Задание №7 из ОГЭ прошлых лет, рекомендованные как тренировочные.
Задача № 1
x2 + px + q = 0
имеет корни: −5; 7. Найдите q.
Из условия задачи известно, что данное уравнение имеет два корня:
х1 = -5
х2 = 7
Составим систему уравнений, в которую подставим имеющиеся корни:
Из первого уравнения выразим q:
q = 5p – 25 (1)
Полученное выражение подставим во второе уравнение:
49 + 7p + (5p – 25) = 0
49 + 7p + 5p – 25 = 0
7p + 5p = 25 – 49
12p = – 24
p = -2
Полученное значение «p» подставим в (1):
q = 5· (- 2) – 25 = – 10 – 25 = – 35
Задача № 2
Найдите корни уравнения
x2 + 7x – 18 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
Перед нами классическое квадратное уравнение. Решим его через нахождение дискриминанта:
D = b2 – 4ac = 72 – 4 · 1 · (-18) = 49 + 72 = 121
Значение дискриминанта больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня.
Тогда корни можем найти по формуле:
Запишем получившиеся корни в порядке возрастания: -92
Задача № 3
Найдите корни уравнения
х2 + 4 = 5х
Преобразуем уравнение и запишем в виде:
х2 – 5х + 4 = 0
D = b2 – 4ac = 52 – 4 · 1 · 4 = 25 – 16 = 9
Тогда, корни можем найти по формуле:
Запишем получившиеся корни в порядке возрастания: 14
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение cos3xsin3x=cosп/3cos(12x+3п/2)
Задание. а) Решите уравнение
Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение cos2x-sin2x=cosx+sinx+1
Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение sin(2x+2п/3)cos(4x+п/3)-cos2x=sin^2x/cos(-п/3)
Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение sin^2(x/4+П/4)sin^2(x/4-П/4)=0,375sin^(-П/4)
Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение sin^4(x/4) — cos^4(x/4) = cos(x — П/2)
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Стереометрия. Расстояния и углы в пространстве
Задание №1179
а) Решите уравнение 2(sin x-cos x)=tgx-1.
Решение
а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 sin x-2 cos x-tg x=0. Учитывая, что cos x
eq 0, слагаемое 2 sin x можно заменить на 2 tg x cos x, получим уравнение 1+2 tg x cos x-2 cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 cos x)=0.
x=racpi 4+pi n, n in mathbb Z;
1-2 cos x=0, x=pm racpi 3+2pi n, n in mathbb Z.
Ответ
а) racpi 4+pi n, pmracpi 3+2pi n, n in mathbb Z;
Задание №1178
Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
4x=pm racpi 3+2pi n,
Решим второе уравнение.
tg x=0,, x=pi k, k in mathbb Z.
При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.
Знаком отмечены -я и -я четверти, в которых
.png)
а) Решите уравнение: cos ^2x+cos ^2racpi 6=cos ^22x+sin ^2racpi 3;
а) Так как sin racpi 3=cos racpi 6, то sin ^2racpi 3=cos ^2racpi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению которое, в свою очередь, равносильно уравнению cos^2x-cos ^2 2x=0.
Но cos ^2x-cos ^22x= (cos x-cos 2x)cdot (cos x+cos 2x) и
cos 2x=2 cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид
(cos x-(2 cos ^2 x-1)),cdot (cos x+(2 cos ^2 x-1))=0,
(2 cos ^2 x-cos x-1),cdot (2 cos ^2 x+cos x-1)=0.
Тогда либо 2 cos ^2 x-cos x-1=0, либо 2 cos ^2 x+cos x-1=0.
Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно получаем:
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо либо Если то корни x=pi +2mpi , m in mathbb Z. Если то x=pm racpi 3+2npi , n in mathbb Z.
Объединим полученные решения:
x=mpi , m in mathbb Z; x=pm racpi 3 +spi , s in mathbb Z.
б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.
а) mpi, m in mathbb Z; pm racpi 3 +spi , s in mathbb Z;
Задание №1176
Преобразуем sin x+cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: sin x=cos left(racpi 2-x
ight), cos x+sin x= cos x+cos left(racpi 2-x
ight)= 2cos racpi 4cos left(x-racpi 4
ight)= sqrt 2cos left( x-racpi 4
ight) =
Найденные значения принадлежат области определения.
Докажем вспомогательное неравенство:
Из неравенств по свойству арккосинуса получаем:
При и получаем корни уравнения и
При остальных значениях и корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.
а) Решите уравнение sin left( racpi 2+x
ight) =sin (-2x).
а) Преобразуем уравнение:
cos x =-sin 2x,
cos x+2 sin x cos x=0,
cos x(1+2 sin x)=0,
x =racpi 2+pi n, n in mathbb Z;
1+2 sin x=0,
Указанному промежутку принадлежит единственное число
а) Найдём ОДЗ уравнения: cos 2x
eq -1, cos (pi +x)
eq -1; Отсюда ОДЗ: x
eq rac pi 2+pi k,
k in mathbb Z, x
eq 2pi n, n in mathbb Z. Заметим, что при x=rac pi 2+2pi k, k in mathbb Z.
Полученное множество значений не входит в ОДЗ.
Значит, sin x
eq 1.
б) Решим неравенства
Этому неравенству удовлетворяет тогда
а) rac pi 3+2pi m; -rac pi 3+2pi n; pi +2pi k, k in mathbb Z;
Задание №1173
а) Решите уравнение: sin ^2x+sin ^2racpi 6=cos ^22x+cos ^2racpi 3.
а) Так как sin racpi 6=cos racpi 3, то sin ^2racpi 6=cos ^2racpi 3, значит, заданное уравнение равносильно уравнению sin ^2 x=cos ^2 2x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению sin ^2- cos ^2 2x=0.
Но sin ^ 2x-cos ^2 2x= (sin x-cos 2x)cdot (sin x+cos 2x) и
cos 2x=1-2 sin ^2 x, поэтому уравнение примет вид
(sin x-(1-2 sin ^2 x)),cdot (sin x+(1-2 sin ^2 x))=0,
(2 sin ^2 x+sin x-1),cdot (2 sin ^2 x-sin x-1)=0.
Тогда либо 2 sin ^2 x+sin x-1=0, либо 2 sin ^2 x-sin x-1=0.
Решим первое уравнение как квадратное относительно
x=racpi 2+mpi,minmathbb Z; x=pmracpi 6+spi,s in mathbb Z.
б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток с помощью числовой окружности.
а) racpi 2+ mpi , m in mathbb Z; pm racpi 6 +spi , s in mathbb Z;
Задание №1172
а) Решите уравнение log_2^2(2sin x+1)-17log_2(2sin x+1)
а) После замены t=log_2(2 sin x+1) исходное уравнение примет вид Корни этого уравнения Возвращаясь к переменной , получим:
Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим:
sin x =rac12, x=(-1)^nracpi 6+pi n,n in mathbb Z.
а) (-1)^nracpi 6+pi n,n in mathbb Z.
Задание №1171
а) Преобразуем исходное уравнение и разложим на множители его левую часть.
