Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника.
Решение задачи
Площадь треугольника равна a*h/2, где h –
высота треугольника, а – сторона треугольника, к которой проведена высота.
SABC=AC*BD/2
AD=DC=AC/2=12/2=6 (по
свойству равнобедренного треугольника высота является
медианой)
Тогда, по
теореме Пифагора:
AB2=BD2+AD2
102=BD2+62
100=BD2+36
BD2=64
BD=8
SABC=AC*BD/2=12*8/2=48
Ответ: SABC=48
Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на
странице ‘Про нас’
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=20, DK=15, BC=12. Найдите AD.
Задача №8B0579
Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 30.
Задача №FC9BAC
Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.
Задача №07AA72
Найдите тангенс угла С треугольника ABC, изображённого на рисунке.
Задача №3A84F2
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 25°. Найдите величину угла OCD.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 48. Найдите площадь этого треугольника.
Проведем высоту BD.
По
свойству
равнобедренного треугольника:
высота, проведенная к основанию так же является и
медианой.
Следовательно, AD=DC=AC/2=48/2=24
Чтобы вычислить эту высоту треугольника воспользуемся
теоремой Пифагора:
AB2=BD2+AD2
252=BD2+242
625=BD2+576
BD2=49
BD=7
Площадь треугольника: S=ah/2=AC*BD/2
S=48*7/2=168
Ответ: S=168
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=6, AC=24.
Задача №DF648D
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=20, CD=48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.
Задача №CF2D65
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=10:9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника ABC.
Задача №3F6C6B
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC
в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=6, CK=10.
Ответы
Возьмем равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, боковыми сторонами АВ, ВС и высотой BD, проведенной к основанию АС. У равнобедренного треугольника длины боковых сторон равны между собой:
│АВ│ = │ВС│
В задаче требуется найти площадь треугольника АВС, зная что:
│АВ│ = │ВС│ = 10;
│АС│ = 12.
Используя соотношения для прямоугольного треугольника ABD, получаем:
H = │ВD│ = √(│АВ│^2 – (│АС│/2)^2) = 8;
Формулы для площади треугольника
Существует несколько формул для вычисления площади произвольного треугольника ABC:
Здесь S – площадь треугольника, а, b и c – длины сторон треугольника, h1, h2, h3 – высоты треугольника, проведенные к сторонам а, b и c, соответственно, A, B и С – углы треугольника, p – полупериметр треугольника:
p = (a + b + c) / 2
Формула, использующая полупериметр, называется формулой Герона в честь греческого математика, жившего в первом веке н.э.
Вычисление площади равнобедренного треугольника
Применительно к нашей задаче, указанные формулы принимают вид:
Как и следовало ожидать, используя разные формулы, получаем для площади S равнобедренного треугольника одинаковый результат:
S = 48
Ответ: площадь треугольника равна 48.
Это одно из сложных заданий первой части Профильного ЕГЭ по математике. Не рассчитывайте на везение — здесь много различных типов задач, в том числе непростых. Необходимо отличное знание формул планиметрии, определений и основных теорем.
Например, для вычисления площади произвольного треугольника мы применяем целых 5 различных формул. Cколько из них вы помните?
Зато, если вы выучили все необходимые формулы, определения и теоремы, у вас намного больше шансов решить на ЕГЭ задачу 16, также посвященную планиметрии. Многие задания под №1 являются схемами для решения более сложных геометрических задач.
Bесь необходимый теоретический материал собран в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Поэтому сразу перейдем к практике и рассмотрим основные типы заданий №1 Профильного ЕГЭ по математике.
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
, BC = 15,
. Найдите AC.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катет BC — противолежащий для угла A, катет AC— прилежащий. Получим:
2. B треугольнике ABC угол C равен
По определению косинуса угла,
Найдем косинус угла A с помощью формулы:
Треугольники. Формулы площади треугольника.
3. B треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Bнешний угол при вершине B равен . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
. Тогда угол CBA равен
, поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Тогда третий угол этого треугольника, угол ACB, равен
4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.
По формуле площади треугольника,
Элементы треугольника: высоты, медианы, биссектрисы
, угол B равен
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD — равнобедренный, CD=BD. Тогда
Углы ACD и DCB в сумме дают
6. B остроугольном треугольнике ABC угол
B треугольниках ACE и OCD угол C — общий, углы A и D равны
. Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и
. Тогда угол DOE — смежный с углом DOC. Он равен
7. Острые углы прямоугольного треугольника равны
Медиана CM в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть AM=CM. Значит, треугольник ACM — равнобедренный, углы CAM и ACM равны.
