Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в K раз?
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.
Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?
Данную задачу можно решить 2 способами. Во-первых, взять и подставить в формулу объема куба ребро, увеличенное в 3 раза, и сравнить результаты с исходной формулой. Исходная формула:
V = a3
Если сторона будет увеличена в 3 раза, то объем станет равен:
V = (3a)3 = 27 ⋅ a3
Получается, что объем увеличился в 27 раз.
Во-вторых, можно воспользоваться коэффициентом подобия, так как новый куб будет подобен исходному. В данном случае коэффициент подобия равен 3 (так как новое ребро больше в 3 раза). Объемы подобных кубов относятся как куб коэффициента подобия, то есть объем куба увеличится в 33 = 27 раз.
В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:
ОБЪЕМ УВЕЛИЧИТСЯ В = K3
где K – во сколько раз увеличена сторона куба (коэффициент подобия).
Остается лишь подставить конкретные значения и подсчитать результат.
Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в K раз?
Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?
Данную задачу можно решить 2 способами. Во-первых, взять и подставить в формулу площади поверхности куба ребро, увеличенное в 3 раза, и сравнить результаты с исходной формулой. Исходная формула:
S = 6 ⋅ a2
Если сторона будет увеличена в 3 раза, то площадь поверхности станет равна:
S = 6 ⋅ (3a)2 = 6 ⋅ 9 ⋅ a2
Получается, что тогда площадь поверхности становится больше в 9 раз.
Во-вторых, можно воспользоваться коэффициентом подобия, так как новый куб будет подобен исходному. В данном случае коэффициент подобия равен 3 (так как новое ребро больше в 3 раза). Площади поверхности подобных кубов относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть площадь куба увеличится в 32 = 9 раз.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ УВЕЛИЧИТСЯ В = K2
В данной статье мы с вами рассмотрим несколько заданий с пирамидами. Как известно, тетраэдр также является пирамидой. Определение тетраэдра:
Тетраэдр — это простейший многогранник, имеет 4 грани, которые являются треугольниками. Вершин у тетраэдра 4, к каждой вершине сходится 3 ребра, а всего ребер 6. Тетраэдр у которого грани равносторонние треугольники называется правильным.
Объём пирамиды (значит и тетраэдра):
S – площадь основания пирамиды h – высота пирамиды
Вычислим объём правильного тетраэдра при ребре равном величине a.
Тогда площадь каждой грани будет равна (в данном случае и основания АВС):
Вычислим высоту SO. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC:
*Известно, что биссектрисы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 1 к 2.
Вычислим СM. По теореме Пифагора:
Таким образом, объём тетраэдра будет равен:
Смыл рассматриваемых ниже заданий таков – все ребра пирамиды, либо только высота увеличивается в несколько раз. Понятно, что при этом увеличивается объём пирамиды и площадь её поверхности. Далее требуется вычислить во сколько раз происходит это увеличение.
1. Если увеличивается только высота пирамиды и стоит вопрос об изменении объёма, то понятно, что он увеличивается прямопропорционально исходному объёму пирамиды, так как зависимость линейная. Проще говоря, объём увеличивается во столько же раз, во сколько увеличена высота.
2. Если речь идёт об увеличении всех рёбер пирамиды в определённое количество раз, то здесь необходимо понимать, что в итоге получается пирамида подобная исходной, причём её грани также подобны соответствующим граням полученной пирамиды.
Позволю себе, на данный момент, по вопросу подобия фигур и тел предложить Вам обратиться к теории изложенной в учебнике. В скором будущем обязательно размещу отдельную статью на эту тему.
Что касается представленной группы задач, то отмечу, что с использованием свойств подобия такие задания решаются практически в одно действие.
Вот что необходимо помнить и знать:
То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение площади любой её грани к площади исходной соответствующей ей грани будет равно k2. Естественно, что отношение полных площадей поверхностей таких пирамид также будет равно k2.
То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение объёма полученной пирамиды к объёму исходной будет равно . Рассмотрим задачи:
Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шестнадцать раз?
Тетраэдр это пирамида, все грани которой равносторонние треугольники.
Данная пирамида и пирамида полученная увеличением всех её рёбер в 16 раз будут являться подобными, коэффициент подобия соответственно будет равен 16.
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. То есть, как уже сказано, объём полученной пирамиды равен произведению куба коэффициента подобия и объёма исходной пирамиды:
Определим во сколько раз увеличится объём, найдём отношение объёмов:
Таким образом, если все ребра увеличить в 16 раз, то объём увеличится в 4096 раз.
