Найти все значения а при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения

Блок 1. Введение

Блок 2. Координатно-параметрический метод

Блок 3. Преобразование графиков

Блок 4. Системы с параметром

Блок 5. Квадратичная функция

Блок 6. Расположение корней квадратного уравнения

Блок 7. Аналитический метод

Блок 8. Функциональные методы

Блок 9. Разные задачи с параметром

Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) имеет хотя бы одну точку максимума

Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция

имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение. Раскроем модульные скобки.

1) Пусть х-а² ≥ 0, т.е. х ≥ a². Получаем:

f(x) = x²-4x + 4a²-8x;

f(x) = x²-12x + 4a². Вершина параболы А(m; n).

n = f(m) = f(6) = 6²-12 ∙ 6 + 4a² = 36-72 + 4a² = 4a²-36.

A(6; 4a²-36). Ветви параболы f(x) = x²-12x + 4a² направлены вверх, следовательно,

A(6; 4a²-36) – точка минимума функции.

2) Пусть х-а² < 0, т.е. х < a². Получаем:

f(x) = x² + 4x-4a²-8x;

f(x) = x²-4x-4a². Вершина параболы В(m; n).

n = f(m) = f(2) = 2²-4 ∙ 2-4a² = 4-8-4a² = -4-4a².

В(2; -4-4a²). Ветви параболы f(x) = x²-4x-4a² направлены вверх, следовательно,

В(2; -4-4a²) – точка минимума функции.

Как могут быть расположены на оси Ох числа а², 2 и 6, чтобы функция имела точку максимума?

Точка, соответствующая значению а² должна лежать между точками, соответствующими числам 2 и 6. Тогда возрастание функции

f(x) = x²-4x-4a² при 2 < x < a² сменится убыванием функции

f(x) = x²-12x + 4a² при a²< x < 6, и точка пересечения парабол будет являться точкой максимума функции.

Итак, данная функция будет иметь точку максимума при условии, что 2 < a² < 6. Значение а найдём из решения системы неравенств:

Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет

Задание
1

Уровень задания: Равен ЕГЭ

имеет ровно четыре решения.

(ЕГЭ 2018, основная волна)

Второе уравнение системы можно переписать в виде . Следовательно, рассмотрим два случая: когда и когда . Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях.

Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае.

Учитывая все это, в ответ пойдут:

Задание
2

Уровень задания: Равен ЕГЭ

имеет единственное решение.

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)

Найти все значения а при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения

(будем называть “левую” область областью I, “правую” область – областью II)
Заметим, что при каждом фиксированном графиком является парабола, вершина которой находится в точке , а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если , то уравнение выглядит как и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей).

Рассмотрим по отдельности несколько случаев.

1) . Тогда ветви параболы обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы , причем абсцисса точки касания должна быть или (то есть парабола должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола лежит выше оси абсцисс).

Найти все значения а при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения

2) . Тогда и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.

Найти все значения а при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения

3) . Тогда ветви параболы обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку , причем, если парабола будет иметь еще одну общую точку с прямой , то эта общая точка должна быть “выше” точки (то есть абсцисса второй точки должна быть ).

Найти все значения а при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения

Задание
3

Уровень задания: Равен ЕГЭ

имеет ровно два решения.

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)

Задание
4

Уровень задания: Равен ЕГЭ

имеет единственное решение.

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Задание
5

Уровень задания: Равен ЕГЭ

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Задание
6

Уровень задания: Равен ЕГЭ

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Найти все значения а при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения

Задание
7

Уровень задания: Равен ЕГЭ

имеет ровно один корень.

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Задачи с параметром

В 18 задании – предпоследнем задании профильного уровня ЕГЭ по математике – необходимо продемонстрировать умение решать задачи с параметрами. В подавляющем большинстве данное задание представляет собой систему из двух уравнений с параметром а, и необходимо найти такие значения, при которых система будет вести себя заданным образом – иметь два или одно или вообще не иметь решений.

Разбор типовых вариантов заданий №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение:

(|x|–5)²+(y–4)²=4
(x–2)²+y²=a²

Алгоритм решения:

Рассматриваем второе уравнения, устанавливаем, что является его графиком.
Определяем условие единственности решения.
Находим расстояние между центрами, определяем значения параметра.
Записываем ответ.

Решение:

1. Первое уравнение – это две окружности радиусами 3 и координатами центров С ₂(5;4) и С₂(-5;4). Одну окружность задает данное уравнение при х≥0, а вторую – при х<0. Они не пересекаются и не касаются.

2. Второе уравнение – это одна окружность радиуса “а” с координатами центра: С (-2;0).

