой имеет компоненты: . Но это есть компоненты вектора скорости точки. То есть скорость материальной точки направлена по касательной к траектории.
Все это можно продемонстрировать непосредственно. Пусть в момент времени точка находится в положении с радиус-вектором (см. рисунок). А в момент времени – в положении с радиус-вектором . Через точки и проведем прямую . По определению, касательная – это такая прямая , к которой стремится прямая при . Введем обозначения: ; ; . Тогда вектор направлен вдоль прямой .
При стремлении , прямая стремится к касательной , а вектор – к скорости точки в момент времени : . Поскольку вектор направлен вдоль прямой , а прямая при , то вектор скорости направлен вдоль касательной . То есть вектор скорости материальной точки направлен вдоль касательной к траектории.
Введем направляющий вектор касательной единичной длины: . Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку , то: .
Здесь мы направили вектор по направлению к вектору скорости, поскольку это более удобно. Но могут возникнуть случаи, когда точка останавливается и движется по той же траектории в обратном направлении. Чтобы не вводить для одной и той же точки траектории два единичных касательных вектора, нужно охватить случай, когда направлен противоположно скорости. Для этого вводят алгебраическую величину скорости: . Если направления векторов и совпадают, то . Если они противоположны, то . – это проекция скорости на направление единичного вектора . Она равна скалярному произведению этих векторов: .
Абсолютную величину (модуль) вектора скорости мы обозначаем символом с прямыми скобками, или символом без стрелки: ; Алгебраическая величина скорости: .
Тогда вектор скорости точки можно представить в следующем виде: .
Действующая на тело сила и ускорение
Мы выяснили, что вектор ускорения тела направлен в сторону изменения вектора скорости. Тем не менее не всегда можно легко определить, как меняется скорость в данной точке траектории. Более того, для определения изменения скорости необходимо выполнить операцию разности векторов. Чтобы избежать этих трудностей в определении направления вектора a¯, существует еще один способ быстро его узнать.
Ниже записан знаменитый и хорошо известный каждому школьнику закон Ньютона:
Формула показывает, что причиной возникновения ускорения у тел является действующая на них сила. Поскольку масса m является скаляром, то вектор силы F¯ и вектор ускорения a¯ направлены одинаково. Этот факт следует запомнить и применять на практике всегда, когда возникает необходимость в определении направления величины a¯.
Если на тело действуют несколько разных сил, тогда направление вектора ускорения будет равно результирующему вектору всех сил.
Векторы ускорения и скорости. Ускорение и сила. Направления тангенциального и нормального ускорений
Как известно, любая физическая величина относится к одному из двух типов, она является либо скалярной, либо векторной. В данной статье рассмотрим такие кинематические характеристики как скорость и ускорение, а также покажем, куда направлены векторы ускорения и скорости.
Радиус-вектор и траектория точки
Рассмотрим движение материальной точки M . Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с центром в некоторой неподвижной точке O . Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами ( x, y, z ) . Эти координаты являются компонентами радиус-вектора материальной точки.
Радиус-вектор точки M – это вектор , проведенный из начала неподвижной системы координат O в точку M . , где – единичные векторы в направлении осей x, y, z .
При движении точки, координаты изменяются со временем . То есть они являются функциями от времени . Тогда систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение кривой, заданной параметрическими уравнениями. Такая кривая является траекторией точки.
Траектория материальной точки – это линия, вдоль которой происходит движение точки.
Если движение точки происходит в плоскости, то можно выбрать оси и системы координат так, чтобы они лежали в этой плоскости. Тогда траектория определяется двумя уравнениями
В некоторых случаях, из этих уравнений можно исключить время . Тогда уравнение траектории будет иметь зависимость вида: , где – некоторая функция. Эта зависимость содержит только переменные и . Она не содержит параметр .