8. B треугольнике ABC угол A равен
Найдем третий угол треугольника ABC — угол C. Он равен
Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть
Угол AOF — внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть
9. B треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
По условию, треугольники ADC и ADB — равнобедренные.
Значит, угол DAC равен углу ACD, а ADB равен углу ABD, как углы при его основании.
Обозначим угол BAD за х.
Из равнобедренного треугольника ABD угол ABD равен
C другой стороны, этот угол равен углу BAC, то есть
10. B параллелограмме ABCD AB=3, AD=21,
Найдите большую высоту параллелограмма.
Большая высота параллелограмма проведена к его меньшей стороне.
11. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно h1 и h2, и они проведены к сторонам a и b.
, и большая высота проведена к меньшей стороне, равной 5. Длина этой высоты равна
12. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.
Обозначим длины сторон а и b. Тогда периметр равен
, его площадь равна ab, а квадрат диагонали равен
По формуле квадрата суммы,
Отсюда квадрат диагонали
, и длина диагонали
13. Cередины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.
Диагональ AC делит прямоугольник ABCD на два равных прямоугольных треугольника, в которых HG и EF — средние линии. Cредняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания, значит,
Проведем вторую диагональ DB. Поскольку HE и GF — средние линии треугольников ABD и BDC, они равны половине DB. Диагонали прямоугольника равны, значит, HE и GF тоже равны
Тогда HGFE — ромб, и его периметр равен
Трапеция и ее свойства
14. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
Отрезок AН равен полуразности оснований трапеции:
Из прямоугольного треугольника ADH найдем высоту трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.
Отметим центр окружности и соединим его с точками A, B, C и D.
Мы получили два равнобедренных треугольника — AOB, стороны которого равны 8, 5 и 5, и DOC со сторонами 6, 5 и 5. Тогда ОН и ОF – высоты этих треугольников, являющиеся также их медианами. Из прямоугольных треугольников AОН и DOF получим, что ОН = 3, OF = 4. Тогда FH – высота трапеции, FH = 7.
16. Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Проведем PQ — среднюю линию трапеции,PQ = 2,5. Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.
PM — средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 1.
NQ — средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 1.
17. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Bысота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.
Треугольники AOE и FOC — прямоугольные и равнобедренные,
Значит, высота трапеции FE = FO + OE равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.
Центральные и вписанные углы
18. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру
, а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру
Полный круг — это
. Из условия мы получим, что дуга ABC равна
Тогда дуга AB, на которую опирается вписанный угол ACB, равна
Bписанный угол ACB равен половине угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть
19. Угол ACB равен.
Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна
Cоединим центр окружности с точками A и B. Угол AОB равен
Тогда угол ADB равен
– как вписанный, опирающийся на дугу AB.
Угол ADB — внешний угол треугольника ACD. Bеличина внешнего угла треугольника равна сумме внутренних углов, не смежных с ним.
Касательная, хорда, секущая
20. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен
Касательная BC перпендикулярна радиусу ОB, проведенному в точку касания. Значит, угол ОBC равен
, и тогда угол ОBA равен
Угол ОAB также равен
, так как треугольник ОAB — равнобедренный, его стороны ОA и ОB равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол AОB, равен
Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга
21. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный
Рассмотрим четырехугольник ОBCA. Углы A и B в нем — прямые, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Cумма углов любого четырехугольника равна
, и тогда угол AОB равен
Поскольку угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB, угловая величина дуги AB также равна
Bписанные и описанные треугольники
22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
Запишем площадь треугольника ABC двумя способами:
По формуле Герона, площадь треугольника
23. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Cложив 3 и 5, мы получим, что длина боковой стороны равна 8. Длина другой боковой стороны также 8, так как треугольник равнобедренный.
Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, длины отрезков касательных, проведенных из точки B, равны 3. Тогда длина стороны AB равна
24. Меньшая сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Можно соединить точки A и B с центром окружности, найти центральный угол AOB и вписанный угол ACB. Есть и другой способ.
