Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.
Начнем с прямоугольных треугольников.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.
Найти его площадь.
Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы
где a и b — катеты.
Длину катетов считаем по клеточкам.
2) a=6, b=3,
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.
Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле
где a — сторона треугольника, ha — высота, проведённая к этой стороне.
a и ha вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).
1) a=6, ha=4,
2) a=3, ha=5,
А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?
Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.
Найдите его площадь.
Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.
Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:
Площадь прямоугольника найдём по формуле S=ab.
Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле
Площадь четырёхугольника на клетчатой бумаге. В статье Нахождение площади треугольник я обещал рассмотреть задачи на вычисление площади четырёхугольника, построенного на листе в клетку. Как вы знаете, к четырёхугольникам относятся: , , , , , а также произвольный четырёхугольник (выпуклый или вогнутый).
Мы с вами рассмотрим единый подход к решению всех типов таких заданий. Вот примеры рисунков из интересующих нас задач:
Фигуры построенные на листе в клетку (1×1 см)
Фигуры построенные на координатной плоскости
Запомните! Вокруг любого выпуклого четырёхугольника мы можем описать прямоугольник. А далее для решения необходимо воспользоваться всего двумя формулами: площади прямоугольника и площади треугольника.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Около данного четырёхугольника описываем прямоугольник:
Из площади построенного прямоугольника вычтем площади четырёх прямоугольных треугольников:
Рассмотрим пример вогнутого четырёхугольника:
Найдите площадь четырёхугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Также описываем прямоугольник, но здесь ещё строим дополнительный отрезок, соединяющий левый верхний угол прямоугольника с вогнутым углом данного четырёхугольника:
Из площади построенного прямоугольника вычтем площади четырёх треугольников:
Если четырёхугольник задан на координатной плоскости, то его легко можно построить на листе в клетку по заданным координатам вершин и применить изложенный выше подход к решению.
Конечно, данный способ нерационален абсолютно для всех задач. Но в вашем арсенале он быть должен, и им владеть необходимо, его удобно использовать во многих задачах
Например, для нахождения представленного четырёхугольника
целесообразно воспользоваться формулой площади параллелограмма, где основание будет равно 2, а высота 7. Но и представленным способом её также .
Напомню формулы площадей фигур, которые необходимо знать:
На этом всё. Надеюсь, информация была полезной. В будущем рассмотрим с вами задачи на нахождение площади круга, площади части круга и другие, где используются формулы площади круга и окружности. Также есть ещё один интересный приём, который целесообразно использовать для нахождение площади четырёхугольников вида (взяты из прототипов задач):
Мы его тоже рассмотрим, не пропустите!
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Формула Пика. Рассказ о формуле, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.
Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется, но многим материал статьи будет крайне полезен. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.
В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.
Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:
М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)
N – количество узлов внутри треугольника
*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.
Найдём площадь треугольника:
1 клетка = 1 см
M = 15 (обозначены красным)
N = 34 (обозначены синим)
Ещё пример. Найдём площадь параллелограмма:
M = 18 (обозначены красным)
N = 20 (обозначены синим)
Найдём площадь трапеции:
M = 24 (обозначены красным)
N = 25 (обозначены синим)
Найдём площадь многоугольника:
M = 14 (обозначены красным)
N = 43 (обозначены синим)
Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно это делать и таким образом.
А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.
Теперь взгляните на следующие фигуры:
Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им будут на ЕГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:
M = 11 (обозначены красным)
N = 5 (обозначены синим)
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Конечно, можно и эти «микрофигурки» дробить на более простые фигуры (треугольники, трапеции). Способ решения выбирать вам.
Рассмотрим подход оговоренный в статье Площадь четырёхугольника. Универсальный способ.
Опишем около неё прямоугольник:
Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:
В будущем будем рассматривать задания на нахождение площади, связанные с окружностями построенными на листе в клетку, не пропустите! На этом всё. Успехов вам!