3. Наличие единственного решения означает, что одна окружность должна коснуться одной из окружностей в одной точке. Поэтому следует решить попарно две системы.

Естественно, в первом и втором случае получается пара корней т. е. координат касания внешним и внутренним образом.

Но стоит заметить что нас будут интересовать только корни определяющие касание внешнее левой окружности и касание внутреннее правой окружности. Т. к. два других уравнения противоречить условию и будут иметь более одного решения. Достаточно взглянуть на прилагаемый рисунок:

4. Воспользуемся приложенным рисунком.

Проведем лучи СС₁, и СС₂, обозначив точки их пересечения с окружностями А₁, В₁ и А₂, В₂.
Тогда

Если a<CA2 или CA2<a<CB2 окружности не пересекаются. А это означает, корней система иметь не может.

5. Имеем: исходная система имеет единственное решение при

Второй вариант (из Ященко, №1)

Решение:

Данное уравнение равносильно виду:

Рассматриваем случай:

при условии

Получаем .

При этом значении х условие принимает вид:

Отсюда

Имеем в данном случае: при .

Рассмотрим теперь случай:

при этом .

Решаем уравнение. Получаем:

Отсюда .

Условие принимает вид:

Следовательно, получается . То есть при .

Корни и равны между собой, если .

Таким образом, уравнение имеет только один корень если и .

Ответ:

О категории

Уравнения и неравенства с параметрами.

Теория (1)

Разбор задания 18 профильного ЕГЭ по Математике “Задача с параметром”

Практика (43)

При каких значениях параметра а уравнение

36^x+(a-1)6^x+a-2a^2 = 0

имеет два различных решения?

При каких значениях параметра а уравнение

(a+1)x^2-2(a-3)x+a-1 = 0

имеет единственное решение, большее или равное (-1)?

2aх + 2sqrt(2x+3) – 2x + 3a – 5 < 0

Найти все a, при которых уравнение sqrt(1-4x)*ln(9x^2-a^2)=sqrt(1-4x)*ln(3x+a) имеет ровно одно решение.

При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно 2 различных решения.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения

Решить уравнение для всех a 25^x+a^2(a-1)5^x-a^5=0

Найдите все значения а, при каждом из которых система не имеет решений

ax^2+2(a-1)x+(a-4) = 0

имеет два корня, расстояние между которыми больше 3

имеет два различных корня.

При каких значениях параметра а уравнение (x^(2)-6x-a)/(2x^(2)-ax-a^(2)) =0 имеет ровно два различных решения.

Найдите все параметры А при котором уравнение:

имеет два различных корня.

Найдите все значения a, при каждом из которых система

имеет два или три корня.

Найдите все значения а, при которых уравнение

имеет два различных корня

найдите все значения а , при которых уравнение (x^2-x-a)^2=2x^4+2(x+a)^2 имеет единственное решение на отрезке (-1;1)

найти все значения параметра а при каждом из которых уравнение 25^x – 5a(a+1)*5^(x-1) + a^3 = 0 имеет единственное решение

Найти все значения параметра а, при которых x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения х^2-(4а-3)х+3а^2-5а+2=0 и 4×1+5×2 = 29 .

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно восемь решений.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет от одного до пяти решений

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнение

имеет ровно три различных решения.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение sqrt(2xy+a) = x+y+5 не имеет решений.

Найдите все значения а, при которых уравнение sin^(14)x+(a-3sinx)^7+sin^2x+a=3sinx имеет хотя бы одно решение.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет более одного решения.

Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет хотя бы одно решение.

имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $ a$, при которых неравенство $ 225^x-2(a-3)15^x+2a+2<0 $ не имеет решений.

Найдите все значения параметра $a$, при которых сумма кубов различных корней уравнения $x^2 – x +a = 0$ меньше или равна 1.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система

Запишите ответы по возрастанию через точку с запятой без пробелов.

Рассмотрим каждую скобку по отдельности. Так как произведение равно нулю, когда один из множителей равно нулю, то итоговым решением будет совокупность решений каждой скобки:

A) Раскроем модули. Модули равны 0, если $$2x+1=\pm a$$. Отметим данные значения на координатной прямой, рассмотрим, какие знаки принимают подмодульные выражения:

1)Если $$2x+1 < -a \Leftrightarrow$$$$a < -2x -1$$. Тогда : $$-2x-1+a-2x-1-a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=-2x-1$$. Но данное уравнение не имеет решения в силу строгости условия раскрытия модуля

3)Если $$a > 2x+1$$. Тогда: $$2x+1-a+2x+1+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=2x+1$$. Данное уравнение не имеет решений в силу строгости условия раскрытия модуля.

