Все тела взаимодействуют друг с другом. Так, две материальные точки, обладающие массой, притягиваются друг к другу с некоторой силой, которую называют гравитационной, или силой всемирного тяготения.
Сила всемирного тяготения — сила, с которой все тела притягиваются друг к другу.
Закон всемирного тяготения
Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
F — сила всемирного тяготения, m1 и m2 — массы двух притягивающихся друг к другу тел, R — расстояние между этими телами, G — гравитационная постоянная (G = 6,67∙10–11 Н ∙ м2/кг2).
Сила всемирного тяготения направлена по линии, соединяющей центры двух тел.
Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения между двумя точечными телами массой 1 кг каждое, если расстояние между ними равно 1 м. Если R = 1 м, m1 = 1 кг и m2 = 1 кг, то F = G.
G = 6,67∙10–11 Н ∙ м2/кг2.
Совершение работы телом не проходит бесследно. Рассмотрим, например, часы с пружинным заводом. При заводе часов состояние системы (часового механизма) меняется так, что она приобретает способность совершать работу в течение длительного времени. Пружина поддерживает движение всех колес, стрелок и маятника, испытывающих сопротивление движению, вызванное трением. По мере хода часов способность пружины совершать работу постепенно утрачивается. Состояние пружины меняется.
Если тело или система тел могут совершить работу, говорят, что они обладает механической энергией.
Механическая энергия — скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой всех форм движения и взаимодействия материи, мерой перехода движения материи из одних форм в другие.
Механическая энергия обозначается буквой E. Единица изменения энергии — Джоуль (Дж).
Колебательное движение очень распространено. Заставить колебаться можно любое тело, если приложить к нему силу — однократно или постоянно. К примеру, если подтолкнуть качели, они начнут качаться вперед-назад, и такое движение будет приблизительно повторяться до тех пор, пока качели полностью не остановятся.
Другой пример колебательного движения — тело, подвешенное к пружине. Если его потянуть вниз и отпустить, то за счет сил упругости оно сначала поднимется вверх, а затем снова опустится вниз, затем движения вверх-вниз будут повторяться. Со временем они прекратятся под действием силы сопротивления воздуха.
Колебаниями можно назвать даже движение гири, которую поднимается тяжелоатлет вверх, а затем опускает в низ. При этом он будет прикладывать к гире силу постоянно. Гиря будет колебаться до тех пор, пока к нему будет прикладываться эта сила.
Колебания — это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.
Механические колебания — это колебательные движения, совершаемые физическим телом в механической системе.
Механическая система — совокупность материальных точек (тел), движения которых взаимосвязаны между собой.
Ранее
говорилось о том, что механическое состояние тела или системы тел определяется его
положением относительно других тел и его скоростью. Если изменяется хотя бы одна
из этих величин, то говорят, что изменяется механическое состояние тела.
В
курсе физики 7 класса говорилось, что количественно механическое состояние системы
и его изменение характеризуется механической энергией.
Механическая
энергия — это физическая скалярная величина, являющаяся функцией
состояния системы и характеризующая способность системы совершать работу. Изменение
механической энергии равно работе приложенных к системе внешних сил.
Вспомним,
как энергия тела зависит от его скорости. Пусть на тело массой m
действует
постоянная сила F, направленная вдоль
перемещения, и скорость тела изменяется от
Работа
этой силы будет определяться произведением силы на модуль вектора перемещения.
По
второму закону Ньютона сила есть произведение массы тела на его ускорение.
Известно,
что при равноускоренном движении ускорение можно определить по формуле
Если
теперь, все собрать в одну формулу и произвести небольшие математические преобразования,
получим:
Физическая
величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости называется
кинетической энергией.
Кинетическая
энергия — это энергия, которой обладает тело вследствие своего
движения.
Обозначается
кинетическая энергия буквой Еk
и измеряется в Джоулях.
Кинетической
энергией обладают все движущиеся тела. Будь-то идущий человек или движущийся автомобиль,
летящий самолет или наша планета, которая движется вокруг Солнца.
Тогда
формулу для работы можно переписать в виде
Эта
формула является математической записью теоремы об изменении кинетической энергии:
изменение кинетической энергии равно работе равнодействующей всех сил действующей
на тело.
Эта
теорема справедлива независимо от того, какие силы действуют на тело: сила
трения, сила тяжести или сила упругости.
А
если тела не движутся? Обладают ли они какой-либо энергией?
Энергия
системы, определяемая взаимным расположением тел или частей тела друг относительно
друга и характером сил взаимодействия между ними, называется потенциальной энергией.
Рассмотрим
некоторое тело, находящееся в гравитационном поле Земли.
При
перемещении тела с высоты h1,
относительно нулевого уровня, на высоту h2
сила тяжести совершает работу
Величину,
равную произведению массы тела на высоту и на коэффициент пропорциональности g
назвали
потенциальной энергией.
Т.е.
потенциальная энергия тела в поле тяготения — это энергия, обусловленная взаимодействием
тела с Землей; она зависит от их взаимного положения и равна работе, которую совершает
сила тяжести при перемещении тела из данного положения на нулевой уровень.
