Найдите угол C четырехугольника.
Если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 градусов∠С=180°-∠А=180°-58°=122°
Ответ: 2 корня из 21, т.к составим корень из 21/5 = сб/10 по определению синуса и теперь пропорцией решаем .
x^2=18^2+24^2 x^2= 324+576 x^2= 900 x= 30 ВС= 30 R=BC/2=30/2=15
K, L, N, M – середины сторон
проведем диагональ AС и BD.
тогда KL=MN=1/2*AC (средние линии треугольников ABC и ACD)
KN=LM=1/2*BD (средние линии треугольников BCD и ABD)
Так как AC=BD (трап. равнобед), то KL=MN=KN=LM
Значит четырехугольник KLMN имеет равные стороны.
В равнобед. трапеции диагонали взаимноперпендикулярны, то KL, LM, KN, NM – перпендикулярны.
Значит четырехугольник KLMN имеет прямые углы.
2- угол- геометрическая фигура образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящего из одной точки (которая называется вершиной угла) . Виды углов: острый угол, тупой угол и прямой угол.3-Смежными называются два угла, одна сторона которых общая, а две другие образуют прямую, то есть Дополняющего лучами.
Сумма смежных углов равна 180 градусам.
Два смежных углы образуют развернутый угол.
Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.
Угол, смежный с прямым углом, является прямым.
Угол, смежный с острым углом, тупой.
Угол, смежный с тупым углом, является острым.
Любой луч, исходящий из вершины развернутого угла и проходит между сторонами разделяет его на два смежные углы.
Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Два угла, смежные с одним и тем же углом, уровне.
Если два смежных углы равны, то они прямые.
Вертикальными называются два угла, стороны одного из которых являются дополнительными лучами до сторон другого угла.
Вертикальные углы равны.
При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов.
Если известен один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, то найти другие углы можно следующим образом: найти угол, смежный с данным, учитывая, что их сумма 180 градусов, после чего найти углы, вертикальные с известными, учитывая, что вертикальные углы уровне.
Вписанный угол
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.
Свойства вписанных углов
Свойство вписанного угла №1
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
На рисунке показан вписанный угол АСВ и дуга АВ, на которую он опирается. Если, например, дуга АВ=600, то угол АСВ будет равен 300. И наоборот, например, если угол АСВ равен 500, то дуга АВ будет равна 1000.
Свойство вписанного угла №2
Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны.
На рисунке показаны три вписанных угла – ACD, AFD, AND, которые опираются на одну и ту же дугу AD, поэтому эти углы равны.
Вписанный угол, который опирается на диаметр, прямой.
На рисунке угол ВСА опирается на диаметр АВ, следовательно, он равен 900.
Центральный угол
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Свойства центральных углов
Свойство центрального угла
Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
На рисунке показан центральный угол АОВ, который опирается на дугу АВ. Например, дуга АВ равна 800, тогда угол АОВ равен также 800. И наоборот, например, если центральный угол АОВ будет равен 700, то и дуга АВ также будет равна 700.
Свойства вписанного и центрального угла
Если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла. И наоборот, центральный угол в 2 раза больше вписанного, если они опираются на одну и ту же дугу.
На рисунке показаны вписанный угол АВС и центральный угол АОС, которые опираются на одну и ту же дугу АС. Например, если величина угла АОС равна 1200, то величина угла АВС будет равна 600.
11. Какие из следующих утверждений верны?
Первое утверждение верно, так как все диаметры окружности всегда равны между собой.. Второе утверждение неверно – вписанный угол всегда в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. А вот третье утверждение верно – треугольники могут быть подобны по трем углам, а у равносторонних треугольников они всегда равны.
В ответ запишем номера верных утверждений.
12. Какие из следующих утверждений верны?
Первое утверждение верно, так как у равностороннего треугольника все высоты равны. Второе утверждение тоже верно, так как через одну точку можно провести и три, и сколько угодно прямых. Теперь третье утверждение. Мы знаем, что если диагонали параллелограмма равны, то это либо прямоугольник, либо квадрат. Конечно, квадрат является ромбом. Но прямоугольник, не являющийся квадратом, не будет и ромбом. Так что третье утверждение неверно.
<< Назад к списку задач
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 20 ОГЭ по Математике. Анализ геометрических высказываний» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
07.06.2023
Размещено 3 года назад по предмету
Геометрия
от Pavel6812
Не тот ответ на вопрос, который вам нужен?
