Задание 10. ЕГЭ. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону. В начальной момент времени масса изотопа 44 мг. Период его полураспада составляет 6 мин.
Задание. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону
, где m0 – начальная масса изотопа, t – время, прошедшее от начального момента, T – период полураспада. В начальной момент времени масса изотопа 44 мг. Период его полураспада составляет 6 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 11 мг.
Для того, чтобы найти через сколько минут масса изотопа будет равна 11 мг, решим уравнение:
Следовательно, через 12 мин после начала распада масса изотопа будет равна 11 мг.
Задание 10. ЕГЭ. В начальной момент времени масса изотопа 16 мг. Период его полураспада составляет 10 мин
, где m0 – начальная масса изотопа, t – время, прошедшее от начального момента, T – период полураспада. В начальной момент времени масса изотопа 16 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 2 мг.
Для того, чтобы найти через сколько минут масса изотопа будет равна 2 мг, решим уравнение:
Следовательно, через 30 мин после начала распада масса изотопа будет равна 2 мг.
Задание 10. ЕГЭ. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону. В начальной момент времени масса изотопа 52 мг.
, где m0 – начальная масса изотопа, t – время, прошедшее от начального момента, T – период полураспада. В начальной момент времени масса изотопа 52 мг. Период его полураспада составляет 9 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 13 мг.
Для того, чтобы найти через сколько минут масса изотопа будет равна 13 мг, решим уравнение:
Следовательно, через 18 мин после начала распада масса изотопа будет равна 13 мг.
Подготовка к ГИА-2021 в 9 классе
Задание 14. «Числовые последовательности»
По сравнения с прошлыми годами в ГИА – 2021 по математике в 9 классе в задании 14 изменились формулировки задач. Теперь они выглядят как обычные текстовые задачи.
Для решения данных задач нам понадобятся формулы арифметической и геометрической прогрессий (данные формулы имеются в справочных материалах):
Решим задачи, предложенные в «Открытом банке ОГЭ» на сайте ФИПИ:
В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
«на 3 места» – значит, имеем дело с арифметической прогрессией
По условию задачи: а1 = 25, d= 3. Найти: а8.
Воспользуемся формулой: an = а1+ d (n-1).
а8 = 25 + 3(8-1) = 25+21=46.
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут.
В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты.
Ответ дайте в миллиграммах.
«уменьшается вдвое» – значит, имеем дело с геометрической прогрессией
По условию задачи: b1 = 640, q=
(так как масса уменьшается вдвое).
Найти: b7 (так как n =42 мин : 7 мин + 1=7).
Воспользуемся формулой: bn = b1 * qn-1
b7 = 640 * (
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в три раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
«увеличивается в три раза» – значит, имеем дело с геометрической прогрессией
По условию задачи: b1 = 13, q=
. Найти: b4 (так как n =90 мин : 30мин + 1=4).
b4 = 13 * 34-1= 13*27 = 351
а клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10.
Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.
Рассмотрим рисунок и обратим внимание, что самое маленькое звено равно 1 клетке и повторяется дважды, следующее звено равно 2 клетки и также повторяется дважды и так далее. Мы видим, что есть определенная закономерность: 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10.
По условию: а1 = 1, d= 1, n=120. Найти: S120.
= 121*60 = 7260
Теперь полученный результат нужно умножить на 2: 7260*2=14520
5 января 2012
Часто бывает, что в одной задаче B12 присутствует и функция, и формула. В таких задачах кроме основной переменной присутствуют дополнительные неизвестные, значения которых надо искать где-то в тексте.
Общая схема решения почти ничем не отличается от задач с формулами (см. урок «Работа с формулами в задаче B12»). В двух словах: найти в тексте числа и подставить их в исходную формулу. Если все сделать правильно, получится стандартное уравнение с одной переменной.
Задача. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:
где 0 (мг) — начальная масса изотопа, (мин) — время, прошедшее от начального момента, (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 0 = 56 мг. Период его полураспада = 7 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 7 мг?
По условию, известны следующие величины: 0 = 56; = 7. Подставим их в функцию — получим () = 56 · 2−/7. Требуется найти момент, когда () = 7 мг. Составим и решим уравнение:
56 · 2−/7 = 7;
2−/7 = 1/8 — разделили все на 56;
2−/7 = 2−3 — представили 1/8 как 2−3;
−/7 = −3;
= 21.
Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию (единиц в месяц) от ее цены (тыс. руб.) задается формулой: = 75 − 5. Определите максимальный уровень цены (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц = · составит не менее 270 тыс. руб.
Итак, у нас есть функция = · , причем — неизвестная величина. Более того, переменная сама является функцией: по условию, = 75 − 5. Подставим это выражение в функцию . Получим:
= (75 − 5) · = 75 − 52.
Теперь у нас есть функция, выражающая прибыль через цену. Все цены установлены в тысячах рублей — это следует из условия. Также, по условию, прибыль должна быть не менее 270 тыс. руб., поэтому можно написать = 270. Составим и решим уравнение:
Поскольку нас интересует наибольшая цена, выбираем 2 = 9.
Задача. При температуре 0 °С рельс имеет длину 0 = 20 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 9 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону () = 0 · (1 + · ), где = 1,2 · 10−5 (°C)−1 — коэффициент теплового расширения, — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Изначально нам известны две величины: 0 = 20 и = 1,2 · 10−5. Самый тонкий момент — понять, чему равно (). А именно: зазор исчезнет, когда рельс удлинится на эти самые 9 мм. Была длина 20 метров, а стала — 20 метров + 9 мм.