Обозначают
её буквой Еp
и
единицей измерения, как и в случае кинетической энергии, является Джоуль.
Тогда,
выражение для работы запишется как:
Т.е.
изменение потенциальной энергии тела, которое находится в гравитационном
поле Земли, взятое с обратным знаком, равно работе силы тяжести.
Знак
«минус» перед величиной изменения потенциальной энергии означает, что при
положительной работе силы тяжести эта энергия уменьшается. И, наоборот, при
отрицательной работе силы тяжести (например, тело брошено вертикально вверх)
потенциальная энергия тела увеличивается.
В
отличие от кинетической энергии, которая зависит от скорости движения тела,
потенциальная энергия от скорости не зависит, так что ею может обладать и
покоящееся тело. Потенциальная энергия зависит от
положения тела относительно нулевого уровня, т. е. от координат тела, ведь
высота — как раз и есть координата тела.
Например,
птицы, сидящие на проводах, относительно проводов будут обладать нулевой потенциальной
энергией, а относительно земли или крыши дома, энергия будет отлична от нуля. Причем
относительно земли эта энергия будет больше, чем относительно крыши дома.
Рассмотрим,
как будет изменяться потенциальная энергия упруго деформированного тела.
Рассмотрим
взаимодействие сжатой пружины с шаром, находящимся нагладкой горизонтальной поверхности.
Пружина действует на шар с силой упругости и, под действием этой силы, шар
будет совершать колебательное движение.
Для
определения работы, выполненной пружиной по перемещению тела, необходимо
учитывать, что сила упругости меняется, т.к. ее величина зависит от удлинения
пружины. Используя график зависимости силы упругости от удлинения пружины,
определим работу силы как площадь фигуры под графиком силы (площадь трапеции),
которая равна произведению полу суммы ее оснований на высоту.
Из
формулы видно, что работа силы упругости пружины зависит только от координат
тела в начальный и конечный момент времени и не зависит от траектории движения
тела.
Эту
формулу можно переписать в виде
В
правой части стоит изменение какой-то величины со знаком минус. Как и в случае
с работой силы тяжести, эта величина представляет собой потенциальную энергию
упругодеформированного тела.
Тогда
формула для работы упруго деформированного тела примет такой же вид, как и в
случае с потенциальной энергией тела в гравитационном поле Земли.
Потенциальная
энергия упругодеформированного тела — это энергия, обусловленная взаимодействием
частей тела между собой. Она равна работе, которую совершают
внешние силы, чтобы недеформированную пружину сжать или растянуть на некоторую величину.
Работа
силы упругости зависит от жесткости пружины и ее деформации. Поэтому потенциальная
энергия упругодеформированного тела тоже зависит от жесткости пружины и ее деформации.
– Механическая энергия
— это физическая скалярная величина, являющаяся функцией состояния системы и характеризующая
способность системы совершать работу.
– В свою очередь, механическая энергия делится на
два вида — кинетическую и потенциальную.
– Кинетическая энергия
— это энергия, которой обладает тело вследствие своего движения. А ее изменение
равно работе равнодействующей всех сил действующей на тело.
– Потенциальная энергия
— это энергия, определяемая взаимным расположением тел или частей тела друг
относительно друга и характером сил взаимодействия между ними.
– Потенциальная энергия тела бывает двух видов: потенциальная энергия тела в поле тяготения
— это энергия, обусловленная взаимодействием тела с Землей; и потенциальная
энергия упругодеформированного тела — это энергия, обусловленная
взаимодействием частей тела между собой.
Основные характеристики колебательного движения
Амплитуда — максимальное отклонение тела от положения равновесия. Обозначается буквой A, иногда — xmax. Единиц измерения — метр (м).
Период — время совершения одного полного колебания. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунда (с).
Частота — количество колебаний, совершенных в единицу времени. Обозначается как ν («ню»). Единица измерения — 1/секунда, или секунда–1, или герц (1/с, или с–1, или Гц).
Период и частота колебаний связаны между собой следующей формулой:
Период колебаний также можно вычислить, зная количество совершенных колебаний N за время t:
Поскольку частота — это величина, обратная периоду колебаний, ее можно выразить в виде:
Пример №3. Определить частоту колебаний груза, если суммарный путь, который он прошел за 2 секунды под действием силы упругости, составил 1 м. Амплитуда колебаний равна 10 см.
Во время одного колебания груз проходит расстояние, равное 4 амплитудам. Посмотрите на рисунок. Положение равновесия соответствует состояние 2. Чтобы совершить одно полное колебание, сначала груз отводят в положение 1. Когда его отпускают, он проходит путь 1–2 и достигает положения равновесия. Этот путь равен амплитуде колебаний. Затем он продолжает движение до состояния 3. И в это время он проходит расстояние 2–3, равное еще одной амплитуде колебаний. Чтобы вернуться в исходное положение (состояние 1), нужно снова проделать путь в обратном направлении: сначала 3–2, затем 2–1.