Найди верный ответ
Самые новые вопросы
Математика – 3 года назад
Сколько здесь прямоугольников
История – 3 года назад
Какое управление было в древнейшем риме? как звали первого и последнего из царей рима?
Литература – 3 года назад
Уроки французского ответе на вопрос : расскажите о герое по следующему примерному плану: 1.почему мальчик оказался в райцентре ? 2.как он чувствовал себя на новом месте? 3.почему он не убежал в деревню? 4.какие отношения сложились у него с товарищами? 5.почему он ввязался в игру за деньги? 6.как характеризуют его отношения с учительницей ? ответе на эти вопросы пожалуйста ! сочините сочинение пожалуйста
Русский язык – 3 года назад
Помогите решить тест по русскому языку тест по русскому языку «местоимение. разряды местоимений» для 6 класса
1. укажите личное местоимение:
1) некто
2) вас
3) ни с кем
4) собой
2. укажите относительное местоимение:
1) кто-либо
2) некоторый
3) кто
4) нам
3. укажите вопросительное местоимение:
1) кем-нибудь
2) кем
3) себе
4) никакой
4. укажите определительное местоимение:
1) наш
2) который
3) некий
4) каждый
5. укажите возвратное местоимение:
1) свой
2) чей
3) сам
4) себя
6. найдите указательное местоимение:
1) твой
2) какой
3) тот
4) их
7. найдите притяжательное местоимение:
1) самый
2) моего
3) иной
4) ничей
8. укажите неопределённое местоимение:
1) весь
2) какой-нибудь
3) любой
4) этот
9. укажите вопросительное местоимение:
1) сколько
2) кое-что
3) она
4) нами
10. в каком варианте ответа выделенное слово является притяжательным местоимением?
1) увидел их
2) её нет дома
3) её тетрадь
4) их не спросили
Переделай союзное предложение в предложение с бессоюзной связью.
1. океан с гулом ходил за стеной чёрными горами, и вьюга крепко свистала в отяжелевших снастях, а пароход весь дрожал.
2. множество темноватых тучек, с неясно обрисованными краями, расползались по бледно-голубому небу, а довольно крепкий ветер мчался сухой непрерывной струёй, не разгоняя зноя
3. поезд ушёл быстро, и его огни скоро исчезли, а через минуту уже не было слышно шума
помогите прошу!перепиши предложения, расставляя недостающие знаки препинания. объясни, что соединяет союз и. если в предложении один союз и, то во втором выпадающем списке отметь «прочерк».пример:«я шёл пешком и,/поражённый прелестью природы/, часто останавливался».союз и соединяет однородные члены.ночь уже ложилась на горы (1) и туман сырой (2) и холодный начал бродить по ущельям.союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2) однородные членычасти сложного предложения—.поэт — трубач зовущий войско в битву (1) и прежде всех идущий в битву сам (ю. янонис).союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2)
Физика – 3 года назад
Вокруг прямого проводника с током (смотри рисунок) существует магнитное поле. определи направление линий этого магнитного поля в точках a и b.обрати внимание, что точки a и b находятся с разных сторон от проводника (точка a — снизу, а точка b — сверху). рисунок ниже выбери и отметь правильный ответ среди предложенных.1. в точке a — «от нас», в точке b — «к нам» 2. в точке a — «к нам», в точке b — «от нас» 3. в обеих точках «от нас»4. в обеих точках «к нам»контрольная работа по физике.прошу,не наугад важно
Размещено 3 года назад по предмету
Геометрия
от Katya18031
Размещено 3 года назад по предмету
Математика
от эшрд
Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.
Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:
В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.
Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.
Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.
Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.
Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.
Свойства вписанной окружности
Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.
Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.
Верные и неверные утверждения
Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.
Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.
К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.
Центральный угол вписанной окружности – это угол, вершина
которого лежит в центре вписанной окружности.
Вписанный угол вписанной окружности – это угол,
вершина которого лежит на вписанной окружности.
Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.
Так-же читайте статью про треугольник вписанный в окружность.
В 19 задании из приведенных утверждений необходимо выбрать одно или несколько правильных. Утверждения из общего теоретического курса геометрии, поэтому, какие-то определенные рекомендации здесь дать нельзя, кроме как полного повторения теоретического курса. Другое дело, что если вы точно не знаете какое-либо утверждение, то решить задачу можно наоборот – выбирая и отсеивая неправильные.