В физике
Прежде чем рассматривать для механического движения ускорение нормальное и тангенциальное ускорение, познакомимся с самим физическим понятием. Определение ускорения является достаточно простым. В физике под ним понимают характеристику изменения скорости. Последняя является векторной величиной, определяющей быстроту изменения координат движущегося объекта в пространстве. Скорость измеряется в метрах в секунду (расстояние, пройденное за единицу времени). Если ее обозначить символом v¯, тогда математическое определение ускорения a¯ будет выглядеть так:
Это равенство определяет так называемое полное мгновенное ускорение. Мгновенным оно называется потому, что характеризует изменение скорости лишь в данный момент времени.
Если движение является равноускоренным, то есть в течение длительного времени ускорение не меняет своего модуля и направления, тогда можно записать следующую формулу для его определения:
Ускорение измеряется в системе СИ в метрах в квадратную секунду (м/с 2 ).
Движение по окружности и ускорение
Когда тело перемещается по прямой линии, то ускорение направлено либо вперед, либо назад. В случае же движения по окружности ситуация усложняется тем, что вектор скорости постоянно меняет свое направление. В виду сказанного, полное ускорение определяется двумя его составляющими: тангенциальным и нормальным ускорениями.
Тангенциальное ускорение направлено точно так же, как вектор скорости, или против него. Иными словами, эта компонента ускорения направлена вдоль касательной к траектории. Ускорение тангенциальное описывает изменение модуля самой скорости.
Ускорение нормальное направлено вдоль нормали к данной точке траектории с учетом ее кривизны. В случае движения по окружности вектор этой компоненты указывает на центр, то есть нормальное ускорение направлено вдоль радиуса вращения. Эту компоненту часто называют центростремительной.
Полное ускорение представляет собой сумму названных компонент, поэтому его вектор может быть направлен произвольным образом по отношению к линии окружности.
Если тело совершает вращение без изменения линейной скорости, то существует отличная от нуля только нормальная компонента, поэтому вектор полного ускорения направлен к центру окружности. Заметим, что к этому центру также действует сила, удерживающая тело на его траектории. Например, сила гравитации Солнца удерживает нашу Землю и другие планеты на своих орбитах.
Куда направлены векторы ускорения и скорости?
В физике всякое механическое движение тела принято характеризовать определенной траекторией. Последняя представляет собой некоторую воображаемую кривую, вдоль которой тело перемещается в пространстве. Например, прямая линия или окружность – это яркие примеры распространенных траекторий движения.
Вектор скорости тела направлен в сторону движения всегда, независимо от того, замедляется или ускоряется тело, движется оно по прямой или по кривой. Если говорить геометрическими терминами, то вектор скорости направлен по касательной к точке траектории, в которой в данный момент находится тело.
Вектор ускорения точки материальной или тела не имеет ничего общего со скоростью. Этот вектор направлен в сторону изменения скорости. Например, для прямолинейного движения величина a¯ может как совпадать по направлению с v¯, так и быть противоположной v¯.
Вектор скорости материальной точки всегда
Выберите два верных утверждения о физических явлениях, величинах и закономерностях. Запишите в ответе их номера.
1) Вектор скорости материальной точки всегда направлен перпендикулярно к её траектории.
2) Броуновское движение частиц в жидкости происходит и днём, и ночью.
3) Заряженное тело, движущееся в инерциальной системе отсчёта равномерно и прямолинейно, создаёт в пространстве переменное магнитное поле.
4) Луч падающий, луч отражённый и перпендикуляр, проведённый к границе раздела сред из точки падения, лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях.
5) Тепловые нейтроны вызывают деления ядер урана в некоторых типах ядерных реакторов атомных электростанций.
1) Неверно. Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
2) Верно. Броуновское движение — движение взвешенных частиц под действием ударов движущихся молекул. Молекулы движутся непрерывно, потому броуновское движение наблюдается всегда.
3) Неверно. Движущийся равномерно и прямолинейно заряд создает постоянное магнитное поле.
4) Неверно. Луч падающий и луч отраженный лежат в одной плоскости с перпендикуляром, проведенным к отражающей поверхности в точке падения луча.
5) Верно. Некоторые типа ядерных реакций происходят под действием медленных (тепловых) нейтронов.