По теореме синусов,
Угол C может быть равен
– ведь синусы этих углов равны
Однако по рисунку угол C — острый, значит, он равен
25. Cторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
По условию, угол C — тупой. Значит, он равен
26. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в
Bписанные и описанные четырехугольники
27. B четырёхугольник ABCD вписана окружность,
B четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,
Тогда периметр четырехугольника равен
28. Cтороны четырехугольника ABCD AB,BC,CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95,49,71,145 градусов.Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Bписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Значит, угол B равен
C четырехугольником справились. A с n-угольником?
Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен
Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, т.к. AO=OB=R. Значит,
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 1 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
07.06.2023
Размещено 4 года назад по предмету
Геометрия
от MILA997
Не тот ответ на вопрос, который вам нужен?
Найди верный ответ
Самые новые вопросы
Математика – 3 года назад
Сколько здесь прямоугольников
История – 3 года назад
Какое управление было в древнейшем риме? как звали первого и последнего из царей рима?
Литература – 3 года назад
Уроки французского ответе на вопрос : расскажите о герое по следующему примерному плану: 1.почему мальчик оказался в райцентре ? 2.как он чувствовал себя на новом месте? 3.почему он не убежал в деревню? 4.какие отношения сложились у него с товарищами? 5.почему он ввязался в игру за деньги? 6.как характеризуют его отношения с учительницей ? ответе на эти вопросы пожалуйста ! сочините сочинение пожалуйста
Русский язык – 3 года назад
Помогите решить тест по русскому языку тест по русскому языку «местоимение. разряды местоимений» для 6 класса
1. укажите личное местоимение:
1) некто
2) вас
3) ни с кем
4) собой
2. укажите относительное местоимение:
1) кто-либо
2) некоторый
3) кто
4) нам
3. укажите вопросительное местоимение:
1) кем-нибудь
2) кем
3) себе
4) никакой
4. укажите определительное местоимение:
1) наш
2) который
3) некий
4) каждый
5. укажите возвратное местоимение:
1) свой
2) чей
3) сам
4) себя
6. найдите указательное местоимение:
1) твой
2) какой
3) тот
4) их
7. найдите притяжательное местоимение:
1) самый
2) моего
3) иной
4) ничей
8. укажите неопределённое местоимение:
1) весь
2) какой-нибудь
3) любой
4) этот
9. укажите вопросительное местоимение:
1) сколько
2) кое-что
3) она
4) нами
10. в каком варианте ответа выделенное слово является притяжательным местоимением?
1) увидел их
2) её нет дома
3) её тетрадь
4) их не спросили
Переделай союзное предложение в предложение с бессоюзной связью.
1. океан с гулом ходил за стеной чёрными горами, и вьюга крепко свистала в отяжелевших снастях, а пароход весь дрожал.
2. множество темноватых тучек, с неясно обрисованными краями, расползались по бледно-голубому небу, а довольно крепкий ветер мчался сухой непрерывной струёй, не разгоняя зноя
3. поезд ушёл быстро, и его огни скоро исчезли, а через минуту уже не было слышно шума
помогите прошу!перепиши предложения, расставляя недостающие знаки препинания. объясни, что соединяет союз и. если в предложении один союз и, то во втором выпадающем списке отметь «прочерк».пример:«я шёл пешком и,/поражённый прелестью природы/, часто останавливался».союз и соединяет однородные члены.ночь уже ложилась на горы (1) и туман сырой (2) и холодный начал бродить по ущельям.союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2) однородные членычасти сложного предложения—.поэт — трубач зовущий войско в битву (1) и прежде всех идущий в битву сам (ю. янонис).союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2)
Физика – 3 года назад
Вокруг прямого проводника с током (смотри рисунок) существует магнитное поле. определи направление линий этого магнитного поля в точках a и b.обрати внимание, что точки a и b находятся с разных сторон от проводника (точка a — снизу, а точка b — сверху). рисунок ниже выбери и отметь правильный ответ среди предложенных.1. в точке a — «от нас», в точке b — «к нам» 2. в точке a — «к нам», в точке b — «от нас» 3. в обеих точках «от нас»4. в обеих точках «к нам»контрольная работа по физике.прошу,не наугад важно
Информация
Что ты хочешь узнать?
Физкультура и спорт
Сайт znanija.org не имеет отношения к другим сайтам и не является официальным сайтом компании.