Во сколько раз увеличится объем пирамиды если ее высоту увеличить в четыре раза

Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в K раз?

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

Данную задачу можно решить 2 способами. Во-первых, взять и подставить в формулу объема куба ребро, увеличенное в 3 раза, и сравнить результаты с исходной формулой. Исходная формула:

V = a3

Если сторона будет увеличена в 3 раза, то объем станет равен:

V = (3a)3 = 27 ⋅ a3

Получается, что объем увеличился в 27 раз.

Во-вторых, можно воспользоваться коэффициентом подобия, так как новый куб будет подобен исходному. В данном случае коэффициент подобия равен 3 (так как новое ребро больше в 3 раза). Объемы подобных кубов относятся как куб коэффициента подобия, то есть объем куба увеличится в 33 = 27 раз.

В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:

ОБЪЕМ УВЕЛИЧИТСЯ В = K3

где K – во сколько раз увеличена сторона куба (коэффициент подобия).

Остается лишь подставить конкретные значения и подсчитать результат.

7
8. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер. У данного тетраэдра грани – равные правильные треугольники Сечением тетраэдра является квадрат, т.к. стороны сечения являются средними линиями треугольников и в 2 раза меньше параллельных им сторон. S = a 2 = 0,5 2 = 0,25 Ответ: 0,25

8
9. Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВСА 1. Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина А 1 общая Пусть- объем пирамиды – объем параллелепипеда Тогда Очевидно, что площадь основания параллелепипеда S 2, больше в 2 раза площади основания пирамиды S 1 S 2 = 2S 1 Ответ: 1,5

9
10. Найдите объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, если объем треугольной пирамиды ABDA 1 равен 3. Формула объема пирамиды: Формула объема параллелепипеда: Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина А 1 общая Тогда Отсюда получим: Ответ: 18

10
Формула объема пирамиды: Формула объема параллелепипеда: Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина B 1 общая Тогда найдем отношение объемов: Отсюда получим: Ответ: Объем параллелепипеда АBCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B 1 ABC. A В С D B1B1 A1A1 D1D1 C1C1 H

11
12. Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD 1 СВ 1. Формула объема пирамиды: Формула объема параллелепипеда: Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина В 1 общая. Тогда найдем отношения объемов: Отсюда: Ответ: 1,5 Очевидно, что пирамида AD 1 CB 1 находится внутри параллелепипеда. Надо только отрезать четыре равные треугольные пирамиды, у которых три ребра – измерения параллелепипеда (a, b, h), а другие три ребра – диагонали трех различных граней параллелепипеда: В 1 АВС; CВ 1 C 1 D 1 ; AA 1 B 1 D 1 ; D 1 ACD

12
13. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной центр куба. MABCD – правильная четырехугольная пирамида, т.к в основании лежит квадрат, а высота проецируется в центр этого квадрата А В С М А1А1 В1В1 С1С1 D D1D1 O O1O1 ОО 1 = H – высота куба ОМ = h – высота пирамиды Н = 2 h Формула объема куба: Формула объема пирамиды: Тогда найдем отношение объемов: Ответ: 2

13
14. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. V SABC = 12, V SMCN – ? Пирамиды SABC и SMCN имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина S общая. Тогда найдем отношение объемов: Т.к. MN – средняя линя треугольника, то АВС ~ MNC, где k = 2 Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия Ответ: 4

14
15. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC. О К SABCD – правильная пирамида, в основании лежит квадрат, а высота SO = H проецируется в центр этого квадрата EABC – треугольная пирамида, в основании лежит АВС, а высота ЕК = h является средней линией BOS и равна половине SO H = 2h Тогда найдем отношение объемов: Очевидно, что площадь основания ABCD, больше в 2 раза площади основания ABC Ответ: 3

15
Тогда найдем отношение объемов: A B CD E F 16. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды. Пирамиды имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина S общая. O Очевидно, что S АВС = S AOB, т.е. площадь правильного шестиугольника в 6 раз больше площади АВС V SABCDEF = 6. V SABC = 6. 1 = 6 Ответ: 6

