Скорее всего, вы смогли бы отыскать три варианта:
И были бы абсолютно правы! Интересно, что в пункте № 3 скрывается один интересный случай, который мы рассмотрим подробнее сегодня, а именно: прямые могут быть перпендикулярны друг другу.
Что это означает? Рассмотрим определение перпендикулярных прямых.
Кратная вводная
Для работы с перпендикулярными прямыми нам потребуются два вида углов: смежные и вертикальные.
Смежные углы
Определение. Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются продолжением друг друга.
Вот пример смежных углов с общей стороной $MN$:
Основное свойство таких углов: их сумма всегда равна 180°:
Таким образом, зная один смежный угол, мы тут же найдём другой.
Вертикальные углы
Определение. Углы, которые образуются при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга, называются вертикальными.
На самом деле на пересечении двух прямых возникает сразу две пары таких углов:
Вертикальные углы всегда равны — и это их главное свойство. На рисунке мы видим, что $angle 1=angle 3$ и $angle 2=angle 4$.
Какие бывают углы
И вообще, нам пока известны четыре типа углов: острый, прямой, тупой и развёрнутый.
Интересное свойство прямого угла: если при пересечении двух прямых возник прямой угол, то все остальные углы (вертикальные, смежные с ним) тоже будут прямыми. И вот тут мы переходим к основной теме урока.
Основные определения
Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются друг с другом под углом 90 градусов. Обозначение перпендикулярных прямых: а ┴ b.
Угол, равный 90 градусам, в математике называют прямым и помечают на чертеже квадратиком.
Еще один интересный факт из мира геометрии: если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов равен 90°, то и все остальные углы — прямые, а их сумма будет равна 360°.
Перпендикулярные отрезки — это отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых.
Чтобы называться перпендикулярными, отрезкам не обязательно пересекаться самим. Достаточно, чтобы угол между прямыми, на которых они лежат, был равен 90°.
В качестве задачки со звездочкой давайте вспомним, в каких фигурах могут встречаться перпендикулярные отрезки (стороны)? Наверняка вы сразу назовете квадрат и прямоугольник, но также подходит прямоугольный треугольник и даже прямоугольная трапеция — с ней вы познакомитесь на уроках геометрии в 8-м классе.
Также перпендикулярно к стороне могут располагаться различные элементы внутри фигуры. Попробуйте расположить перпендикулярно друг другу диаметр и радиус окружности, две хорды, биссектрису угла треугольника (кстати, последнее задание получится выполнить только в случае, если проводить биссектрису угла к основанию равнобедренного треугольника).
Как мы видим, прямые очень часто пересекаются под углом 90 градусов. Можно сказать, это своего рода обычное, будничное поведение прямых. Прямые углы окружают нас повсюду: в комнате, на оживленных улицах города, в бассейне и даже в любимой книге.
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почтуУзнай, какие профессии будущего тебе подойдутПройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас
Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые называются , если угол между ними равен .
В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые, так как мы говорим , который могут образовать эти прямые, если их поместить в одной плоскости.
Так же как и в плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые (a) и (b) обозначают
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна этой прямой.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая, пересекающая плоскость, называется этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости.
Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается как
Через любую точку пространства перпендикулярно данной плоскости проходит прямая, притом только одна.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
пусть (a) — прямая, перпендикулярная прямым (b) и (c) в плоскости. Проведём прямую (a) через точку (A) пересечения прямых (b) и (c). Докажем, что прямая (a) перпендикулярна плоскости, то есть каждой прямой в этой плоскости.
1. Проведём произвольную прямую (x) через точку (A) в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой (a). Проведём в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку (A) и пересекающую прямые (b), (c) и (x). Пусть точками пересечения будут (B), (C) и (X).
2. Отложим на прямой (a) от точки (A) в разные стороны равные отрезки (AM) и (AN).
3. Треугольник (MCN) равнобедренный, так как отрезок (AC) является высотой по условию теоремы и медианой по построению ((AM=AN)). По той же причине треугольник (MBN) тоже равнобедренный.