Следовательно, количество колебаний равно отношению пройденного пути к амплитуде, помноженной на 4:
10 см = 0,1 м
Так как мы знаем, что эти колебания совершались в течение 2 секунд, для вычисления частоты мы можем использовать формулу:
Задание EF17593В таблице представлены данные о положении шарика, колеблющегося вдоль оси Ох, в различные моменты времени.Каков период колебаний шарика?а) 1 сб) 2 св) 3,2 с
г) 4 сОпределить амплитуду колебаний.Определить время между двумя максимальными отклонениями от положения равновесия шарика.Найти полный период колебаний.Из таблицы видно, что амплитуда колебаний равна 15 мм. Следовательно, максимальное отклонение в противоположную сторону составляет –15 мм. Расстояние между двумя максимальными отклонениями от положения равновесия шарика равно половине периода колебаний. Этим значения в таблице соответствует время 1 и 3 секунды соответственно. Следовательно, разница между ними — половина периода. Тогда период будет равен удвоенной разнице во времени:
Ответ: г
Задание EF17539Массивный груз, подвешенный к потолку на пружине, совершает вертикальные свободные колебания. Пружина всё время остается растянутой. Как ведут себя потенциальная энергия пружины, кинетическая энергия груза, его потенциальная энергия в поле тяжести, когда груз движется вверх к положению равновесия?Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.Вспомнить, от чего зависит потенциальная энергия пружины, и установить, как она меняется, когда она поднимает груз в поле тяжести земли к положению равновесия.Вспомнить, от чего зависит кинетическая энергия тел, и установить, как она меняется в рассматриваемый промежуток времени.Вспомнить, от чего зависит потенциальная энергия тел, и установить, как она меняется относительно земли.Потенциальная энергия пружины определяется формулой:где — коэффициент жесткости пружины, а x — ее удлинение. Величина x была максимальной в нижней точке траектории. Когда пружина начинает сжиматься, она уменьшается. Так как потенциальная энергия зависит от квадрата x прямо пропорционально, то при уменьшении этой величины потенциальная энергия пружины тоже уменьшается.Кинетическая энергия тела определяется формулой:В нижней точке траектории скорость шарика была равна нулю. Но к этому времени потенциальная энергия пружины достигла максимума. Она начинает с ускорением поднимать шарик вверх, сжимаясь. Следовательно, скорость растет. Так как кинетическая энергия зависит от квадрата скорости тела прямо пропорционально, то при увеличении скорости этой величины кинетическая энергия шарика тоже увеличивается.Потенциальная энергия тел в поле тяжести земли определяется формулой:Масса и ускорение свободного падения шарика — постоянные величины. Следовательно, потенциальная энергия зависит только от расстояния до поверхности земли. Когда пружина поднимает шарик, расстояние между ним и землей увеличивается. Так как потенциальная энергия зависит от расстояния прямо пропорционально, то при его увеличении потенциальная энергия шарика тоже растет.Ответ: 211
Задание EF18835В таблице представлены данные о положении шарика, прикреплённого к пружине и колеблющегося вдоль горизонтальной оси Ох, в различные моменты времени.Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения и укажите их номера.А) Потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна.Б) Период колебаний шарика равен 4,0 с.В) Кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна.Г) Амплитуда колебаний шарика равна 30 мм.Д) Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна.Проверить истинность каждого утверждения.Выбрать 2 верных утверждения.Согласно утверждению «А», потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна. Потенциальная энергия пружины максимальна, когда она отклоняется от положения равновесия на максимальную возможную величину. Из таблицы видно, что в данный момент времени ее отклонение составило 15 мм, что соответствует амплитуде колебаний (наибольшему отклонению от положения равновесия). Следовательно, утверждение «А» — верно.Согласно утверждению «Б», период колебаний шарика равен 4,0 с. Один период колебаний включает в себя 4 фазы. В течение каждой фазы шарик на пружине проделывает путь, равный амплитуде. Следовательно, мы можем найти период колебаний, умножив время одной фазы на 4. В момент времени t = 0 с, шарик находился в положении равновесия. Первый раз он отклонился на максимальную величину (15 мм) в момент времени t = 1,0 с. Значит, период колебаний равен 1∙4 = 4 с. Следовательно, утверждение «Б» — верно.Согласно утверждению «В», кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна. В этот момент времени, согласно данным таблицы, шарик проходит положение равновесия. В этом положении скорость шарика всегда максимальна. Поэтому кинетическая энергия, которая зависит от квадрата скорости прямо пропорционально, минимальной быть не может. Следовательно, утверждение «В» — неверно.Согласно утверждению «Г», амплитуда колебаний шарика равна 30 мм. Амплитуда колебаний — есть расстояние от положения равновесия до точки максимального отклонения шарика. В данном случае оно равно 15 мм. Следовательно, утверждение «Г» — неверно.Согласно утверждению «Д», полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна. Полная механическая энергия колебательной системы — это совокупность кинетической и потенциальной энергий. И при отсутствии сил трения она остается величиной постоянной. Она лишь превращается из одного вида энергии в другую. Следовательно, утверждение «Д» — неверно.Ответ: АБ
Кинетическая и потенциальная энергии
20.12.2018.