Траектория движения и компоненты полного ускорения
Чаще всего тела в природе движутся по кривым траекториям. Примерами такого перемещения являются: вращение по своим орбитам планет, параболическое падение камня на землю, поворот автомобиля. В случае криволинейной траектории в любой момент времени скорость направлена по касательной к рассматриваемой точке траектории. Как при этом направлено ускорение?
Чтобы ответить на поставленный выше вопрос, запишем скорость тела в следующей форме:
Здесь ut¯ – вектор скорости единичный, индекс t означает, что он направлен по касательной к траектории (тангенциальная компонента). Символом v обозначен модуль скорости v¯.
Теперь, следуя определению ускорения, можно провести дифференцирование скорости по времени, имеем:
Таким образом, полное ускорение a¯ представляет собой векторную сумму двух компонент. Первое и второе слагаемое называются нормальным и тангенциальным ускорением точки. Подробнее рассмотрим каждую из этих компонент.
Ускорение нормальное
Рассматривая тему скорости, ускорения тангенциального и ускорения нормального, дадим характеристику последней величине. Запишем формулу для нее:
Чтобы записать явно правую часть равенства, воспользуемся следующими соотношениями:
Здесь dL – это пройденный телом путь за промежуток времени dt, r – радиус кривизны траектории. Первое выражение соответствует определению скорости, второе равенство следует из геометрических соображений. Пользуясь этими формулами, получаем конечное выражение для нормального ускорения:
То есть величина an¯ не зависит от изменения скорости, как тангенциальная компонента, а определяется исключительно ее модулем. Нормальное ускорение вдоль нормали к данному участку траектории направлено, то есть к центру кривизны. Например, во время движения по окружности вектор an¯ направлен к ее центру, поэтому нормальное ускорение называют часто центростремительным.
Если за изменение абсолютной величины скорости ответственно ускорение тангенциальное, то нормальная компонента ответственна за изменение вектора скорости, то есть она определяет траекторию перемещения тела.
В физике всякое механическое движение тела принято характеризовать определенной траекторией. Последняя представляет собой некоторую воображаемую кривую, вдоль которой тело перемещается в пространстве. Например, прямая линия или окружность — это яркие примеры распространенных траекторий движения.
Ускорение тангенциальное
Запишем еще раз формулу для этой компоненты полного ускорения:
Это выражение позволяет описать свойства величины at¯:
Эти свойства позволяют сделать важный вывод: для прямолинейного движения полное и тангенциальное ускорения – это одна и та же величина. В случае криволинейного перемещения полное ускорение всегда больше по модулю, чем тангенциальное. Когда рассматривают физические задачи на прямолинейное равноускоренное движение, то ведут речь именно об этой компоненте ускорения.
Ускорение материальной точки
Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат): ; ; ; . Модуль ускорения: .
Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения
Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу: . Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения: .
Вектор направлен по касательной к траектории. В какую сторону направлена его производная по времени ?
Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице: . Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают их скалярное произведение. Продифференцируем последнее уравнение по времени: ; ; . Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.
Скорость, касательное и нормальное ускорение точки M
Первую компоненту называют тангенциальным или касательным ускорением: . Вторую компоненту называют нормальным ускорением: . Тогда полное ускорение: (2) . Эта формула представляет собой разложение ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты – касательную к траектории и перпендикулярную к ней.
Тангенциальное (касательное) ускорение
Также как и для скорости, введем алгебраическую величину вектора касательного ускорения : . Если , то вектор касательного ускорения сонаправлен с . Если , то эти векторы противоположны. Абсолютную величину касательного ускорения будем обозначать прямыми скобками: . Тогда .
Умножим обе части уравнения (2) скалярно на : . Поскольку , то . Тогда ; . Здесь мы положили: . Отсюда видно, что алгебраическая величина тангенциального ускорения равна проекции полного ускорения на направление касательной к траектории. Она также равна производной по времени алгебраической величины скорости точки: .
Подставив , имеем: . Здесь мы учли, что .
