Ромб и его свойства, определение и примеры с решением
Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 48).
Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.
1. Сумма любых двух соседних углов ромба равна 180°.
2. У ромба противолежащие углы равны.
3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
4. Периметр ромба
Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство.
5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
– диагонали ромба
– точка их пересечения. Поскольку
– медиана равнобедренного треугольника
проведенная к основанию
является также высотой и биссектрисой треугольника
Аналогично можно доказать, что диагональ АС делит пополам угол
делит пополам углы
Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28°. Найдите углы ромба.
– диагональ ромба
– его высота (рис. 50),
2) Так как
Ответ. 124°, 56°, 124°, 56°.
Рассмотрим признаки ромба.
Теорема (признаки ромба). Если в параллелограмме: 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, — то параллелограмм является ромбом.
– параллелограмм (рис. 48). Так как
(по условию) и
(по свойству параллелограмма), то
(рис. 49). Поскольку
(по двум катетам). Следовательно,
По п. 1 этой теоремы
(рис. 49), то есть
– секущая, то
(как внутренние накрест лежащие). Следовательно,
Поэтому по признаку равнобедренного треугольника
– равнобедренный и
Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник – ромб.
1) Так как противолежащие стороны четырехугольника
попарно равны, то
2) У параллелограмма
соседние стороны равны. Поэтому
– ромб (по признаку ромба).
Слово «ромб» греческого происхождения, которое в древние времена означало вращающееся тело, веретено, волчок. Ромб тогда связывали с сечением веретена, на которое намотаны нити.
В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается единожды, а свойства ромба Евклид вообще не рассматривал.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
“Прямоугольник. Ромб. Квадрат”
I. Организационный момент.
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся.
1. Теоретическая самостоятельная работа
Заполнить таблицу, отметив знаки + (да), – (нет).
2. Проверочный тест
1. Любой прямоугольник является:
а) ромбом; б) квадратом; в) параллелограммом; г) нет правильного ответа.
а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник; г) нет правильного ответа.
а) диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны;
б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;
в) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;
1. Любой ромб является:
а) квадратом; б) прямоугольником; в) параллелограммом; г) нет правильного ответа.
а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;
б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов;
в) два угла прямые и две стороны равны;
1 вариант: 1 – в); 2 – г); 3 – б).
2 вариант: 1 – в); 2 – а); 3 – а).
III. Проверка усвоения теоретического материала.
Два ученика работают у доски. .Первый доказывает один из признаков параллелограмма, второй- диагоналей прямоугольника. В это время остальные учащиеся устно решают задачи по готовым чертежам.
После решения задач заслушиваются ответы учащихся у доски.
Решение задач у доски с краткой записью.
1) Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому треугольник АОВ – прямоугольный (рис.1). Пусть в D АОВ
АВО = х, тогда
ВАО = х + 30° , значит
АВО = 30° ,
ВАО = 60° , а т.к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то
ВАD = 120° ,
Противолежащие углы в ромбе равны, тогда
АВС = 60° ,
BAD = 120° .
Ответ: 60 ° ,120° , 60° , 120° .
2) Угол между диагоналями прямоугольника равен 80° . Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит ВО = ВD/2 = АС/2 =АО и D АОВ – равнобедренный (рис.2.), тогда
ОВА = 50° . В прямоугольнике все углы прямые, тогда
3) В ромбе ABCD биссектриса угла ВAC пересекает сторону ВС и диагональ BD соответственно в точках М и N. Найдите
В ромбе (рис.3.) противолежащие углы равны и диагонали являются биссектрисами его углов, т.е.
ВАD : 2 =
ВСD : 2 =
ВСА. Т.к. АМ – биссектриса
В треугольнике АМС
МСА = 180 ° – АМС = 180 ° -120° = 60° .
МСА : 2, тогда
МАС = 20° ,
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, треугольник АОВ – прямоугольный,
АВО = 90° –
В треугольнике АВN
ANB = 110° .
IV. Самостоятельная работа обучающего характера с последующей самопроверкой.
1) В ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О,
С = 80° ; СО – биссектриса
ОСВ = 40° ; .