Тест. Физика, 10 класс
Будьте внимательны! У Вас есть 10 минут на прохождение теста. Система оценивания – 5 балльная. Разбалловка теста – 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!
Какими бывают колебания?
Напомним, что в механической системе выделяют два вида сил:
Свободные колебания
Свободные колебания — колебания, происходящие в системе под действием внутренних сил после того, как эта система выведена из положения равновесия.
Колебательная система — механическая система, в которой возможно совершение свободных колебаний.
Свободные колебания в колебательной системе могут возникнуть только при наличии двух условий:
Примеры свободных колебаний:
Примером колебательной системы также служит математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. В действительности такого маятника не существует. Это идеализированная модель реального маятника, примером которого служит тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити. В этом случае размером шарика и растяжением нити можно пренебречь.
В колебательную систему математического маятника входят:
В положении равновесия (точка О) шарик висит на нити и покоится. Если его отклонить от положения равновесия до точки А и отпустить, под действием силы тяжести шарик приблизится к положению равновесия. Так как к этому моменту шарик обретет скорость, он не сможет остановиться и приблизится к точке В. Затем он снова вернется в точку А через положение равновесия в точке О. Шарик будет колебаться, пока не затухнут под действием возникающей силы сопротивления воздуха.
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания — колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.
Примерами вынужденных колебаний служат:
Затухающие и незатухающие колебания
Затухающие колебания — колебания, которые со временем затухают. При этом максимальное отклонение тела от положения равновесия с течением времени уменьшается.
Колебания затухают под действием сил, препятствующих колебательному движению. Так, шарик в сферической чаше перестает колебаться под действием силы трения. Математический маятник и качели перестают совершать колебательные движения за счет силы сопротивления воздуха.
Все свободные колебания являются затухающими, так как всегда присутствует трение или сопротивление среды.
Незатухающими колебаниями могут быть только те, которые совершаются под действием периодической внешней силы (вынужденные колебания). Так, ветка будет раскачиваться до тех пор, пока дует ветер. Когда он перестанет дуть, колебания ветки со временем затухнут. Иголка швейной машинки будет совершать колебательные движения до тех пор, пока швея вращает ручку привода. Когда она перестанет это делать, иголка сразу остановится.
Тест по теме “Кинетическая и потенциальная энергии. Закон сохранения энергии в механике”
04.05.2020.
Тест. Физика, 9 класс
Все тесты в этом разделе разработаны пользователями сайта для собственного
использования.
Администрация сайта не
проверяет возможные ошибки,
которые могут встретиться в тестах.
Будьте внимательны! У Вас есть 25 минут на прохождение теста. Система оценивания – 10 балльная.
Первая космическая скорость
Исаак Ньютон смог доказать, что причиной падения тел на Землю, движения Луны вокруг Земли и движения Земли вокруг Солнца является сила тяготения. Если камень бросить в горизонтальном направлении, его траектория будет отклонена от прямой линии под действием земной силы тяжести. Если же придать этому камню большую скорость, камень приземлится на большем расстоянии. Значит, существует такая скорость, при которой камень не приземлится, а начнет бесконечно вращаться вокруг Земли.
ОпределениеПервая космическая скорость — минимальная (для заданной высоты над поверхностью планеты) горизонтальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы он совершал движение по круговой орбите вокруг планеты.
Вывод формулы первой космической скорости
Когда тело массой m вращается на некоторой высоте h, расстояние между ним и центром Земли равно сумме этой высоты и радиуса Земли. Поэтому сила тяготения между этим телом и Землей будет равна:
Движение тела вокруг планеты — частный случай движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью. Мы уже знаем, что такое тело движется с центростремительным ускорением, направленным к центру окружности. В данном случае центростремительное ускорение будет направлено к центру Земли. Это ускорение сообщает телу сила тяготения.
Так как тело движется на некоторой высоте h от поверхности Земли, центростремительное ускорение будет определяться формулой:
Подставив это ускорение в формулу второго закона Ньютона, получим силу, с которой Земля притягивает к себе тело массой m:
Приравняем правые части формул, следующих из закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона, и получим:
Отсюда скорость, с которой должно тело массой m бесконечно вращаться вокруг Земли на высоте h, равна:
Скорость бесконечно вращающегося вокруг Земли тела не зависит от его массы. Она зависит только от высоты, на которой оно находится. Чем выше высота, тем меньше скорость его вращения.
Тело, вращающееся вокруг планеты, называется ее спутником. Чтобы любое тело стало спутником Земли, нужно сообщить ему некоторую скорость на поверхности планеты в горизонтальном направлении. Высота h в этом случае равна 0. Тогда эта скорость будет равна:
8 км/с — первая космическая скорость Земли.
Пример №3. Рассчитать первую космическую скорость для Венеры. Считать, что масса Венеры равна 4,87∙1024 кг, а ее радиус равен 6052 км.