4. Следовательно, треугольники (MBC) и (NBC) равны по трём сторонам.
5. Из равенства треугольников (MBC) и (NBC) следует равенство углов (MBX) и (NBX) и, следовательно, равенство треугольников (MBX) и (NBX) по двум сторонам и углу между ними.
6. Из равенства сторон (MX) и (NX) этих треугольников заключаем, что треугольник (MXN) равнобедренный. Поэтому его медиана (XA) является также высотой. А это и значит, что прямая (x) перпендикулярна (a). По определению прямая (a) перпендикулярна плоскости.
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Свойства перпендикулярных прямых
Перпендикулярные прямые обладают свойствами, которые можно использовать при решении геометрических задач. Давайте изучим их и приведем доказательство каждого.
Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются
Конечно же, это свойство хорошо просматривается при построении. Но как мы уже выяснили, математики — народ сомневающийся, поэтому попробуем обосновать, почему это так.
Предположим, что прямые АА1 и ВВ1 все же пересекутся в точке К. Что бы это значило? Что мы совершили невероятное и опровергли теорему о перпендикулярных прямых! Ведь тогда получается, что через точку К проходит несколько перпендикулярных прямых, которые в свою очередь пересекают прямую а под углом 90 градусов! Как было сказано выше, это невозможно, а значит и прямые АА1 и ВВ1 не пересекаются.
Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, называется расстоянием от прямой до этой точки
Интересно, что такое расстояние является кратчайшим.
Представьте, что вам необходимо проложить путь от вас до огромного торгового центра, состоящего из множества магазинчиков. Вам не важно, в какой из них заглянуть, вы просто хотите потратить на дорогу как можно меньше времени. Какой путь вы выберете?
Конечно же, путь номер 2! Но есть ли этому научное объяснение?
Треугольник АВС прямоугольный, АВ и ВС— катеты, АС — гипотенуза. Согласно соответствию углов и сторон, в треугольнике наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла. Таким углом является прямой угол В, а наибольшая сторона — гипотенуза АС. Под каким бы углом мы ни расположили гипотенузу, она всегда будет больше остальных сторон.
В задачах по геометрии часто просят найти расстояние между различными элементами: между двумя точками, между точкой и прямой, между двумя прямыми. Теперь вы знаете, что под расстоянием подразумевают перпендикуляр! Благодаря этому знанию вы избежите множества ошибок, ведь между двумя элементами можно провести бесконечное множество прямых (и кривых), но только один вариант будет верным.
Кстати, перпендикуляр, проведенный из вершины угла фигуры на прямую, содержащую противоположную сторону, известен под именем высота. С высотами связано множество теорем и свойств, которые вы будете изучать немного позже. В качестве интриги оставим вам пример того, где находится точка пересечения высот в треугольниках разного типа. Заметили что-то необычное?
Способы построения перпендикулярных прямых
Но как можно построить перпендикулярные прямые? Что для этого может понадобиться? Давайте разберем все доступные нам способы.
Самый легкий — воспользоваться транспортиром. Построим прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой. Совместим значение 90 градусов с точкой таким образом, чтобы нижняя часть транспортира в виде линейки полностью совпала с прямой, и сделаем засечку в отверстии транспортира. Соединим точку А с поставленной засечкой до пересечения с прямой.
Но что делать, если транспортир благополучно забыт дома и у нас есть только линейка и угольник? Внимательно рассмотрите рисунок и попрактикуйтесь в построении дома.
Простые задачи
Начнём с простых задач.
Решение. Пусть $angle NOS=x$. Тогда из равенства
Теперь мы можем найти угол $SOT$:
Кроме того, углы $MOS$ и $NOS$ — смежные, поэтому их сумма равна 180°. Отсюда получаем:
Оба требуемых угла найдены. Задача решена.
Задача 2. Дан угол $AMC$, равный 140°. Внутри этого угла проведены лучи $MN$ и $MK$, причём $MNot MC$ и $MKot MA$. Найдите угол $KMN$.