*Можно решить задачу по другому. Обозначить ребро тетраэдра как а, далее выразить его высоту. После этого определить объёмы пирамид используя формулу, а далее найти отношение полученных объёмов. Но такой путь будет неоправданно долгим и потребует в разы больше времени на решение.
Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двенадцать раз?
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания и высоты:
S – площадь основания
h – высота пирамиды
При увеличении высоты в 12 раз, объем пирамиды также увеличится в 12 раз (это прямолинейная зависимость):
Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раза?
Отметим, что площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его четырёх граней, которые являются правильными треугольниками.
Определим площадь поверхности исходного тетраэдра и увеличенного, а затем найдём отношение площадей.
Пусть ребро тетраэдра равно а, тогда площадь грани будет равна:
*Использовали треугольника.
Значит площадь поверхности исходного тетраэдра будет равна:
Если рёбра тетраэдра увеличить в 5 раз, то площадь поверхности изменится следующим образом:
Отношение площадей равно:
Таким образом, при увеличении ребер тетраэдра в пять раз, площадь его поверхности увеличится в 25 раз.
Известно, что при увеличении (уменьшении) линейных размеров фигуры в k раз получается подобная ей фигура, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:
k – это есть коэффициент подобия
В данной задаче k=5.
То есть, с использованием свойства подобия задача решается устно:
*Площадь каждой грани пирамиды увеличится в 25 раз, а это означает, что площадь поверхности всей пирамиды также увеличится в 25 раз.
27172. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?
Данная задача от предыдущей ничем не отличается. Не имеет никакого значения идёт ли речь о тетраэдре, пирамиде, кубе, параллелепипеде или о другом многограннике. Если сказано, что все рёбра увеличиваются в одинаковое число раз, то полученные грани «нового» тела будут подобны соответствующим граням исходного тела. А это значит, что увеличение площади поверхности произойдёт в k2 раз (где k это коэффициент подобия).
Можете посмотреть задачи с кубами. В них речь идёт об увеличении площади поверхности или объёма.
Ещё одна задача такого же класса. Но в условии речь идёт об октаэдре. Октаэдр это многогранник с восьмью граниями, все гарани это правильные треугольники.
27157. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
При увеличении рёбер в три раза каждая грань полученного октаэдра будет подобна соответствующей ей грани исходного. Площадь каждай грани увеличится в 32 раз, то есть в 9 раз. Значит и площадь всей поверхности также увеличится в 9 раз.
*Задача полностью аналогична двум предыдущим задачам, только здесь речь идет об октаэдре.
27085. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
27089. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?
27131. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
На этом всё. Успеха Вам!
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?
Для начала, необходимо знать формулу площади поверхности куба, которая выглядит так: S = 6a^2, где a – длина ребра. Если увеличить длину ребра в 3 раза, то получим новую длину ребра – 3a.
Заменяем а в формуле на 3а и получаем S1 = 6(3a)^2 = 54a^2.
Теперь сравниваем новую площадь поверхности с исходной:
S1 / S = (54a^2) / (6a^2) = 9.
Ответ: площадь поверхности куба увеличится в 9 раз, если увеличить длину его ребра в 3 раза.
Написать сочинение по запросу
Решение математических задач не всегда бывает легким и быстрым. Но что если мы расскажем вам о нейросети онлайн, которая поможет решить задачу всего за несколько секунд? Да-да, вы не ослышались! Наша нейросеть пишет тексты, решает математические задачи и многое другое. Просто введите уравнение и получите ответ в доли секунды – так просто и удобно!
Давайте проверим, насколько мощный инструмент мы предлагаем: во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза? Попробуйте решить эту задачу вручную. А теперь введите этот вопрос в нашу нейросеть онлайн и получите правильный ответ мгновенно. Наша нейросеть – это надежный и точный инструмент, который поможет решить любые математические задачи за считанные секунды. Победите математические уравнения без заморочек и проблем – воспользуйтесь нашей нейросетью прямо сейчас!
Создать текст по запросам:
ЕГЭ Профиль №2. Пирамида
https://youtube.com/watch?v=cpfwitpFOF4%3Ffeature%3Doembed
Интересная статья? Поделитесь ею пожалуйста с другими:
Хотите обучаться математике индивидуально?
Запишитесь на консультацию.