Задание EF18521Сила гравитационного притяжения между двумя шарами, находящимися на расстоянии 2 м друг от друга, равна 9 нН. Какова будет сила притяжения между ними, если расстояние увеличить до 6 м? Ответ выразите в наноньютонах (нН).Записать исходные данные.Записать закон всемирного тяготения.Установить зависимость между силой гравитационного притяжения и расстоянием между телами.На основании вывода о зависимости двух величин вычислить гравитационное притяжение между двумя шарами при изменении расстояния между ними.Запишем исходные данные:Расстояние между двумя шарами в первом случае: R1 = 2 м.Расстояние между двумя шарами во втором случае: R2 = 6 м.Сила гравитационного притяжения между двумя шарами в первом случае: F1 = 9 нН.Запишем закон всемирного тяготения:Из формулы видно, что сила гравитационного притяжения обратно пропорционально квадрату расстояния между телами массами m1 и m2.R2 больше R1 втрое (6 больше 2 в 3 раза). Следовательно, расстояние между шарами тоже увеличилось втрое. В таком случае сила гравитационного притяжения между ними уменьшится в 32 раз, или в 9 раз. Так как в первом случае эта сила была равна 1 нН, то во втором она составит в 9 раз меньше, или 1 нН.
Ответ: 1
Задание EF17569Две звезды одинаковой массы m притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю F. Чему равен модуль сил притяжения между другими двумя звёздами, если расстояние между их центрами такое же, как и в первом случае, а массы звёзд равны 3m и 4m?Записать закон всемирного тяготения.Применить закон всемирного тяготения для первой и второй пары звезд.Из каждого выражения выразить расстояние между звездами.Приравнять правые части уравнений и вычислить силу притяжения между второй парой звезд.Закон всемирного тяготения выглядит так:Примерим этот закон для первой и второй пары звезд:Выразим квадраты радиусов, так как они в обоих случаях одинаковые:Приравняем правые части выражений и выразим силу притяжения во втором случае:Ответ: в
Задание EF18678Высота полёта искусственного спутника над Землёй увеличилась с 400 до 500 км. Как изменились в результате этого скорость спутника и его потенциальная энергия?Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.Записать закон всемирного тяготения и формулу центростремительного ускорения для движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью.Установить зависимость скорости от высоты спутника над поверхностью Земли.Записать формулу потенциальной энергии и установить, как она зависит от высоты.На спутник действует сила притяжения Земли, которая сообщает ему центростремительное ускорение:Отсюда центростремительное ускорение равно:Но центростремительное ускорение также равно:Приравняем правые части выражений и получим:Квадрат скорости спутника обратно пропорционален радиусу вращения. Следовательно, при увеличении высоты увеличивается радиус вращения, а скорость уменьшается.Потенциальная энергия спутника определяется формулой:Ep = mgh Видно, что потенциальная энергия зависит от высоты прямо пропорционально. Следовательно, при увеличении высоты потенциальная энергия спутника тоже увеличивается.Верная последовательность цифр в ответе: 21.Ответ: 21
Задание EF17578
Искусственный спутник обращается вокруг планеты по круговой орбите радиусом 4000 км со скоростью 3,4 км/с. Ускорение свободного падения на поверхности планеты равно 4 м/с2. Чему равен радиус планеты? Ответ запишите в километрах.Записать исходные данные. Перевести единицы измерения в СИ.Записать формулу ускорения свободного падения и выразить через нее радиус планеты.Записать формулу, раскрывающая взаимосвязь между линейной скоростью и радиусом окружности, по которой движется тело.Записать закон всемирного тяготения применительно к спутнику.Вывести формулу для расчета радиуса планеты.Подставить известные данные и произвести вычисление.Запишем исходные данные:Линейная скорость спутника: v = 3,4 км/с, или 3,4∙103 м/с.Радиус орбиты спутника: Rо = 4000 км, или 4∙106 м.Ускорение свободного падения у поверхности планеты: g = 4 м/с2.Ускорение свободного падения определяется формулой:Отсюда радиус равен:Линейная скорость и радиус орбиты связываются формулой:Используя закон всемирного тяготения, запишем силы, с которой притягивается спутник к планете:Согласно второму закону Ньютона, сила — это произведение массы на ускорение тела. Следовательно:Поделим обе части выражения на массу спутника и радиус его орбиты. Получим:Из этой формулы выразим массу планеты:Подставим массу планеты в формулу для нахождения ее радиуса:Подставляем известные данные и вычисляем:Этот радиус соответствует 3400 км.Ответ: 3400
Теорема о кинетической энергии
Теорема о кинетической энергии
Изменение кинетической энергии тела равно работе равнодействующей всех сил, действующих на тело:
Эта теорема справедлива независимо от того, какие силы действуют на тело: сила упругости, сила трения или сила тяжести.
Пример №2. Скорость движущегося автомобиля массой 1 т изменилась с 10 м/с до 20 м/с. Чему равна работа равнодействующей силы?
Сначала переведем единицы измерения в СИ: 1 т = 1000 кг. Работа равна изменения кинетической энергии, следовательно:
Сила тяжести
Согласно закону всемирного тяготения, все тела притягиваются между собой. Так, Земля притягивает к себе падающий на нее мяч, а мяч притягивает к себе Землю.
Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает к себе тела.
Сила тяжести действует на все тела, находящиеся в поле притяжения Земли. Она всегда направлена к центру нашей планеты.