Точно так же найдём угол $CMK$, который вместе с углом прямым $AMK$ образует исходный угол $AMC$:
Осталось найти искомый угол $KMN$:
Готово! Мы нашли нужный угол. Он равен 40 градусов.
Решение. Углы 1 и 3 — вертикальные, поэтому они равны:
Кроме того, углы 1 и 2 вместе образуют прямой угол, поэтому их сумма равна 90 градусов:
Наконец, углы 2 и 4 — тоже вертикальные, поэтому они тоже равны:
Итого мы нашли все требуемые углы. Они равны 54, 36 и 54 градуса.
Решение. Пусть $angle BMK=x$. Тогда, поскольку $ACot MB$, углы $BMK$ и $CMK$ в сумме дают 90°. Отсюда получаем, что
С другой стороны, по условию задачи угол $NMK$ — прямой. Этот угол состоит из углов $BMN$ и $BMK$, поэтому
Перпендикулярные прямые и параллельные прямые
Перпендикулярные прямые и параллельные прямые
Изучая геометрические фигуры, мы постоянно сталкиваемся с перпендикулярными прямыми. Например, смежные стороны прямоугольника перпендикулярны. Как убедиться в том, что две линии (прямые) перпендикулярны? С давних пор люди проверяли перпендикулярность стены основанию дома с помощью специального отвеса. Отсюда и произошло название перпендикуляра: латинское «перпендикулярис» означает «отвесной». Чтобы построить перпендикуляр к прямой, необходимо построить прямой угол. Это можно сделать с помощью чертежного треугольника или транспортира.
Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.
На рисунке изображены прямые а и b, они перпендикулярны друг другу и осям координат. Пишут: a ⊥ b (а перпендикулярна b), a ⊥ OY (прямая a перпендикулярна оси ОY), b ⊥ OX (прямая b перпендикулярна оси ОХ).
Если a ⊥ b, то b ⊥ a.
На рисунке прямые c и d перпендикулярны друг другу, но не перпендикулярны осям координат. Пишут: с ⊥ d. Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками (или лучами). Например, луч ОХ ⊥ лучу ОY.
Две различные прямые могут либо пересекаться в одной точке, либо не пересекаться.
Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными.
Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками (лучами).
Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
Поэтому противоположные стороны любого прямоугольника параллельны.
Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Пример 1. Начертим два перпендикулярных отрезка АВ и СМ так, чтобы они не пересекались; пересекались.
Пример 2. Начертим треугольник и проведем через каждую вершину прямую, параллельную противоположной стороне.
Заметили ошибку?
Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.
Сначала разберём два «стандартных» свойства, которые вы найдёте в любом учебнике геометрии 7-го класса. А затем — одно «нестандартное», но именно оно чаще всего и встречается в настоящих задачах.
Теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей
Теорема 1. Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.
Прямая $ABot EF$ и прямая $MNot EF$. Следовательно, прямые $AB$ и $MN$ не пересекаются. Проще говоря, они параллельны (см. урок «Параллельные прямые»).
Теорема о прямой, перпендикулярной данной
Теорема 2. Через каждую точку прямой можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.
Доказательство этой теоремы состоит из двух частей: сначала докажем, что такую прямую провести можно, а затем — что она единственная.
Прямая, перпендикулярная данной, строится очень просто. Рассмотрим прямую $a$, на которой отмечена точка $M$:
Отложим от луча $MK$ угол, равный 90°. В любую сторону: в верхнюю полуплоскость или нижнюю — не имеет значения. Получим луч $MN$:
Наконец, продолжим луч $MN$ в противоположную другую сторону (т.е. построим дополнительный луч). Получим искомую прямую $MNot a$:
Единственность такого построения следует либо из аксиомы о том, что нужный угол можно отложить в нужном направлении одним и только одним способом, либо из предыдущей теоремы о двух прямых, перпендикулярных данной. В самом деле, пусть есть ещё одна прямая $ML$, которая, как и $MN$, перпендикулярна прямой $a$:
Поскольку $MNot a$ и $MLot a$, по предыдущей теореме эти прямые не пересекаются. Что противоречит нашему построению, в котором у прямых $MN$ и $ML$ есть общая точка $M$. Следовательно, прямые $MN$ и $ML$ совпадают, что и требовалось доказать.
