Одним из фундаментальных объектов в геометрии является многоугольник. Если рассматривать фигуру в трёхмерном пространстве, то с помощью двух таких геометрических тел с шестью углами можно построит правильную шестиугольную призму. При этом боковые грани обязательно будут прямоугольниками. По своему виду такая фигура напоминает пчелиные соты, поэтому она и интересна для изучения архитекторам и математикам.
Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями о стереометрических фигурах; знание их свойств; знание формул для вычисления площадей поверхностей и объемов тел; умение применять эти знания при решении задач.
Ориентировочное время выполнения учащимися: 10—15 минут.
• Элементы, площадь поверхности, объем стереометрических фигур.
Особенности экзаменационных заданий по стереометрии
Задания этого вида представляют собой стереометрические задания на установление взаимосвязи между основными элементами многогранников и круглых тел, а также на использование формул для вычисления их площадей поверхностей и объемов. Вычислительной трудности задания не представляют; решение, как правило, сводится к использованию одной-двух формул. Соответствующие формулы нужно знать наизусть.
Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Куб является частный случаем параллелепипеда и призмы, поэтому для него выполнены все их свойства. Кроме того, если а — длина ребра куба,
— диагональ основания,
— диагональ куба,
— это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.
Диагональ не существует только у треугольной призмы.
Если диагонали основания прямой призмы равны, то диагонали самой призмы тоже равны.
Например, у куба, правильной четырёхугольной призмы, прямоугольного параллелепипеда диагонали равны (DF = EC), т.к. (DB = CA),
а у параллелепипеда, в основании которого находится параллелограмм, диагонали только попарно равны
Объёмные рисунки прямоугольного и прямого параллелепипедов не отличаются.
Диагональное сечение призмы — это сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
Каждое диагональное сечение содержит две диагонали призмы.
Диагональное сечение прямой призмы является .
Диагональное сечение наклонной призмы — .
У правильного шестиугольника диагонали бывают двух видов — короткие и длинные.
В связи с этим существует два вида диагональных сечений шестиугольной призмы:
Как найти диагонали правильного шестиугольника, если известна длина его стороны?
(CE) — одна из коротких диагоналей шестиугольника, (BE) — одна из длинных диагоналей.
Учитывая то, что углы правильного шестиугольника равны (120) градусов,
легко найти прямоугольный треугольник, в котором есть угол (30) градусов, и использовать соотношения в этом треугольнике.
При необходимости вычислить объем правильной шестиугольной призмы достаточно знать сторону ее грани
(ребро) a и высоту h. Формула вычисления объема следующая (объем любой призмы равен площади ее
основания, умноженной на высоту, в данном случае берется площадь основания правильного
шестиугольника):
V = (3 * a² / 2) * h * √3
где a — сторона его граней (ребро), h — высота.
Цифр после
запятой:
Пример. Вычислим объем шестигранного простого карандаша типа 7 длиной 177 мм (это
высота призмы h) со стороной грани a = 4,5 мм. V = (3 * 4,5² / 2) * 177 * √3 =9312 (мм³) = 9,312 см³.
Призма – это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в
параллельных плоскостях (эти грани называются основаниями), а остальные грани (называемые боковыми
гранями) являются параллелограммами, у которых стороны общие со сторонами многоугольников. Если у
призмы боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, она называется прямой призмой. Все боковые
ребра призмы параллельны и равны по длине. Длина бокового ребра прямой призмы – это ее высота. Если
при этом у прямой призмы основания представляют собой правильные многоугольники, призма называется
правильной. У правильной призмы боковые грани представляют собой равные прямоугольники.
У правильной шестиугольной призмы (другое название – правильная шестигранная призма) основания –
правильные шестиугольники. Примерами правильной шестиугольной призмы являются новый незаточенный
шестигранный карандаш, шестигранная головка болта, башни некоторых средневековых замков, смотревшие
в поле 3 или 4 сторонами.
Общие сведения
Призма представляет собой многогранную объёмную фигуру. Две стороны её всегда конгруэнтные (равные) и расположены относительно друг друга в параллельных плоскостях. Остальные же грани являются параллелограммами и формируют общие боковые основания с параллельными поверхностями. Четырёхугольники состоят из попарно равноудалённых прямых. Называют их боковыми гранями призмы. Оставшиеся же 2 многоугольника — основанием. По сути, фигура — это частный случай некругового цилиндра.