Расчет силы тяжести на Земле
Силу тяжести можно рассчитать с помощью закона всемирного тяготения. Тогда одна из масс будет равна массе земли. Обозначим ее большой буквой M. Вторая масса будет принадлежать телу, притягивающемуся к Земли. Обозначим его m. В качестве R будет служить радиус Земли. В таком случае сила тяжести будет определяться формулой:
Вывод формулы ускорения свободного падения
Согласно второму закону Ньютона, сила, которая действует на тело, сообщает ему ускорение. Поэтому силу тяжести также можно выразить через это ускорение. Обозначим его g — ускорение свободного падения.
Пример №1. Мальчик массой 50 кг прыгнул под углом 45 градусов к горизонту. Найти силу тяжести, действующую на него во время прыжка.
Сила тяжести зависит только от массы тела и ускорения свободного падения. Направлена она всегда к центру Земли, и от характера движения тела не зависит. Поэтому:
Мы получили две формулы для вычисления силы тяжести: одну — исходя из закона всемирного тяготения, вторую — исходя из второго закона Ньютона. Приравняем правые части формул и получим:
Вместо массы и радиуса Земли можно взять массы и радиусы любых планет. Так можно рассчитать ускорение свободного падения для любого космического тела.
Пример №2. Рассчитать ускорение свободного падения на Луне. Считать, что радиус Луны равен 1736 км, а ее масса — 7,35∙1022 кг.
Переведем километры в метры: 1736 км = 1736000 м.
Динамика колебательного движения
Для того чтобы описать количественно колебания тела пол действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона.
Уравнение движения тела, колеблющегося под действием сил упругости
Рассмотрим колебательное движение шарика, вызванное силой упругости, возникшей при растяжении горизонтальной пружины вдоль оси Ох.
Согласно II закону Ньютона произведение массы тела на ускорение равно равнодействующей всех сил приложенных к телу. Поскольку сила трения пренебрежимо мала, мы можем считать, что в этой механической системе действует единственная сила — сила упругости. Учтем, что шарик колеблется вдоль одной прямой, и выберем одномерную систему координат Ох. Тогда:
Согласно закону Гука, проекция сила упругости прямо пропорциональная смещению шарика из положения равновесия (точки О). Смещение равно координате x шарика, причем проекция силы и координаты имеют разные знаки. Это связано с тем, что сила упругости всегда направлена к точке равновесия, в то время как расстояние от этой точки во время движения увеличивается в обратную сторону. Отсюда делаем вывод, что сила упругости равна:
где k — жесткость пружины.
Тогда уравнение движения шарики принимает вид:
Так как масса шарики и жесткость пружины для данной колебательной системы постоянны, отношение — постоянная величина. Отсюда делаем вывод, что проекция ускорения тела прямо пропорциональна его координате x, взятой с противоположным знаком.
Пример №1. Груз массой 0,1 кг прикрепили к пружине школьного динамометра жесткостью 40 Н/м. В начальный момент времени пружина не деформирована. После того, как груз отпускают, возникают колебания. Чему равна максимальная скорость груза?
Максимальной скорости груз достигнет при максимальном его отклонении от положения равновесия — в нижней точке траектории. Учтем, что тело движется вниз под действием силы тяжести. Но в то же время на него действует сила упругости, которая возникает в пружине и нарастает до тех пор, пока не становится равной по модулю силе тяжести. Применив III закон Ньютона получим:
где — максимальное отклонение груза от положения равновесия. В этой точке скорость тела будет максимальная. Для нахождения этой величины используем формулу из кинематики:
Начальная скорость равна нулю. Отсюда:
Максимальная скорость равна:
Уравнение движения математического маятника
Ниже на рисунке представлен математический маятник. Если мы выведем из положения равновесия шарик и отпустим, возникнет две силы:
При колебаниях шарика также будет возникать сила сопротивления воздуха. Но так как она очень мала, мы будем ею пренебрегать.
Чтобы описать динамику движения математического маятника, удобно силу тяжести разложить на две составляющие:
Обозначим проекцию ускорения маятника на касательную к его траектории через . Эта проекция характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника. Согласно II закону Ньютона:
Разделим обе части выражения на массу шарика m и получим:
При малом отклонении нити маятника от вертикали можно считать, что (при условии, что угол измерен в радианах). Тогда:
Внимание! Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить градусы на число π и поделить результат на 180. К примеру 2о = 2∙3,14/180 рад., или 2о = 0,035 рад.
При малом отклонении также дугу ОА мы можем принять за длину отрезка OA, который мы примем за s. Тогда угол будет равен отношению противолежащего катета (отрезка s) к гипотенузе (длине нити l):
Так как ускорение свободного падения и длина нити для данной колебательной системы постоянны, то отношение — тоже постоянная величина.
Это уравнение похоже на то уравнение, которое мы получили для описания колебательного движения шарика под действием силы упругости. И оно также позволяет сделать вывод, что ускорение прямо пропорционально координате.
Пример №2. Определить длину нити, если шарик, подвешенный к ней, отклонится на 1 см. При этом нить образовала с вертикалью угол, равный 1,5о.