Важное свойство прямого угла
Две теоремы, которые мы рассмотрели выше, редко встречаются в реальных примерах. Зато сейчас мы рассмотрим свойство, которое действительно помогает решать многие задачи. Звучит оно очень просто:
Это утверждение может показаться очевидным. И оно действительно является таковым. Однако деление прямого угла на части встречается в задачах настолько часто, что я не мог не упомянуть об этом.
Кроме того, начинающие ученики часто не замечают такие углы на чертежах. Поэтому сейчас мы будем отрабатывать эту теорему на реальных задачах.
Определение перпендикулярных прямых
Определение. Если при пересечении двух прямых возникло четыре прямых угла, такие прямые называются перпендикулярными.
Мы уже знаем, что достаточно найти на таком пересечении всего один угол в 90 градусов — остальные три угла станут прямыми автоматически:
Перпендикулярные прямые обозначают значком «$ot $»: $ABot CD$, $aot b$ и т.д.
Часто в задачах рассматриваются не все прямые, а лишь отрезки, лежащие на этих прямых
Применение знания о перпендикулярных прямых
Напоследок ответим на вопрос, который мог возникнуть у некоторых из вас: «А как в древности люди решали вопрос с построением перпендикулярных прямых, прямых углов в частности? Были ли у них приспособления для этого?»
Построение прямых углов было важным умением даже в древности, так как от этого зависела крепость и устойчивость возведенных стен зданий, мостов, механизмов для строительства. Один лишний градус — и целый город мог оказаться в опасности из-за обрушившегося дворца или башни.
Древние зодчие поняли, что возлагать все надежды на четырехугольники не стоит, потому что квадраты и прямоугольники легко превращаются в параллелограммы, меняя величину углов и оставляя неизменными длины сторон. Стоит только немного потянуть за «ушки» квадрата, как он начинает беспощадно ломать прямые углы, а ведь в условиях строительства многое может пойти не так и искривить конструкцию: ветер, изменение температуры, неточность мастера.
Хорошо, что есть более стабильная фигура — треугольник. Все дело в соотношении его сторон и углов, а еще в невозможности создать несколько треугольников из сторон заданной длины. Если у вас есть отрезки длиной 6, 8 и 10 сантиметров, из них можно составить только один треугольник. В случае, если одна сторона растянется под действием нагрузки или сожмется из-за понижения температуры — треугольник просто перестанет существовать.
С этой точки зрения прямоугольные треугольники — лучшие друзья архитекторов, которые хотят строить ровные и красивые здания. Зодчие Древнего Египта использовали шнур или веревку, на которых через равные расстояния были завязаны 12 узлов. Строители натягивали такой шнур, создавая прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц. Такой метод получения угла, равного 90 градусам, был сверхточным, а по сторонам-катетам-шнурам можно было выкладывать кирпичи или камни.
Удивлены? Еще больше поразительных фактов и, самое главное, помощь в понимании алгебры и геометрии вы получите на курсах профильной математики в онлайн-школе Skysmart. Секреты древних архитекторов, бытовые задачки и подготовка к экзаменам — все на удобной платформе с опытными учителями. Ждем вас!
Злые задачи
Деление задач на простые и сложные весьма условно. Часто «сложными» называют многошаговые задачи и доказательства.
Задача 5. Дан угол $AMB$, равный 64°. Из вершины этого угла проведены лучи $MC$ и $MD$, причём $MCot MA$ и $MDot MB$. Кроме того, полученный тупой угол $AMD$ содержит в себе лучи $MB$ и $MC$, которые деля этот угол на три части. Найдите углы $CMD$ и $AMD$.