Кроме основания и граней, в состав стереофигуры входит:
Кроме этого, используются такие понятия, как диагональное и ортогональное сечение. Первое представляет собой параллелограмм, полученный при пересечении призмы и диагональной плоскости. Второе же — пересечение многогранника с плоскостью, перпендикулярной боковому ребру.
В зависимости от расположения стенок и вида основания, призмы разделяют на 3 типа. Прямой называют ту, где все грани — прямоугольники. Если у фигуры в основании находится правильный многоугольник, стереофигура считается правильной. Частным случаем её является полуправильная призма. В ней боковые грани образуют квадраты. Когда же у многогранника основания непараллельные, призму называют усечённой.
Полуправильный многогранник, имеющий 2 параллельных основания в виде правильных n-угольников, равных между собой, чьи грани представляют собой ломаную линию, называют антипризмой. В качестве примера такой фигуры можно привести октаэдр, икосаэдр и восьмиугольный октагон.
Правильную шестиугольную призму принято обозначать большими латинскими буквами: ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Длину основания подписывают маленьким символом a, а длину боковой стороны h. К характеристикам фигуры относят площади основания, боковые грани, полную поверхность, объём многогранника. Всего у геометрического тела 8 граней, 18 рёбер и 12 вершин.
Для успешного вычисления различных параметров фигуры понадобится знать следующие формулы:
Если рассмотреть правильный шестиугольник, лежащий в основе призмы ABCDEF, и провести отрезки AB, CD, EF, у них будет общая точка пересечения. Для удобства обозначить её можно буквой O. Так как, в соответствии со свойствами, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA будут правильными, можно составить равенство: AO = OD = EO = OB = CO = OF = a .
Через точку М можно провести прямую AC и CF. Образованный ранее треугольник AEO будет равнобедренным. В нём отрезок AO равняется по величине OE. Значит, угол EOA будет развёрнутым и равняться 120 градусам. Используя свойства равнобедренного треугольника, можно записать: AE = a * √2 * (1 — cos EOA). То есть: AE = AC = √3 * a.
По аналогии можно найти и стороны: EA1, FB1, AC1, BD1, CE1, DF1. Так как AA1 = h, а из свойств правильной призмы следует, что угол EAA1 — прямой, длины сторон будут равны между собой, и их можно найти, используя формулу: √(AA12 + AE2)= √(h2 + 3 * a) = 2 * a. Грань EB1 = FC1 = AD1 = BE1 = CF1 = DA1 = √(BB12 + BE2) = √(h2 + 4 *a) = √5 *a. Сторона FE1 = √(FE2 + EE2) = √(h2 + a2) = √2 *a.
Длины диагоналей призмы равняются сумме квадратов высоты и длины основания под корнем. Это легко доказать, если принять, что ЕЕ1 = h, а FE = a. Треугольник FEE1 прямоугольный, значит, FE = √(h2 + a2), что и следовало доказать.
На сайте уже были рассмотрены некоторые типы задач по стереометрии, которые входят в единый банк заданий экзамена по математике. Например, задания про .
Призма называется правильной если её боковые перпендикулярны основаниям и в основаниях лежит правильный многоугольник. То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.
Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.
В этой статье для вас задачи на решение призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Особенностей и сложностей в решении нет никаких. В чём суть? Дана правильная шестиугольная призма, требуется вычислить расстояние между двумя вершинами или найти заданный угол. Задачи на самом деле простые, в итоге решение сводится к нахождению элемента в прямоугольном треугольнике.
Используется теорема Пифагора и . Необходимо знание определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.
Обязательно посмотрите информацию о правильном шестиугольнике в этой статье (пункт 6). Ещё вам пригодится навык извлечения их большого числа. Можете посмотреть статью на решение многогранников, там тоже вычисляли расстояние между вершинами и углы.
Кратко: что представляет собой правильный шестиугольник?
Известно, что в правильном шестиугольнике стороны равны. Кроме этого, углы между сторонами тоже равны.
*Противолежащие стороны параллельны.
Радиус окружности описанной около правильного шестиугольника равен его стороне. *Это подтверждается очень просто: если мы соединим противоположные вершины шестиугольника, то получим шесть равных равносторонних треугольников. Почему равносторонних?
У каждого треугольника угол при его вершине лежащей в центре равен 600 (360:6=60). Так как у треугольника две стороны имеющие общую вершину в центре равны (это радиусы описанной окружности), то каждый угол при основании такого равнобедренного треугольника так же равен 60 градусам.