Переведем все в метрическую систему. В одном метре 1000 мм, поэтому 9 мм = 9 · 10−3 м. Итого, () = 20 + 9 · 10−3. Оставим эту запись именно в таком виде, не будем складывать. Получилось уравнение:
20 + 9 · 10−3 = 20 · (1 + 1,2 · 10−5 · ).
Раскроем скобки — и после очевидных преобразований уравнение станет совсем простым:
20 + 9 · 10−3 = 20 + 20 · 1,2 · 10−5 · ;
9 · 10−3 = 24 · 10−5 · — убрали с обеих сторон число 20.
Умножим обе стороны на 105 и получим:
9 · 10−3 + 5 = 24 · 10−5 + 5 · ;
9 · 102 = 24 — обычное линейное уравнение;
= 900/24 = 37,5.
Как видите, задача про рельсы оказалась довольно сложной. И многие, кто писал пробный ЕГЭ по математике, с этой задачей не справились. В большинстве случаев ученики забывали, что итоговая длина () — это сумма исходной длины 0 и удлинения, которое еще надо перевести в метры.
Общие выводы из приведенных решений:
Сложные задачи B12
Но рельсы — это еще не все! Существуют еще более сложные задачи, требующие действительно грамотных размышлений. По сравнению с ними даже рельсы отдыхают. Вероятность нарваться на подобную задачу в настоящем ЕГЭ невелика, но знать, как они решаются, совершенно необходимо.
Рассмотрим две такие задачи. Они действительно предлагались на пробном ЕГЭ по математике. Справились с ними лишь единицы.
Задача. Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:
где = 5,7 · 10−8 — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах.
Известно, что некоторая звезда имеет площадь = (1/128) · 1020 м2, а излучаемая ею мощность не менее 1,14 · 1025 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.
Конечно, формула с четвертой степенью и числа, содержащие степени десятки, выглядят угрожающе. Но в действительности все не так плохо. Нам известна мощность , площадь и постоянная . Подставим их в формулу — получим:
1,14 · 1025 = 5,7 · 10−8 · (1/128) · 1020 · 4.
Единицы измерения не пишем — они только засоряют уравнение. Чтобы упростить решение, умножим обе стороны на 128, а затем по возможности сократим количество множителей. Имеем:
1,14 · 1025 · 128 = 5,7 · 10−8 · () · 1020 · 4 · ;
1,14 · 128 · 1025 = 5,7 · 10−8 · 1020 · 4 — сократили множители, отмеченные ;
1,14 · 128 · 1025 = 5,7 · 1012 · 4;
1,14 · 128 · 1025 − 12 = 5,7 · 1012 − 12 · 4 — разделили все на 1012;
1,14 · 128 · 1013 = 5,7 · 4;
1,14 · 128 · 1013 : 5,7 = 5,7 · 4 : 5,7 — делим все на 5,7;
0,2 · 128 · 1013 = 4 — потому что 1,14 : 5,7 = 0,2;
2 · 10−1 · 128 · 1013 = 4 — записали 0,2 = 2 · 10−1;
256 · 1012 = 4 — группируем двойки и десятки;
4 = 1012 · 28 — поскольку 256 = 28;
= 103 · 22 = 1000 · 4 = 4000.
На последнем шаге мы находим корень 4-й степени. Напомню: извлечение корня понижает степени у каждого множителя.
Вообще говоря, действительных корней в уравнении будет два: 1 = 4000 и 2 = −4000. Но температура в Кельвинах не может быть отрицательной, поэтому второй вариант нас не интересует.
Задача. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону:
где — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, 0 = 20 м — начальная высота столба воды, = 1/50 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а — ускорение свободного падения (считайте = 10 м/с2).
Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?
Для начала выясним, чему равно искомое (). По условию, в баке должна остаться четверть первоначального объема воды. Поэтому () = (1/4) · 20 = 5 м.
Теперь, когда все параметры известны, подставим числа в функцию. Чтобы не усложнять выкладки, заметим следующее:
Таким образом, вместо корня можно смело писать число 20. Имеем:
5 = 20 − 20 · (1/50) · + (10/2) · (1/50)2 · 2;
0 = 15 − 20 · (1/50) · + 5 · (1/50)2 · 2 — перенесли все в одну сторону;
(1/50)2 · 2 − 4 · (1/50) · + 3 = 0 — разделили все на 5.
Сделаем замену переменной: (1/50) · = . Тогда (1/50)2 · 2 = 2, и все уравнение перепишется следующим образом:
2 − 4 + 3 = 0;
( − 3) · ( − 1) = 0 — корни квадратного уравнения легко угадываются без всякого дискриминанта (см. урок «Теорема Виета»);
1 = 3; 2 = 1.
Теперь вспоминаем, что такое . Поскольку мы выполняли замену = (1/50) · , имеем:
= 50;
1 = 50 · 3 = 150;
2 = 50 · 1 = 50.
Итак, у нас два кандидата на ответ: числа 50 и 150. Заметим, что в момент времени = 100 высота столба воды равна:
(100) = 20 − 20 · (1/50) · 100 + 5 · (1/50)2 · 1002 = 20 − 40 + 20 = 0.
Другими словами, через = 100 секунд вода полностью вытечет из бака, и уравнение () теряет физический смысл. Поэтому вариант = 150 нас не интересует. Остается только = 50.
В заключение хочу еще раз заострить внимание на последней задаче. Мы отсеяли корень = 150, поскольку он расположен слишком далеко от старта — там, где исходная формула теряет всякий физический смысл. Сравните:
В задаче про звезды мы выбрали положительный корень, также руководствуясь физическим смыслом. Данные примеры наглядно демонстрируют, насколько опасно «увлекаться» математическими уравнениями без оглядки на реальные условия задач. Будьте внимательны!