При отклонениях на малый угол мы можем пользоваться следующей формулой:
Чтобы найти длину нити, нужно выразить угол в радианах:
1 см = 0,01 м
Тогда длина нити равна:
Работа и потенциальная энергия тела, поднятого над Землей
Величина потенциальной энергии зависит от выбора нулевого уровня энергии. В поле тяготения Земли нулевым уровнем энергии обладает тело, находящееся на поверхности планеты.
Работа силы тяжести
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком:
A = – ∆Ep = –(mgh – mgh0) = mg(h0 – h)
Если тело поднимается, сила тяжести совершает отрицательную работу. Если тело падает, сила тяжести совершает положительную работу.
Пример №3. Шарик массой 100 г скатился с горки длиной 2 м, составляющей с горизонталью угол 30о. Определить работу, совершенную силой тяжести.
Сначала переведем единицы измерения в СИ: 100 г = 0,1 кг. Под действием силы тяжести положение тела относительно Земли изменилось на величину, равную высоте горки. Высоту горки мы можем найти, умножим ее длину на синус угла наклона. Начальная высота равна высоте горки, конечная — нулю. Отсюда:
A = mg(h0 – h) = 0,1∙10(2∙sin30o – 0) =2∙0,5 = 1 (Дж)
Потенциальная энергия протяженного тела
Потенциальная энергия протяженного тела выражается через его центр масс. К примеру, чтобы поднять лом длиной l и массой m, нужно совершить работу равную:
A = mgh
где h — высота центра массы лома над поверхностью Земли. Так как лом однородный по всей длине, его центр масс будет находиться посередине между его концами, или:
Отсюда работа, которую необходимо совершить, чтобы поднять этот лом, будет равна:
Пример №4. Лежавшую на столе линейку длиной 0,5 м ученик поднял за один конец так, что она оказалась в вертикальном положении. Какую минимальную работу совершил ученик, если масса линейки 40 г?
Переведем единицы измерения в СИ: 40 г = 0,04 кг. Минимальная работа, необходимая для поднятия линейки за один конец, равна:
Работа и изменение потенциальной энергии упруго деформированного тела
Вспомним, что работа определяется формулой:
A = Fs cosα
Когда мы сжимаем пружину, шарик перемещается в ту же сторону, в которую направлена сила тяги. Если мы растягиваем ее, шарик перемещается так же в сторону направления силы тяги. Поэтому вектор силы упругости и вектор перемещения сонаправлены, следовательно, угол между ними равен нулю, а его косинус — единице:
Модуль силы тяги равен по модулю силе упругости, поэтому:
Перемещение определяется формулой:
s = x – x0
Следовательно, работа силы тяги по сжатию или растяжению пружины равна:
Но известно, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна:
Следовательно, работа силы, под действием которой растягивается или сжимается пружина, равна изменению ее потенциальной энергии:
Задание EF18117На рисунке представлен схематичный вид графика изменения кинетической энергии тела с течением времени. Какой из представленных вариантов описания движения соответствует данному графику?а) Тело брошено под углом к горизонту с поверхности Земли и упало в кузов проезжающего мимо грузовика.б) Тело брошено под углом к горизонту с поверхности Земли и упало на Землю.в) Тело брошено под углом к горизонту с поверхности Земли и упало на балкон.г) Тело брошено вертикально вверх с балкона и упало на Землю.Описать изменение кинетической энергии в течение всего времени движения тела.Установить характер движения тела в течение этого времени.Проанализировать все ситуации и выбрать ту, которая не противоречит установленному характеру движения тела.Согласно графику, кинетическая энергия тела сначала уменьшалась, а затем увеличилась. Затем она резко уменьшилась до некоторого значения и осталась постоянной.Кинетическая энергия тела определяется формулой:Кинетическая энергия зависит прямо пропорциональной от квадрата скорости. Следовательно, когда уменьшается кинетическая энергия, скорость тоже уменьшается. Когда она возрастает — скорость тоже возрастает. Когда она постоянная — скорость тоже постоянна и не равна нулю.Если тело брошено под углом к горизонту, скорость сначала будет уменьшаться, так как ускорение свободного падения направлено вниз. Если тело бросить вертикально вверх, скорость тоже сначала будет уменьшаться. Но в этом случае при достижении верхней точки траектории на момент скорость тела будет равна нулю. Следовательно, график зависимости кинетической энергии от времени в этот момент тоже должен быть равен нулю. Но это не так. Поэтому последний вариант ответа не подходит.Если бы тело упало на неподвижный объект, его скорость относительно Земли стала бы равной нулю. Но так как его кинетическая энергия не равна нулю и является постоянной, тело начало двигаться с постоянной скоростью. Это возможно только в случае, если тело упало на объект, движущийся с постоянной скоростью. Поэтому из всех вариантов ответа подходит только первый, когда тело падает в проезжающий мимо грузовик.Ответ: а