Задание 19OM21RКакие из следующих утверждений верны? В ответ запишите номера утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.Боковые стороны любой трапеции равны.Центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают.Обращаем внимание на то, что вопрос содержит слово КАКИЕ, что означает нахождение нескольких верных ответов. Итак, первое утверждение является верным, потому что есть теорема о сумме углов треугольника, равной 180 градусов, это не зависит от вида треугольника. Второе утверждение является не верным, так как по определению, только у равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Теперь становится понятным, что третье утверждение тоже должно быть верным. Но в доказательство тому мы имеем правила, которые нам говорят о том, что центры окружностей совпадают.Итак, наши верные утверждения под номерами 1 и 3.Ответ: 13
Задание OM2006oКакое из следующих утверждений верно?Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.Выполняем анализ утверждений.
1) Согласно теореме о смежных углах, их сумма всегда равна 1800. Это означает, что любой из смежных углов является разностью 1800 и величины 2-го смежного угла. Если первый смежный угол острый, значит, второй равен разности 1800 и острого угла (т.е. угла, меньшего 900), которая в любом случае окажется больше 900. А угол, больший 900, по определению тупой. Итак, утверждение неверно.
2) Одно из свойств ромба заключается в том, что его диагонали перпендикулярны. Однако и диагонали квадрата тоже пересекаются под прямым углом. Но поскольку квадрат является частным случаем ромба, то и в этом противоречия заданному утверждению нет. Т.е. в целом утверждение верно.
3) Одно из основных св-в касательных к окружности заключается в том, что касательная всегда перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра этой окружности в точку касания. Оно противоречит заданному утверждению, поэтому утверждение неверно.Ответ: 2
Задание OM2005oКакое из следующих утверждений верно?Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.Смежные углы всегда равны.Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.Проанализируем каждое утверждение.
1) Это утверждение верно, поскольку равенство и перпендикулярность диагоналей является одним из свойств именно квадрата.
2) Это утверждение неверно. Основание – соответствующая теорема, которой утверждается, что смежные углы в сумме имеют 1800, т.е. дополняют друг друга до развернутого угла. Следовательно, равенство смежных углов может иметь место только в случае, если достоверно известно, что один из них прямой.
3) Утверждение неверно. Высотой является только биссектриса, опущенная на основание равнобедренного треугольника.Ответ: 1
Задание OM2004oУкажите номера верных утверждений.Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.В любом параллелограмме диагонали равны.Проанализируем каждое из утверждений:1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.Да, такое утверждение в геометрии есть, с дополнением ” и только одну” :“Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой, и причем только одну.”2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.Для существования треугольника должно выполняться следующее правило:Сумма двух сторон всегда больше третьей. В данном случае это не так, так как 1 + 2 < 43) Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.Действительно, ромб – параллелограмм с равными сторонами, если у него один из углов будет равен 90°, а значит и все остальные, то тогда он станет квадратом.4) В любом параллелограмме диагонали равны.Нет, такого утверждения в геометрии нет, они равны только в квадрате и прямоугольнике.Ответ: 13
Задание OM2003oКакие из следующих утверждений верны?Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.Любой прямоугольник можно вписать в окружность.Через заданную точку плоскости можно провести единственную прямую.Первое утверждение верно из общих свойств треугольника – сумма двух сторон всегда больше третьей. Второе утверждение тоже верно – действительно, любой прямоугольник можно вписать в окружность. Третье утверждение неверно, так как я писал уже чуть выше, что нет ограничений на количество произвольных прямых, проходящих через одну точку.Ответ: 12
Задание OM2002oКакие из следующих утверждений верны?Все высоты равностороннего треугольники равны.Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.Первое утверждение верно, так как у равностороннего треугольника все стороны равнозначны, а значит и все элементы, проведенные к ним, тоже. Второе утверждение тоже верно, так как нет ограничений на количество произвольных прямых, проходящих через одну точку. Третье утверждение неверно – если диагонали равны, то это либо прямоугольник, либо квадрат.Ответ: 12
Задание OM2001oКакие из следующих утверждений верны?Все диаметры окружности равны между собой.Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.Любые два равносторонних треугольника подобны.Все диаметры окружности всегда равны между собой – это даже интуитивно понятно. Что касается второго утверждения, то оно неверно – вписанный угол всегда в два раза меньше центрального. А вот третье утверждение тоже верно – треугольники могут быть подобны по трем углам, а у равносторонних треугольников они всегда равны.Ответ: 13
Ответы
Что ты хочешь узнать?