То есть правильный шестиугольник, образно говоря, состоит как бы из шести равных равносторонних треугольников.
Какой полезный для решения задач факт ещё следует отметить? Угол при вершине шестиугольника (угол между его соседними сторонами) равен 120 градусам.
*Умышленно не коснулись формул правильного N-угольника. Данные формулы мы подробно рассмотрим в будущем, здесь они просто не нужны.
272533. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 48. Найдите расстояние между точками A и E1.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AA11. По теореме Пифагора:
*Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120 градусам.
1 является гипотенузой, АА1 11 катеты. Ребро АА1 нам известно. Катет А11 мы можем найти используя используя теорему косинусов.
Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
*Обратите внимание, что 48 возводить в квадрат совсем не обязательно.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 35. Найдите расстояние между точками B и E.
Рассмотрим правильный шестиугольник:
Сказано, что все рёбра равны 35, то есть сторона шестиугольника лежащего в основании равна 35. А так же, как уже сказано, радиус описанной около него окружности равен этому же числу.
273353. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны сорока корням из пяти. Найдите расстояние между точками B и E1.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BB11. По теореме Пифагора:
11 равен двум радиусам описанной около правильного шестиугольника окружности, а её радиус равен стороне шестиугольника, то есть
273683. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 45. Найдите тангенс угла AD1D.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADD1, в котором AD равно диаметру окружности, описанной вокруг основания. Известно, что радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника равен его стороне.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 23. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.
В нём углы между сторонами равны 120°. Значит,
Сама длина ребра не имеет значения, на величину угла она не влияет.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 10. Найдите угол AC1C. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AC1C:
AC. В правильном шестиугольнике углы между его сторонами равны 120 градусам, тогда по теореме косинусов для треугольника АВС
Значит, угол AC1C равен 60 градусам.
274453. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 10. Найдите угол AC1C. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим треугольник AС1С, он прямоугольный. Вычислим тангенс указанного в условии угла и определим угол. Известно, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть
Катет С1С = 10. Отрезок АС вычислим по теореме косинусов (это мы уже делали в первой задаче, запишем ещё раз):
В правильном шестиугольнике углы при вершинах равны 120 градусам, то есть
245364. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками А и Е1.
245365. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками В и Е.
245366. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1все ребра равны корню из пяти. Найдите расстояние между точками В и Е1.
245367. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите тангенс угла AD1D.
245368. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.
245369. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол AC1C. Ответ дайте в градусах.
На этом всё! Успеха Вам!
В состав ЕГЭ включены и другие задачи по стереометрии, и они довольно разнообразны. Обязательно будем их рассматривать, не пропустите!
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Призма. Прямоугольный параллелепипед
Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, две грани которого — равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы.
Правильной призмой называется прямая призма, основание которой — правильный многоугольник.
Прямой призмой называется призма, боковое ребро которой перпендикулярно плоскости основания. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру, а все боковые грани прямой призмы — прямоугольники.
Соотношения для прямой призмы
Пусть H — высота прямой призмы, AA1 — боковое ребро,
— периметр основания,
— площадь основания,
— площадь боковой поверхности,
Особенности правильной шестиугольной призмы
В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Напомним его свойства.
— Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
— Большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам.
— Меньшая диагональ правильного шестиугольника в
раз больше его стороны.
— Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°.
— Меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.
— Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.
Пусть вне плоскости многоугольника
задана точка P. Тогда фигура, образованная треугольниками
вместе с их внутренними областями называется пирамидой (n-угольной пирамидой).
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а основание ее высоты — центр этого многоугольника.
Соотношения для правильной пирамиды
Пусть H — высота правильной пирамиды, h — ее апофема,
— периметр основания пирамиды,
Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
Тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис. 1). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники (рис. 2).
Теоремы, используемые при построении сечений
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым.
Теорема 2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Теорема 3. Если прямая l параллельна какой либо прямой m, проведённой в плоскости
то она параллельна и самой плоскости
Теорема 4. Если прямая, лежащая в плоскости сечения, не параллельна плоскости некоторой грани, то она пересекается со своей проекцией на эту грань.
Алгоритм построения сечений
Для построения сечений рекомендуем пользоваться следующим алгоритмом.
1. Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой, лежащая в плоскости грани — сторона сечения.
2. Если прямая a является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой-либо грани, то находим точки пересечения прямой a с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки — новые точки секущей плоскости, лежащие в плоскостях граней.
3. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые две данные точки, а затем выполняем шаги 1, 2.
Для контроля правильности построенного сечения, проверяйте, что:
— все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника;
— все стороны сечения лежат в гранях многогранника;
— в каждой грани многогранника лежит не более одной стороны сечения.
Цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.
Соотношения для цилиндра
Пусть h — высота цилиндра, r — радиус основания, Sбок — площадь боковой поверхности, Sполн — площадь полной поверхности, V — объем цилиндра. Тогда имеют место следующие соотношения:
Конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет.
Соотношения для конуса
Пусть h — высота конуса, r — радиус основания, l — образующая, Sбок — площадь боковой поверхности, Sполн — площадь полной поверхности, V — объем конуса. Тогда имеют место следующие соотношения:
В правильной шестиугольной призме найдите расстояние
245364. В правильной шестиугольной призме найдите расстояние между точками A и E1. Все ребра данной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны 1.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AA1E1. По теореме Пифагора:Известна длина ребра AA1, найдём A1 E1. Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°. По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между нимиОтвет: 2
245365. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1 C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками B и E.
Искомое расстояние равно диаметру окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной 1. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, значит BE=2R=2.
245366. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1 C1D1E1F1 все ребра равны √5. Найдите расстояние между точками B и E1.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BB1E1. По теореме Пифагора:Отрезок B1E1 равен двум радиусам описанной около правильного шестиугольника окружности, а радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника, то естьОтвет: 5
Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.
Сфера и шар
Шаром называется фигура, полученная при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. Сферой называется поверхность шара. Пусть R — радиус шара, S — площадь сферы, V — объем шара. Тогда имеют место следующие соотношения:
Комбинации круглых тел. Вписанные сферы
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается обоих оснований цилиндра и каждой его образующей.
Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса и каждой его образующей.
Сфера называется вписанной в усечённый конус, если она касается обоих оснований конуса и всех его образующих.
Теорема 1: В прямой круговой цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его высота равна диаметру основания. Причём центр сферы есть середина оси цилиндра.
Теорема 2: В любой прямой круговой конус можно вписать сферу. Причём центр сферы есть точка пересечения оси конуса с биссектрисой угла наклона образующей конуса к плоскости его основания.
Теорема 3. В усечённый конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда он прямой круговой, и длина его образующей равна сумме длин радиусов оснований. Причём центр сферы есть середина оси усечённого конуса.
Комбинации круглых тел. Описанные сферы
Сфера называется описанной около цилиндра, если окружности его оснований лежат на сфере.
Сфера называется описанной около конуса, если вершина конуса и его основание лежат на сфере.
Теорема 1: около цилиндра можно описать сферу тогда и только тогда, когда он прямой круговой. Причём центр сферы есть середина оси цилиндра.
Теорема 2: около конуса можно описать сферу тогда и только тогда, когда он круговой. Причём центр сферы есть точка пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости основания и проходящей через центр его, и плоскости, перпендикулярной какой-либо его образующей конуса и проходящей середину этой образующей.
Следствие: сферу можно описать около любого прямого кругового конуса. В этом случае, центр сферы — точка пересечения прямой, содержащей высоту конуса с плоскостью, перпендикулярной какой-либо из его образующих и проходящей через ее середину.
Комбинации конуса и цилиндра
Цилиндр называется вписанным в конус, если одно его основание лежит на основании конуса, а второе совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию. Конус в этом случае называется описанным вокруг цилиндра.
Цилиндр называется описанным вокруг конуса, если центр одного из оснований цилиндра является вершиной вершина конуса, а противоположное основание цилиндра совпадает с основанием конуса. Конус в этом случае называется вписанным в цилиндр.
Комбинации многогранников и круглых тел. Описанные сферы
Сфера называется описанной около многогранника, если все его вершины лежат на этой сфере. Многогранник называется в этом случае вписанным в сферу.
Возможность описать сферу около многогранника означает существование точки (центра сферы), равноудалённой ото всех вершин многогранника.
Теорема 1: если из центра описанной около многогранника сферы опустить перпендикуляр на какое-либо из его рёбер, то основание этого перпендикуляра разделит ребро на две равные части.
Теорема 2: если из центра описанной около многогранника сферы опустить перпендикуляр на какую-либо из его граней, то основание этого перпендикуляра попадёт в центр круга, описанного около соответствующей грани.