16
17. От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части. Ответ: 4 A B C A1A1 C1C1 B1B1 V приз = 6, V пир – ? Призма и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина С 1 общая. Тогда найдем отношения объемов: Объем пирамиды в 3 раза меньше объема призмы, значит V пир = 2 Тогда объем оставшейся части: 6 – 2 = 4

17
18. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. A B C М 1 часть 2 части К V MABC = V KABC + V MABK = 15 Высота пирамиды МАВС (Н) содержит высоту пирамиды КАВС (h) Основание этих пирамид – ОБЩЕЕ Найдем их отношение: Объем оставшейся пирамиды равен: 15 – 10 = 5 Ответ: 10 М С К

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Для решения этой задачи не нужно быть профессионалом. Нам нужно знать формулу для объема пирамиды: V = 1/3 * S * h, где S – площадь основания, а h – высота пирамиды.

По условию задачи высоту пирамиды увеличивают в 4 раза. Значит, новая высота будет h’ = 4h.

Теперь нам нужно выразить новый объем пирамиды через старый. Для этого воспользуемся формулой для объема пирамиды и подставим новую высоту:

V’ = 1/3 * S * h’ = 1/3 * S * 4h = 4/3 * S * h

Таким образом, новый объем пирамиды будет в 4/3 раза больше старого: V’ = 4/3 * V.

Ответ: объем пирамиды увеличится в 4/3 раза, если ее высоту увеличить в четыре раза.

Написать сочинение по запросу

Решние математических задач может быть сложным делом, особенно, если речь идет о геометрических фигурах. Что делать, если перед вами стоит задача, которую трудно решить вручную? Решение простое – обратиться к нейросети онлайн!

Наша нейросеть пишет текст и решает задачи любой сложности. Она без проблем рассчитает, во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза. Это все можно сделать быстро и удобно, не тратя впустую свое время. Идеально для тех, кто ищет быстрое и надежное решение задач!

Создать текст по запросам:

Циллиндр

8
Дано два цилиндра.
Объём первого цилиндра равен 81.
У второго цилиндра высота в 4 раза больше, а
радиус основания в 3 раза меньше, чем у первого.
Найдите объём второго цилиндра.

9
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 45 см.
На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй сосуд, диаметр основания которого в 3 раза больше первого?

10
В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды,
опущена деталь. При этом уровень жидкости сосуде
поднялся в 1,5 раза. Чему равен объём детали?

11
В цилиндрический сосуд налили 2100 см3 воды.
Уровень воды при этом достигает высоты 20 см. В жидкость полностью погрузили деталь.
При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см.
Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.

12
Длина окружности основания цилиндра равна 4, высота равна 7. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

13

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72π,
а диаметр основания – 9. Найдите высоту цилиндра.

14
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 40π,
а высота -4. Найдите диаметр основания.

15
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра,
радиус основания и высота которого равны 5,5.
Найдите объём параллелепипеда.

16
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра,
радиус основания которого равен 5. Объём параллелепипеда равен 50.
Найдите высоту цилиндра.

17
Шар, объём которого равен 88, вписан в цилиндр.
Найдите объём цилиндра.

18
Цилиндр, объём которого равен 72, описан около шара. Найдите объём шара.

19 Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности
цилиндра равна 117. Найдите площадь поверхности
шара.

ШАР

1
Во сколько раз увеличится объём шара, если
его радиус увеличить в три раза?

2
Даны два шара. Радиус первого шара в 70 раз больше радиуса второго.
Во сколько раз площадь поверхности первого шара
больше площади поверхности второго?

3
Объём одного шара в 27 раз больше объёма второго.
Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

4
Площадь большого круга шара равна 1. Найдите площадь поверхности шара.

5
Площадь поверхности шара равна 12. Найдите площадь большого круга шара.

6
Шар, объём которого равен π, вписан в куб. Найдите объём куба.

7
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6. Найдите его объём.