Дата добавления: 13.03.2016
Площадь параллелограмма ABCD равна 151. Найдите площадь параллелограмма A’B’C’D’, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
Площадь параллелограмма ABCD равна 159. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB.
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.
Дата добавления: 12.03.2016
Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 65.
Периметр параллелограмма равен 92. Одна сторона параллелограмма на 39 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 24° и 65°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
ЕГЭ профильный уровень. №1 Квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб. Задача 27
Из треугольника ADO:
ЕГЭ профильный уровень. №1 Прямоугольный треугольник. Задача 69
Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть АК и BР биссектрисы, которые пересекаются в точке О.
(angle ,PAO = angle ,BAO = alpha ;,,,,,,,,,angle ,ABO = angle ,KBO = eta ,,,,)
Из треугольника ABС:
Из треугольника AOB:
Ответы
В правильной четырёхугольной призме известно, что Найдите угол между диагоналями и Ответ дайте в градусах.
Правильная четырёхугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, диагональное сечение является прямоугольником. Углом между пересекающимися неперпендикулярными прямыми называется меньший из образованных ими углов, поэтому необходимо найти острый угол между диагоналями этого прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольный треугольник A1BC: в нем катет BC вдвое меньше гипотенузы A1C, поэтому угол A1CB равен 60°. Аналогично в треугольнике D1CB угол D1BC равен 60°.
Сумма углов треугольника BGC равна 180° получаем, поскольку два его угла равны 60°, третий угол тоже равен 60°.
Задача 5140 В правильной четырехугольной призме.
В правильной четырехугольной призме АВСДА1В1С1Д1 известно что ас1= 2вс. найдите угол между диагоналями вд1 и са1. ответ дайте в градусах.
Решение
Построим правильную четырёхугольную призму, обозначим вершины, построим диагонали BD1 и CA1:
Сразу отметим, что диагонали BD1 и CA1 являются диагоналями прямоугольника A1BCD1, то есть они равны между собой и равны диагонали AC1 (так как призма правильная четырехугольная).
Известно, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:
A1O = ОС и D1O = ОB
A1O = ОС = D1O = ОB
В условии сказано, что AC1 = 2BC, значит имеем BD1 = CA1 = 2BC. На основании изложенного можем сделать вывод о том, что:
BO = ОС = BC и A1O = ОD1 = A1D1
то есть треугольники BОС и A1OD1 равносторонние.
Таким образом, угол острый между диагоналями равен 60.
В правильной призме ABCDA1B1C1D1 с основанием ABCD боковое ребро равно √3 , а сторона основания равна 2. Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB1D1 проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок АС и делит его в отношении 3:1. б) Найдите угол между прямыми l и СВ1.
а) Доказать: АК:КС = 3:1. Прямая l это прямая А1К. Построим рисунок по условию задачи:
А1К⊥D1B1, A1K⊥AO, AO⊥D1B1 (по теореме о 3-х перпендикулярах). Призма правильная четырёхугольная, значит в основании лежит квадрат со сторонами 2. Найдём по теореме Пифагора в ΔАВС диагональ основания АС:
Точка пересечения диагоналей квадрата О делит их пополам:
Построим прямоугольное сечение АСС1А1:
В прямоугольном ΔА1АО по теореме Пифагора:
В прямоугольном ΔА1АО из двух формул для нахождения площади треугольника найдём высоту А1Р:
В прямоугольном ΔА1АP по теореме Пифагора:
В прямоугольном ΔА1АP найдём тангенс ∠А1 :
В прямоугольном ΔА1АK через тангенс ∠А1 найдём АК:
Найдём искомое отношение АК:КС:
Что и требовалось доказать.
∠КA1D будем искать в ΔКA1D, найдём стороны треугольника. Из прямоугольного ΔАА1D по теореме Пифагора:
Из прямоугольного ΔАА1К по теореме Пифагора:
Построим квадратное сечение АВСD:
Диагональ АС квадрата является биссектрисой, ∠DАK = 90°/2 = 45° . По теореме косинусов для ΔDKA найдём DK:
По теореме косинусов для ΔКA1D найдём искомый ∠КA1D :
Сначала нам необходимо нарисовать прямоугольный треугольник, чтобы понять, какие стороны нам нужны для решения задачи. Пользуясь данными из условия, мы можем нарисовать следующую фигуру:
Здесь A – вершина прямого угла, a, b и c – соответствующие катеты и гипотенуза треугольника. Из вершины A проведены биссектриса и медиана, которые мы обозначим через BL и BM соответственно.
Нам нужно найти угол между этими двумя линиями (угол между BL и BM), значит, нам нужно вычислить угол между биссектрисой и медианой в вершине A. Для этого нам понадобится знание двух важных свойств треугольника:
1. Биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на две части, пропорциональные смежным сторонам.2. Медиана в треугольнике делит противоположную сторону пополам.
Из первого свойства мы можем найти длину отрезка AL (нашей биссектрисы), она равна:
AL = b * (c / (b + c))
Из второго свойства мы можем найти длину отрезка AM (нашей медианы), она равна:
AM = c / 2
Теперь, чтобы найти угол между BL и BM, нам нужно найти тангенс этого угла, т.е. отношение длин BL и BM. Мы можем найти длину BL с помощью теоремы косинусов, используя значения углов 24 и 66 и длину катета b:
BL² = b² + a² – 2ab*cos(24)
BL = sqrt(b² + a² – 2ab*cos(24))
Аналогично мы можем найти длину BM с помощью теоремы Пифагора:
BM² = a² + (c/2)²
BM = sqrt(a² + (c/2)²)
Таким образом, тангенс угла между BL и BM равен:
tan(x) = BL / BM = (sqrt(b² + a² – 2ab*cos(24))) / (sqrt(a² + (c/2)²))
Остается только найти этот угол по тангенсу с помощью обратной тригонометрической функции:
x = arctan((sqrt(b² + a² – 2ab*cos(24))) / (sqrt(a² + (c/2)²)))
Подставляя значения для a, b и c из условия задачи, мы получим окончательный ответ:
x ≈ 51.29 градусов.
Рассмотрим
решения стереометрических задач из открытого банка заданий, расподоженного на
сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Задачи на
нахождение углов между скрещивающимися прямыми в кубе.
Перед тем, как мы приступим к решению
первой задачи, вспомним определение угла между скрещивающимися прямыми.
Углом
между скрещивающимися прямыми называется угол
между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны
заданным скрещивающимся прямым.
— середина ребра . Найдите угол между прямыми
По условию, задача верна для любого куба. Для того
чтобы в решении было меньше дробей, предположим, что ребро куба равно 2
единицам. Тогда
, значит, угол
между прямыми
Из прямоугольного треугольника с прямым углом С имеем:
Перед решением второй задачи напомним
Квадрат стороны
треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на косинус угла между ними.
На ребре
отмечена
точка так, что . Найдите угол
между прямыми и
Задания для
самостоятельной работы.
На
ребре CC куба ABCDAB1C1D1
отмечена точка E так, что CE:C=. Найдите угол между прямыми BE и AC.
отмечена точка так, что . Найдите угол
между прямыми и
середина
ребра куба . Найдите
площадь сечения куба плоскостью , если рёбра
куба равны 2.
. Найдите
площадь сечения куба плоскостью , если рёбра
куба равны 4.
середина ребра . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если рёбра куба равны 4.