Теорема 3: если около многогранника описана сфера, то её центр лежит на пересечении перпендикуляров к каждой грани пирамиды, проведённых через центр окружности, описанной около соответствующей грани.
Теорема 4: если около многогранника описана сфера, то её центр является точкой пересечений всех плоскостей, проведённых через середины рёбер пирамиды перпендикулярно к этим рёбрам.
Комбинации многогранников и круглых тел. Вписанные сферы
Сфера называется вписанной в многогранник, если все его грани касаются этой сферы. Многогранник называется в этом случае описанным около сферы.
Теорема: если в многогранник с площадью поверхности S и объёмом V вписан шар радиуса r, то справедливо соотношение:
Комбинации конуса, цилиндра и многогранников
В условиях задач встречаются также следующие понятия, не входящие в школьные учебники, которые уточняются непосредственно в условиях задач. Приведем наиболее употребительные из них.
Цилиндр вписан в призму: основания цилиндра вписаны в основания призмы.
Цилиндр описан вокруг призмы: основания цилиндра описаны вокруг оснований призмы.
Цилиндр вписан в пирамиду: одно из основание цилиндра вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание цилиндра принадлежит основанию пирамиды.
Цилиндр описан вокруг пирамиды: вершина пирамиды принадлежит одному из оснований цилиндра, а другое его основание описано вокруг основания пирамиды.
Конус вписан в призму: основание конуса вписано в основание призмы, а вершина конуса принадлежит противоположному основанию призмы.
Конус описан вокруг призмы: одно из оснований призмы вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание призмы вписано в основание конуса.
Конус вписан в пирамиду: их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды. Вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой.
Конус описан вокруг пирамиды: их вершины совпадают, а основание конуса описано вокруг основания пирамиды.
Задача высокого уровня
Решение примеров повышенного уровня сложности предполагает не только хорошее понимание изучаемого материала, но и знание предыдущих тем. Понадобится вспомнить формулы для нахождения площадей и объёмов плоских фигур и их свойства. Вот пример одной из таких задач.
Пусть имеется шестиугольная объёмная фигура, у которой баковая грань равняется 6, а площадь основания 12. Нужно найти объём геометрического тела с вершинами в точках A, B1, C1, D1, E1, F1.
В таких задачах перед тем как непосредственно приступить к вычислениям, желательно использовать вспомогательный рисунок. На нём нужно изобразить фигуру в трёхмерной системе координат и подписать все её вершины.
Согласно условию, площадь основания Sabcde1f1 = 12, отрезок AA1 = 6. Так как фигура правильная, то все ребра у призмы буду равны. Чтобы найти, сколько будет составлять объём, понадобится обозначить многогранник. Для этого следует построить отрезки F1B, F1A, B1, E1A, D1A, C1A. Получившаяся фигура представляет собой пирамиду.
Формула для нахождения объёма пирамиды записывается так: V = h * S / 3. Её можно привести к виду: V = (AA1 * Sb1c1d1e1f1) / 3. Теперь нужно определить, чему же будет равняться площадь шестиугольника. Так как в основании призмы лежит правильная фигура с шестью углами, радиус описанной окружности будет совпадать с боковой стороной.
Таким образом, искомая площадь будет равняться шести поверхностям правильного треугольника. В свою очередь, его занимаемый размер можно определить как Sтр = (a * b) * sin / 2. Значит, площадь основания призмы равна: S = (6 * R * R * sin 60) / 2. Подставив заданное условием значение из формулы, можно выразить радиус: R2 = (12 * 2) / 3 √ 3 = 8 /√3.
Площадь треугольника A1B1F1 находится как произведение сторон, умноженное на синус угла и разделённое на 2: S = (a * a * sin120) / 2 = a2 * sin60 / 2 = (R2 * √ 3/3) / 2. Подставив значение R, можно получить: S = (½) * (8 / √ 3) * (√3 / 2) = 2. Тогда площадь пятиугольника будет равняться разнице поверхностей шестиугольника и треугольника A1B1F1, то есть S = 12 — 2 = 10. Теперь можно будет подсчитать и объём пирамиды: Vab1c1d1e1f1 = (1 / 3) * 6 * 10 = 20. Задача решена.