B = (360° -(
б) D СОВ – прямоугольный,
ВОС = 90° ,
ОСВ =40° ,
ОВС = 100° /2=50°
Ромб это четырехугольник в котором диагонали взаимно перпендикулярны а противолежащие стороны
С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти неизвестные этлементы ромба по известным элементам. Для нахождения неизвестных элементов ромба, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
Определение ромба
Определение 1. Ромб − это параллелограмм, у которого все стороны равны.
На рисунке 1 изображен ромб ABCD.
Определение 2. Ромб − это четырехугольник, у которого все стороны равны.
Ромб разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью ромба, а другая внешней областью ромба.
Объединение ромба и ограниченной им части плоскости также называют ромбом.
Свойства ромба
Поскольку ромб является параллелограммом, то имеет следующие свойства:
Ромб имеет также и следующие свойства:
Докажем свойства 6 и 7, сформулировав следующую теорему:
Теорема 1. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
Доказательство. По определению 1, ( small AD = DC ) (Рис.2). Следовательно треугольник ( small DAC ) равнобедренный. Тогда ( small angle DCO = angle DAO. ) Учитывая, что ( small AO = OC ) (свойство 5 ромба), получим, что треугольники ( small DOA ) и ( small DOC ) равны по двум сторонам и углу между ними (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда равны углы DOC и DOA. Но эти углы смежные и их сумма равна 180°. Следовательно ( small angle DOC= angle DOA=90°. ) То есть диагонали AC и BD перпендикулярны.
Из равенства треугольников ( small DOA ) и ( small DOC ) также следует, что ( small angle CDO= angle ADO,) следовательно BD является биссектрисой угла ADС, то есть BD является биссектрисой ромба ABCD.
Признаки ромба
Признак 1. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм − ромб.
Доказательство. Пусть смежные стороны параллелограмма ABCD равны. То есть имеем: AB=BC (Рис.3). У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда DC=AB=BC=AD. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
Признак 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм − ромб.
Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны (Рис.3). Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и COB. Так как у параллелограмма диагонали точкой пересечения разделяются пополам (Свойство 2 статьи Параллелограмм), то AO=OC. Тогда прямоугольные треугольники AOB и COB равны по двум катетам (AO=OC, BO общий катет (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства)). Следовательно AB=BC. Тогда по признаку 1 этот параллелограмм является ромбом.
Признак 3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм − ромб.
Признак 4. Если стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник − ромб.
Доказательство. Пусть у четырехугольника все стороны равны. Тогда этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). А по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
Если в четырехугольнике диагонали делят все углы пополам то это ромб доказать
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма:
(sim) противоположные углы ромба попарно равны;
(sim) соседние углы ромба в сумме дают (180^circ) ;
(sim) диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Теорема: свойство ромба
Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.
Рассмотрим ромб (ABCD) .
По определению ромба (AB = AD) , поэтому треугольник (BAD) равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой (O) пересечения делятся пополам. Следовательно, (AO) – медиана равнобедренного треугольника (BAD) , а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому (ACperp BD) и (angle BAC = angle DAC) .
Теорема: признаки ромба
1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это – ромб.
2. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то это – ромб.
3. Если в выпуклом четырехугольнике все стороны равны, то он – ромб.
1) Рассмотрим параллелограмм (ABCD) . Пусть (ACperp BD) .
Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике (ABD) отрезок (AO) – медиана. Т.к. к тому же (AO) – высота (следует из условия), то ( riangle ABD) – равнобедренный, т.е. (AB=AD) . Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.
2) Пусть (AC) – биссектриса угла (angle A) .
Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике (ABD) отрезок (AO) – медиана. Т.к. к тому же (AO) – биссектриса (следует из условия), то ( riangle ABD) – равнобедренный, т.е. (AB=AD) . Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.
3) Пусть (ABCD) – произвольный четырехугольник и (AB=BC=CD=AD) .
Т.к. противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он – параллелограмм. Т.к. у него все стороны равны, то по определению это ромб.
Четырехугольники
Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Выпуклый четырехугольник
Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.
Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.
Виды и свойства выпуклых четырехугольников
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.