Решение. Эта задача похожа на задачу 2. Взгляните на чертёж:
Поскольку угол $AMC$ — прямой, можем найти угол $BMC$:
С другой стороны, угол $BMD$ — тоже прямой, поэтому можем найти угол $CMD$:
Вновь, как и в задаче 2, получили, что углы $AMB$ и $DMC$ равны. Но это не относится к делу. Найдём угол $AMD$, представив его как сумму углов $AMB$ и $BMD$:
Задача 6. Дан прямой угол $AMB$. Луч $MC$ делит этот угол на два острых угла: $AMC$ и $BMC$. Угол между биссектрисами углов $AMC$ и $AMB$ равен 18°. Найдите углы $AMC$ и $BMC$.
Решение. Вот это уже довольно интересная задача. Взгляните на чертёж:
Красным цветом обозначена биссектриса прямого угла $AMB$. Она разбивает этого угол на два маленьких угла по 45°.
Синим цветом обозначена биссектриса искомого угла $AMC$. Обозначим половинки этого угла за $x$ (имеется в виду, что каждая из половин угла $AMC$ содержит по $x$ градусов).
Но тогда угол между биссектрисами — это часть угла между стороной $MA$ прямого угла $AMB$ и биссектрисой этого же угла. Откуда получаем уравнение
Но тогда угол $AMC$ будет вдвое больше:
А угол $BMC$, который дополняет $angle AMC$ до прямого, можно найти по формуле
Итого искомые углы равны 54 и 36 градусов.
Задача 7. Два равных тупых угла имеют общую сторону. Две другие стороны этих углов взаимно перпендикулярны. Найдите величину тупого угла.
Решение. Пусть два равных тупых угла содержат по $x$ градусов. Вместе с прямым углом (т.е. углом в 90 градусов) они образуют полный поворот, т.е. 360 градусов. Получаем уравнение:
Задача 8. Из вершины развёрнутого угла проведены два луча, которые делят этот угол на три равные части. Докажите, что биссектриса среднего угла перпендикулярна сторонам развёрнутого угла.
Доказательство. Обозначим развёрнутый угол как $AOD$, а дополнительные лучи — $OB$ и $OC$. Биссектриса угла $BOC$ — это луч $MO$ (отмечен красным цветом).
Поскольку углы $AOB$, $BOC$ и $COD$ равны и в сумме образуют развёрнутый угол, их градусные меры также равны и составляют треть от 180°:
Кроме того, поскольку $OM$ — биссектриса, то углы $BOM$ и $COM$ равны между собой:
Однако угол $AOM$ составлен из углов $AOB$ и $BOM$, поэтому
Получили, что $OMot AD$, что и требовалось доказать.
29 июня 2022
Перпендикулярные прямые — это просто две прямые, которые пересекаются под углом 90°:
Перпендикулярные прямые встречаются в огромном количестве задач. Прямоугольные треугольники, координаты и даже клеточки в вашей тетради — это всё перпендикулярные прямые. Поэтому разберёмся с ними.
Урок состоит из пяти частей:
Начнём с краткой вводной: что уже нужно знать про прямые и углы в данному моменту.
Математика
Тема 9: Координаты на плоскости
Теорема о перпендикулярных прямых и ее доказательство
Теорема о перпендикулярных прямыхЧерез каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.
«Кто это вообще придумал?», — можете возразить вы. «Почему мы должны этому верить? Вдруг все иначе, а нас обманывают». Если это так, то ваши опасения — показатель пытливости ума!
Что такое теорема? Это утверждение, нуждающееся в доказательстве. Это означает, что его не принимает на веру никто: ни вы, ни учитель, ни самый великий ученый. Есть много способов доказательства теорем, один из которых — метод от противного. Используя его, мы будто соглашаемся с противоположным заявлением и рассуждаем, что из этого последует.
Например, попробуем доказать утверждение «осенью грачи улетают на юг» методом от противного. Предположим, что грачи остаются зимовать в наших городах. Тогда мы должны видеть их осенью и зимой повсеместно, а в небе не должно быть видно признаков масштабного перелета. Так ли это на самом деле? Конечно же, нет.
Теперь с помощью этого метода попробуем доказать теорему о перпендикулярных прямых.
Предположим, что теорема ложна, а значит, через точку, лежащую на прямой, можно провести несколько перпендикулярных прямых.
Что и требовалось доказать: вы — молодцы!