Точка пересечения биссектрис – свойства, теорема и соотношения
Элементы треугольника – формулы вычисления основных параметров
Дана правильная шестиугольная призма
245343. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A1
Построим указанный многогранник на эскизе:
Это пирамида имеющая общее основание с призмой и высотой равной высоте призмы. Объём пирамиды будет равен:Ответ: 4
245344. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, A1, B1, C1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
Построим указанный многогранник на эскизе: Полученный многогранник является прямой призмой. Объём призмы равен произведению площади основания и высоты. Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть треугольника АВС.
Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь треугольника АВС равна одной шестой части этого шестиугольника. Следовательно площадь АВС равна 1.
245345. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, D, E, A1, B1, D1, E1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.Построим указанный многогранник на эскизе:
Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВDЕ.
Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь четырехугольника АВDЕ равна четырём шестым этого шестиугольника. Почему? Подробнее об этом посмотрите информацию здесь. Следовательно площадь АВDЕ будет равна 4. Вычисляем:
245346. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, C, D, A1, B1, С1, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.Построим указанный многогранник на эскизе:
Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВCD. Отрезок AD соединяет диаметрально противоположные точки правильного шестиугольника, а это означает, что он разбивает его на две равные трапеции. Следовательно площадь четырёхугольника АВCD (трапеции) равна трём.
245347. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
Полученный многогранник является пирамидой с основанием АВС и высотой ВВ1.
*Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра).
Остаётся определить площадь основания пирамиды, то есть треугольника АВC. Она равна одной шестой площади правильного шестиугольника, являющегося основанием призмы. Вычисляем:
Свойства шестигранника
В правильной шестиугольной призме найдите угол
245368. В правильной шестиугольной призме найдите угол DAB. Все ребра равны 1. Ответ дайте в градусах.
В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны 120°. ЗначитОтвет: 60
Рассмотрим прямоугольный треугольник AD1D, в котором AD равно диаметру окружности, описанной вокруг основания. Известно, что радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника равен его стороне. Покажем основание призмы (правильный шестиугольник):
245369. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол AC1C. Ответ дайте в градусах.Рассмотрим прямоугольный треугольник AC1C:Найдём AC. В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны 120°, тогда по теореме косинусов для треугольника АВС имеем:Таким образом, угол AC1C равен 60°.
Решение простого примера
Такого вида задачи обычно даются в учебниках по геометрии для выпускных классов средней школы. Решить их самостоятельно несложно, нужно только знать формулы и представлять, как выглядит та или иная фигура. При этом часто приходится использовать дополнительные построения. Вот один из таких типовых примеров.
Пусть имеется девятиугольная фигура, в которую вписана правильная шестиугольная призма со стандартным обозначением вершин. Сторона основания в ней составляет 4 см, а длина бокового ребра меньше её в 2 раза, то есть равняется 2. Необходимо вычислить расстояние от точки C1 до прямой, соединяющей вершины EF. По условию задачи в основании лежит геометрическое тело, у которого все стороны и углы равны, то есть фигура правильная.
Чтобы понять, что будет представлять искомая прямая, нужно изобразить призму на рисунке и на нём же начертить отрезок. Фактически это будет перпендикуляр, который и является вычисляемым расстоянием. Проекцией точки С1 будет вершина С. Из неё можно построить перпендикуляр, который ограничится точкой E. Таким образом, поставленная задача сводится к поиску длины отрезка C1E.
Найти длину прямой можно как гипотенузу прямоугольного треугольника С1СE. Треугольная фигура будет с прямым углом C. Из условия задачи отрезок С1С в два раза меньше ребра основания, а значит равен 2. Теперь осталось найти, чему равняется длина CE. Геометрическое тело CDE является равнобедренным. По условию CD = ED. Сумму углов шестиугольника можно найти по формуле е = 180 * (n — 2) = 180 * 4 = 720. Получается, что на каждый угол приходится по 120 градусов.
С вершины D можно опустить перпендикуляр DN на CE. Принимая во внимание свойства равнобедренного треугольника, высота DN будет медианной и биссектрисой. Следовательно, угол C равняется 30 градусов, так как CDH — прямоугольный.
Теперь можно найти СH. Сделать это возможно через косинус угла C: cos 30 = CH / CD. Отсюда: CH = 4 * p/2 = 2 √ 3. Так как CH = HE, сторона CE = 2 * 2 √3. К треугольнику CC1E можно применить теорему Пифагора: C1E2 = C1C2 + CE = 22 + (4 c3) 2. C1E2 = √ 52. Таким образом, искомый ответ можно записать так: C1E = 2√13.