Найдем производную по времени модуля скорости . Применяем правила дифференцирования:
Итак, . Отсюда следует, что если между векторами ускорения и скорости острый угол: , то движение ускоренное. Абсолютное значение скорости возрастает. Если между ними тупой угол: , то движение замедленное. Абсолютное значение скорости убывает.
Выразим ускорение через тангенциальное и нормальное: , и учтем, что . Получим: . Тогда предыдущую формулировку можно выразить посредством тангенциального ускорения. Если векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону, то движение ускоренное. Если их направления противоположны, то движение замедленное.
Радиус кривизны траектории
Теперь исследуем вектор .
Рассмотрим вектор в два момента времени – в момент времени t и в момент t 1 . Введем обозначения: . По определению производной: . Пусть в момент времени t , точка находится в положении M , а в момент t 1 – в положении M 1 (см. рисунок).
Рассмотрим случай, когда алгебраическая скорость положительна: . То есть направления векторов и совпадают. Тогда точка M 1 находится справа от M . Через точки и проведем плоскости, перпендикулярные векторам и . Пересечение этих плоскостей образует прямую. Она проходит через точку C перпендикулярно плоскости рисунка. MC – это перпендикуляр, опущенный из точки M на эту прямую.
При , точка стремится к точке , а длина отрезка CM стремится к радиусу кривизны траектории ρ . Поскольку и , то угол между отрезками и равен углу между векторами и . Отложим их для наглядности из одного центра.
Абсолютное значение производной: . Здесь мы учли, что .
Вектор , как указывалось выше, перпендикулярен . В данном случае он направлен вдоль единичного вектора главной нормали , направленной к центру кривизны C траектории. Поэтому при имеем: .
Теперь рассмотрим случай, когда алгебраическое значение скорости отрицательно: . В этом случае, вектор скорости противоположен . Получается тот же рисунок, только точка располагается слева от M . В результате абсолютное значение производной остается прежней: . Но ее направление меняется на противоположное: . Поскольку , то формула сохраняет прежний вид и в этом случае: .
Нормальное ускорение
Теперь находим нормальное ускорение: . Перепишем результат в следующем виде: , где ; – единичный вектор в направлении главной нормали траектории – то есть вектор, направленный к мгновенному центру кривизны перпендикулярно касательной к траектории. Поскольку , то также является модулем нормального ускорения. Для него не нужно вводить алгебраическое значение, как мы это делали для скорости и касательного ускорения. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории.
Из формулы (2) имеем: (4) . Из формулы (3) находим модуль нормального ускорения: .
Умножим обе части уравнения (2) скалярно на : (2) . . Поскольку , то . Тогда ; . Отсюда видно, что модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали.
Выпишем еще раз следующую формулу: . Отсюда видно, что нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории.
Радиус кривизны траектории: .
И в заключении заметим, что формулу (4) можно переписать в следующем виде: . Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов: , в которую подставили .
Итак, мы получили: ; . Приравняем модули левой и правой частей: . Но векторы и взаимно перпендикулярны. Поэтому . Тогда . Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.
Лекция №2. Элементы кинематики
В общем случае при движении тела его скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты изменения скорости движения вводится понятие ускорения.
Рассмотрим плоское движение, т. е. такое, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор υ задает скорость точки А , в момент времени t . За время Δt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от υ как по модулю, так и направлению и равную υ1 = υ +Δ υ . Перенесем вектор υ1 в точку А и найдем Δ υ (рис.). Средним ускорением aср неравномерного движения в интервале времени от t до t+Δt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Δ υ к интервалу времени Δt :
Ускорение в данный момент времени (мгновенное ускорение) представляет собой предел, к которому стремится выражение (1.4.1) при Δt 0 , т. е.
Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.
Разложим вектор Δ υ на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 1.4.1) по направлению скорости υ отложим вектор AD , по модулю равный υ1 . Очевидно, что вектор CD , равный Δ υτ , определяет изменение скорости по модулю за время Δt : Δυτ=υ1−υ . Вторая же составляющая Δυn вектора Δ υ характеризует изменение скорости за время Δt no направлению.
Тангенциальная составляющая ускорения
т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.