Задание EF18192 К бруску массой 0,4 кг, лежащему на горизонтальной поверхности стола, прикреплена пружина. Свободный конец пружины тянут медленно в вертикальном направлении (см. рисунок). Определите величину потенциальной энергии, запасённой в пружине к моменту отрыва бруска от поверхности стола, если пружина при этом растягивается на 2 см. Массой пружины пренебречь.а) 40 мДжб) 20 мДжв) 80 мДжг) 200 мДжЗаписать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.Сделать чертеж, указать силы, действующие на пружину, выбрать систему отсчета.Записать формулу для вычисления потенциальной энергии в пружине.Выполнить общее решение.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.Запишем исходные данные:Масса бруска: m = 4 кг.Удлинение пружины: ∆l = 2 см.Переведем сантиметры в метры:2 см = 0,02 мВыполним рисунок. Для описания ситуации нам понадобится только одна ось: Oy.Потенциальная энергия деформированной пружины определяется формулой:Так как брусок поднимают за прикрепленную к нему пружину медленно, можно считать, что это движение равномерное (и прямолинейное). Поэтому, согласно второму закону Ньютона:Fт = FупрЧтобы оторвать брусок от поверхности стола, модуль силы тяги должен быть равен модулю силы тяжести. Поэтому:Fт = Fтяж =Fупрmg = k∆lТеперь можем выразить жесткость пружины:Подставим жесткость пружины в формулу потенциальной энергии и сделаем вычисления:Ответ: а
Задание EF18553Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t 3t2(все величины выражены в СИ).Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.Записать исходные данные и перевести их единицы измерения величин в СИ.Записать уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении в общем виде.Сравнить формулу из условия задачи с этим уравнением движения и выделить кинематические характеристики движения.Определить перемещение тела и его кинетическую энергию.Выбрать для физических величин соответствующую позицию из второго столбца таблицы и записать ответ.Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:a/2 = –3 (м/с2), следовательно, a = –6 (м/с2).Перемещение тела определяется формулой:Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:Кинетическая энергия тела определяется формулой:Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:Поэтому кинетическая энергия тела равна:Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.
Ответ: 34
Виды механической энергии
В механике состояние системы определяется положением тел и их скоростями. Поэтому в ней выделяют два вида энергии: потенциальную и кинетическую.
Определение кинетической энергии
Кинетическая энергия — это энергия, которой обладает движущееся тело. Она обозначается как Ek. Кинетическая энергия тела зависит от его массы и скорости. Численно она равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости:
Определение потенциальной энергии
Потенциальная энергия — это энергия взаимодействующих тел. Она обозначается как Ep.
Потенциальная энергия в поле тяготения Земли численно равна произведению массы тела на его высоту (расстояние от поверхности планеты) и на ускорение свободного падения:
Потенциальная энергия упруго деформированного тела определяется формулой:
k — жесткость пружины, x — ее удлинение.
Пример №1. Мальчик подбросил футбольный мяч массой 0,4 кг на высоту 3 м. Определить его потенциальную и кинетическую энергию в верхней точке.
Потенциальная энергия мяча в поле тяготения Земли равна:
Ep = mgh = 0,4∙10∙3 = 12 (Дж)
В верхней точке полета скорость мяча равна нулю. Следовательно, кинетическая энергия мяча в этой точке тоже будет равна нулю:
Ek = 0 (Дж).
Список вопросов теста
Пуля, летящая со скоростью u0, пробивает несколько одинаковых досок равной толщины и расположенных вплотную друг к другу. Скорость пули после прохождения первой доски равна 0,8u0. Определите порядковый номер доски, в которой застрянет пуля. В ответ запишите только число.
Вопрос 2
Во сколько раз возрастёт тормозной путь автомобиля, если скорость движения увеличить в 3 раза?
Варианты ответов
Первое тело массой М обладает кинетической энергией, которая вдвое больше, чем кинетическая энергия второго тела массой 2М. Сравните скорости v1 и v2 этих тел
Вопрос 4
Определите работу, которую совершает двигатель автомобиля при разгоне, если автомобиль движется с ускорением 2 м/с2 в течение 10 с, а его масса 1,5 т. Коэффициент сопротивления движению 0,02. Ответ дайте в кДж, округлив его до целого числа. В строку ввода запишите только число. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.
Вопрос 6
Выберете верные утверждения.
Вопрос 7
Сопоставьте, от чего зависит и не зависит потенциальная энергия тела?
Вопрос 9
Укажите, какое тело какими видами энергии обладает.
Обладает кинетической и потенциальной энергией
Обладает потенциальной энергией
Не обладает ни кинетической, ни потенциальной энергией, если уровень земли принят за нулевой.
Вопрос 10
Потенциальная энергия сжатой пружина равна 10 Дж. Если коэффициент жёсткости данной пружины равен 250 Н/м, то насколько сантиметров сжали пружину. Ответ округлить до целого числа. В строку ввода введите только число.
Первое тело массой М обладает кинетической энергией, которая вдвое больше, чем кинетическая энергия второго тела массой 2М. Сравните скорости v1 и v2 этих тел
Мяч скатывается с холмика, высотой 5 метров. Пренебрегая трением, определите его скорость у подножья холма (в м/с). В ответ запишите только число.
С каким телом нужно связать систему отсчёта, что бы в ней самолёт обладал как кинетической, так и потенциальной энергиями?