На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь
S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Параллелограмм
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Трапеция
Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.
Виды трапеций
Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.
углы А и С равны по 90 градусов
Средняя линия трапеции
Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.
Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.
Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.
По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.
Ответ: см. решение
Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17
Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.
Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).
Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2
Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.
Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула
S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.
Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.
Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:
с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88
Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8
Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:
12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .
В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .
Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2
Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4
На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
Задание №1
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.
Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:
при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.
Итак, получили следующее:
1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.
Заполняем нашу таблицу:
Записываем ответ: 3517
Задание №2
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).
Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».
Задание №3
Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.
Задание №4
Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.
Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).
Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м
Задание №5
Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.
Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?
Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:
1 магазин: 232х0,25=58 кг
2 магазин: 232х0,4=92,8 кг
Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:
2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.
Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:
1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.
2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.
Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.
Определение, свойства, признаки
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – ромба.
Ромб – это фигура на плоскости; разновидность параллелограмма, у которого все четыре стороны равны и попарно параллельны. Обычно ромб обозначается названиями его вершин (например, ABCD), а длина его стороны – строчной латинской буквой (например, a).
Примечание: квадрат является частным случаем ромба.
Противоположные углы ромба равны между собой, а сумма соседних углов составляет 180°.
Свойство 2
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
В результате пересечения диагоналей ромб делится на 4 прямоугольных треугольника: ΔAEB, ΔBEC, ΔAED и ΔDEC.
Свойство 3
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Свойство 4
Сторону ромба a можно найти через его диагонали d1 и d2 (согласно теореме Пифагора).
Свойство 5
В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
Радиус вписанной в ромб окружности r вычисляется по формуле:
Параллелограмм является ромбом только в том случае, если для него верно одно из следующих утверждений:
Примечание: Любой четырехугольник, стороны которого равны, является ромбом.
Квадрат, свойства и формулы, площадь и периметр.
Квадрат – это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата
Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата
Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата
Квадрат – это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.
Рис. 1. Квадрат
Все углы квадрата прямые. Каждый из них прямой и равен 90°.
Таким образом, все квадраты отличаются друг от друга только длиной стороны.
Рис. 2. Квадрат и диагонали квадрата
Диагональ квадрата – это отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата. AC и BD – это диагонали квадрата.
Квадрат является одновременно частным случаем других фигур: параллелограмма, ромба и прямоугольника. Поэтому квадрату присущи все свойства параллелограмма, ромба и .
Квадрат – это равносторонний прямоугольник.
Квадрат – это ромб с прямыми углами.
1. Длины всех сторон равны.
Рис. 3. Квадрат
AB = BC = CD = AD
2. Противоположные стороны квадрата параллельны.
Рис. 4. Квадрат
3. Все углы квадрата прямые. Каждый из них равен 90°.
Рис. 5. Квадрат
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
4. Сумма углов квадрата равна 360 градусам.
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.
5. Диагонали квадрата равны между собой.
Рис. 6. Квадрат
AC = BD
6. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
Рис. 7. Квадрат
AC ┴ BD
7. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Рис. 8. Квадрат
BO = OD = AO = OC
8. Угол между диагональю и стороной квадрата равен 45 градусам.
Рис. 9. Квадрат
∠BCA = ∠ACD = ∠DAC = ∠CAB = 45°
9. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов и делят углы пополам.
Рис. 10. Квадрат
∠ABD = ∠DBC = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠BDA = ∠DAC = ∠CAB = 45°
10. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.
Обе диагонали делят квадрат на 4 равных равнобедренных .
Рис. 11. Квадрат
△ABD = △CBD = △ABC = △ACD,
△AOB = △BOC = △COD = △AOD
11. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности.
Рис. 12. Квадрат
Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата
Пусть a – длина стороны квадрата, d – диагональ квадрата, R – радиус описанной окружности квадрата, r – радиус вписанной окружности квадрата, P – периметр квадрата, S – площадь квадрата.
Формула диагонали квадрата:
, , , , .
Формула радиуса вписанной окружности квадрата:
Радиус вписанной окружности квадрата равен половине его стороны.
Формула радиуса описанной окружности квадрата:
Формула периметра квадрата:
Формула площади квадрата:
, , , , .