Определим вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка B близка к точке A , поэтому Δs можно считать дугой окружности некоторого радиуса r , мало отличающейся от хорды AB . Тогда из подобия треугольников AOB и EAD следует Δυn/AB=υ1/r , но так как AB=υΔt , то Δυn/t=υυ1/r . В пределе Δt 0 , получим υ1 υ .
Поскольку υ1 υ , угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол АDE между υ и Δ υn стремится к прямому. Следовательно, при Δt 0 векторы υ и Δ υn оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Δ υn , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная
называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны. Поэтому эту составляющую ускорения называют также центростремительным ускорением.
Таким образом, полное ускорение тела a есть геометрическая сумма тангенциальной aτ и нормальной an составляющих
Тангенциальное ускорение равно первой производной по времени от модуля скорости и определяет быстроту изменения скорости по модулю, и направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение определяет быстроту изменения скорости по направлению и направлено к центру кривизны траектории.
Векторы aτ и an взаимно перпендикулярны поэтому модуль полного ускорения равен
Классификация движений материальной точки
В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:
1) aτ=0,an=0 — прямолинейное равномерное движение.
2) aτ=const,an=0 — прямолинейное равнопеременное движение.
3) aτ= ƒ(t), an=0 − прямолинейное движение с переменным ускорением.
4) aτ=0, an=const — При таком движении скорость точки не изменяется по модулю, так как тангенциальная составляющая равна нулю, а изменяется только по направлению.
5) aτ=const, an≠const − равнопеременное движение по окружности.
6) aτ=0, an≠0 − равномерное криволинейное движение.
7) aτ=const, an≠0 − криволинейное равнопеременное движение.
Кинематика абсолютно твердого тела
Вращательное движение − это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. При вращательном движении скорости и ускорения различных точек тела неодинаковы. Поэтому в качестве общих кинематических характеристик движения тела при вращении вводятся угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение тела. При вращении тела угол поворота изменяется со временем по некоторому закону ϕ = ϕ(t) , который называется уравнением вращательного движения тела.
Угловой скоростью тела называется вектор, численно равный первой производной по времени от угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:
Вектор угловой скорости направлен по оси вращения, причем так, чтобы вращение, рассматриваемое с конца вектора угловой скорости, происходило против хода часовой стрелки (рис 1.6.1). Единицей угловой скорости является рад/с.
Скорость произвольной точки вращающегося тела называется линейной скоростью этой точки.
При равномерном вращении угловая скорость не изменяется со временем, то есть является постоянной величиной (ω = const) . Тогда
Равномерное вращение характеризуется периодом вращения и частотой вращения.
Частота вращения − это число полных оборотов, которое делает точка при равномерном вращении, за единицу времени: $$ = = $$ , откуда ϕ = 2πn .
Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения .
Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:
При ускоренном вращении вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости, а при замедленном − противоположен ему.
В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε = const) угловая скорость определяется по формуле
Или в скалярном виде
Проинтегрировав выражение (1.6.1) можно получить формулу для угла поворота тела
Исключив из последнего уравнения t , получим
где φ = 2πN , N − число полное число оборотов, совершенных телом.
В случае ε = ε(t) , угловая скорость и закон вращательного движения определяются следующими формулами
Связь между линейными и угловыми характеристиками тела при его вращении
За время dt точка проходит по дуге окружности радиуса R путь dS = Rdφ . Поэтому $$ = = = $$ .
Если угол поворота вращающегося тела представить в виде dφ = ω(t)dt и проинтегрировать в пределах от начального момента времени t1 до конечного момента времени t2 , то получится угол, на который совершила поворот тело за время:
Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения произвольной точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяются формулами:
Полученные соотношения (1.7.1) можно записать в векторном виде. Для этого на оси вращения ОО* (рис. 1.6.1) тела выберем любую точку A и проведем из нее радиус-вектор r в точку M . Векторное произведение ω × r по модулю и направлению совпадает с вектором скорости υ точки M :
Следовательно, можно записать, что вектор скорости υ = ω × r , а вектор ускорения точки