Физкультура и спорт
Сайт znanija.org не имеет отношения к другим сайтам и не является официальным сайтом компании.
Окружность. Центральный и вписанный угол
Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хорда.
Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.
На рисунках — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.
Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Угол
тоже можно назвать центральным. Только он опирается на дугу, которая больше 180
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой.
Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, центральный угол величиной в
градусов будет опираться на дугу, равную
круга. Центральный угол, равный
, опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.
Докажем, что величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.
Пусть угол AOC — центральный и опирается на дугу АС, тогда ОА и ОС — радиусы окружности.
ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу АС,
АВ и ВС — хорды окружности.
Первый случай: Точка O лежит на BC, то есть ВС — диаметр окружности.
Треугольник AOB — равнобедренный, АО = ОВ как радиусы. Значит,
— внешний угол
а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Второй случай: Центр окружности точка О не лежит на ВС. Построим диаметр BК:
Если точка О лежит внутри вписанного угла АВС, как на рисунке слева, то
Если О лежит вне вписанного угла АВС, как на рисунке справа, то
Мы получили, что в каждом из этих случаев величина центрального угла в два раза больше, чем величина вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
При решении задач по геометрии также применяются следующие теоремы:
1. Равные центральные углы опираются на равные хорды.
2. Равные вписанные углы опираются на равные хорды.
3. Равные хорды стягивают равные дуги.
Докажем теорему 3.
Пусть хорды AB и CD равны. Докажем, что AMB дуги CND имеют одинаковую градусную меру, то есть равны.
По условию, AB = CD. Соединим концы хорд с центром окружности. Получим: AO = BO = CO = DO = r.
по трем сторонам, отсюда следует, что центральные углы равны, т.е.
Значит, и дуги, на которые они опираются, также равны, т.е. дуги AMB и CND имеют одинаковую градусную меру.
Верна и обратная теорема:
Если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.
Пусть дуги AMB и CND равны. Тогда
как центральные углы, опирающиеся на эти дуги. Значит, треугольники
равны по двум сторонам и углу между ними, и тогда
что и требовалось доказать.
Эти две теоремы можно объединить в одну, которая формулируется так:
Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда равны дуги, которые они стягивают.
Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Окружность, центральный угол, вписанный угол.
Задача 1, ЕГЭ. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Задача 2, ЕГЭ. Центральный угол на
Пусть центральный угол равен
, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен
Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную
Пусть хорда AB равна
Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим
В треугольнике AOB стороны AO и OB равны 1, сторона AB равна
Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник AOB — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол AOB равен 90
Тогда дуга ACB равна 90
а дуга AKB равна
опирается на дугу AKB и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135.
Задача 4, ЕГЭ. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки С?»
Представьте, что вы сидите в точке С и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде AB. Так, как будто хорда AB — это экран в кинотеатре 🙂
Очевидно, что найти нужно угол ACB.
Сумма двух дуг, на которые хорда AB делит окружность, равна
и тогда вписанный угол ACB опирается на дугу, равную
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол ACB равен
Задача 5, ЕГЭ.
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Задача 6, ЕГЭ. Найдите центральный угол AOB, если он на
Пусть величина угла АОВ равна
градусов. Величина вписанного угла АСВ равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть
Задача 7, ЕГЭ. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, так как AO = OB = AB = R.
Поэтому угол AOB = 60. Вписанный угол ACB равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 30
Задача 8, ЕГЭ.
Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 200
А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 80
Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Дуга АВ равна
Задачи ОГЭ по теме: Центральный и вписанный угол, градусная мера дуги.
Задача 9, ОГЭ. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен
Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу окружности.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен
Задача 10, ОГЭ. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен
Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны, угол
Задача 11, ОГЭ. Найдите градусную меру центрального
MON, если известно, что NP — диаметр, а градусная мера
MNP равна 18
Треугольник MON — равнобедренный. Тогда
Задача 12, ОГЭ.
DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны
Дуга FD, не содержащая точку Е, равна
Вписанный угол DEF, опирающийся на эту дугу, равен половине ее угловой величины,
Задача 13, ОГЭ. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен
Угол ACB — вписанный, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть AОВ = 52
Угол ВОD — развернутый, поэтому угол AOD равен
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Окружность. Центральный и вписанный угол» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.