Итоговой областью решения будет множество точек объединения получившихся промежутков (фиолетовая область):

Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.

1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).

О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.

При каких значениях параметра a уравнение

$\left| x^2-a^2 \right|=|x+a|\cdot \sqrt{4x+a^2-8a}$

имеет ровно 2 решения?

Уравнение равносильно системе:

$\left\{\begin{matrix}4x+a^2-8a\geq 0 \\(x^2-a^2)^2=(x+a)^2(4x+a^2-8a)\end{matrix}\right.$

$(x-a)^2(x+a)^2-(x+a)^2(4x+a^2-8a)=0$

$(x+a)^2\left ((x-a)^2-(4x+a^2-8a) \right )=0$

Вынесли общий множитель за скобку

$(x+a)^2(\underline{x}^2-\underline{2ax}+\not a^2-\underline{4x}-\not a^2+8a)=0$

$(x+a)^2(x^2-2ax-4x+8a)=0$

$(x+a)^2(x(x-2a)-4(x-2a))=0$

$(x+a)^2(x-4)(x-2a)=0$

$\left[\begin{array}{c}x=-a\\x=4\\x=2a\end{array}\right.$

При этом :

$4x+a^2-8a\geq 0$

$\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x=-a \\a^2-12a\geq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=4 \\(a-4)^2\geq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=2a \\a^2\geq 0\end{matrix}\right.\end{array}\right.$

Так как $a^2\geq 0$ и $(a-4)^2\geq 0$ при всех $a,$ исходное уравнение имеет корни $x=4$ и $x=2a$ при всех $a.$ Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:

не имеет решений и

2) совпадение корней

Рассмотрим первый случай.

Неравенство $a^2 -12a \geq 0$ — не имеет решений, если $0 \textless a \textless 12.$

Рассмотрим второй случай.

1) Корни $x=4$ и $x=2a$ совпадают, тогда $2a=4$ и $a=2.$

Так как $0\textless 2\textless 12,$ исходное уравнение при $a=2$ имеет один корень

2) Корни $x=-a$ и $x=2a$ совпадают.

Уравнение имеет корни $x=4$ и $x=0.$

3) Корни $x=-a$ и $x=4$ совпадают, $a=-4,$ исходное уравнение имеет ровно два корня.

$a \in \left\{ -4 \right\} \cup \left [ 0;2 \right ) \cup \left ( 2; 12 \right ).$

Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.

На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.

2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат (а; х).

Найти a, при которых $\left | x^2 - a^2 \right | = \left | x+ a \right | \cdot (4x + 3)$ имеет ровно 2 решения.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

$\left ( x-a \right )^2\left ( x+a \right )^2=\left ( x+a \right )^2\left (4x+3 \right )^2$

$\left ( x+a \right )^2\left ( \left ( x-a \right )^2-\left ( 4x+3 \right )^2 \right )=0$

$\left ( x+a^2 \right )\left ( x-a-4x-3 \right )\left ( x-a+4x+3 \right )=0$

$\left ( x+a\right )^2\left (-3x-a-3 \right )\left (5x-a+3 \right )=0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \left [\begin{array}{c}x=-a\\x=-\frac{a+3}{3}\\x=\frac{a-3}{5}\end{array}\right.;$

Найдем, каким значениям параметра $a$ соответствует ровно два значения $x.$

Построим в системе координат $(x; \: a)$ графики функций: $\displaystyle x=-a; \: x=-\frac{a}{3}-1; \: x=\frac{a-3}{5}$

Мы находим такие $a_0,$ при которых горизонтальная прямая $a= a_0$ имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.

Видим, что в общем случае прямая $a= a_0$ пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая $a= a_0$ проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.

$\displaystyle \left [\begin{array}{c}x=-a\\x=-\frac{a}{3}-1\\x=\frac{a-3}{5}\end{array}\right.;$

Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.

$\displaystyle \frac{2a}{3}=1;\; a=\frac{3}{2}$

$-5a=a-3;$

$\displaystyle \frac{-a-3}{3}=\frac{a-3}{5};$

$-5a-15=3a-9$

$8a=-6$

$\displaystyle a=-\frac{3}{4}$

О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.

3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.

С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$a\left | x+1 \right |+\left ( 1-a \right )\left | x-1 \right |+2=0$

имеет ровно два различных корня.

Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:

$\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\a\cdot \left ( -x-1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( 1-x \right )+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\a\left ( x+1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( 1-x \right )+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\a\left ( x+1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( x-1 \right )+2=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.$

Мы сделали так, потому что при $x\leq -1$ оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

$\left | x+1 \right |=-x-1;$

$\left | x-1 \right |=1-x;$

При $-1 \textless x\leq 1$ получим:

$\left | x+1 \right |=x+1;$

$\left | x-1 \right |=1-x;$

При $x \textgreater 1$ получим: $\left | x+1 \right |=x+1, \; \left | x-1 \right |=x-1.$

$\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\-ax-a+ \left ( a-1 \right )\left ( x-1 \right )+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\ax+a+ \left ( a-1 \right )\left ( x-1 \right )+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\ax+a+ \left ( 1-a \right )\left ( x-1 \right )+2=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\-\not{ax}-a+\not{ax}-x-a+1+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\ax+\not{a}+ax-x-\not{a}+1+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\\not{ax}+a +x-\not{ax}-1+a+2=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\3-x-2a=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\2ax-x+3=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\2a+x+1=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\a=\frac{3-x}{2}\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\a=\frac{x-3}{2x}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2x}\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\a=\frac{-x-1}{2}\end{matrix}\right.\end{array}\right.$

Заметим, что если $x =0,$ уравнение $2ax-x+3=0$ не выполняется ни при каких $a.$

Решим графически полученную совокупность.

Рассмотрим функцию $a(x),$ такую, что:

Для функции $\displaystyle a=\frac{1}{2}\cdot \left ( 1-\frac{3}{x} \right )$ ось ординат – вертикальная асимптота.

$x=-1$ – точка минимума, $a(-1)=2;$

$x=1$ – точка максимума, $a(1)=-1.$

Уравнение имеет ровно два корня при $a\textless -1$ или $a \textgreater 2.$

Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.

4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. Затем мы разобьем координатную плоскость $(x; a)$ на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.

При каких значениях параметра $a$ уравнение

$|x^2-a^2|+8=|x+a|+8|x-a|$ имеет ровно три различных решения

Поскольку $|ab|=|a|\cdot|b|,$ получим:

$|(x-a)(x+a)|+8=|x+a|+8|x-a|, \\ \\ |x-a|\cdot|x+a|-8|x-a|-|x+a|+8=0; \\ \\ |x-a|\cdot(|x+a|-8)-(|x+a|+8)=0; \\ \\ (|x-a|-1)\cdot(|x+a|+8)=0;$

Мы хотим найти, при каких значениях параметра $a$ эта совокупность уравнений имеет ровно 3 различных решения.

Выразим в каждом уравнении $a$ через $x$ :

$\left[\begin{gathered}a=x-1 \\a=x+1 \\a=8-x \\a=-8-x\end{gathered}\right.$

Изобразим графики этих уравнений в системе координат $(x;a).$

Если прямая $a=a_0$ пересекает совокупность прямых 3 раза, исходное уравнение имеет ровно 3 решения.

Это происходит, если прямая $a=a_0$ проходит через одну из точек $A, B, C$ или $D$ на рисунке. В остальных случаях уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем значение параметра $a$ для каждой из этих точек.

1) В точке $A$ пересекаются прямые $a=-x-8$ и $a=x-1.$

$\begin{cases} a=-x-8 \\ a=x-1\end{cases} \\ \\ -x-8=x-1; \\ \\ 2x=-7, x=-3,5; \\ \\ a=-4,5.$

$\begin{cases} a=-x-8 \\ a=x+1\end{cases} \\ \\ -x-8=x+1; \\ \\ 2x=-9, x=-4,5; \\ \\ a=-3,5.$

$\begin{cases} a=x+1 \\ a=8-x\end{cases} \\ \\ x+1=8-x; \\ \\ x=3,5; \\ \\ a=4,5.$

$\begin{cases} a=x-1 \\ a=8-x\end{cases} \\ \\ x+1=8-x; \\ \\ 2x=9, x=4,5 \\ \\ a=3,5.$

Мы нашли все случаи, когда исходное уравнение имеет ровно 3 решения.

5. (Резервный день) Найти все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0$

имеет хотя бы два различных корня.

$\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0$

Исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня, если уравнение

$\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0$

имеет хотя бы один корень $t \geq 0.$

Если t = 0, то x = 0, тогда $\left | a-12 \right |=0, \;a=12.$

Этот случай рассмотрим отдельно.

1) Случай $t \textgreater 0,$ уравнение

$\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0$ должно иметь хотя бы один положительный корень.

Если $\left | a-2 \right |=0, \; a=2,$ уравнение линейное, тогда

$-4t+\left | 2-12 \right |=0$

Пусть $\left | a-2 \right |\ne 0,$ уравнение квадратное.

$\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0$

Если $t_1 \textgreater 0,$ то $t_2 \geq 0 .$

Тогда $t_1+t_2 \textgreater 0,$ т.к. $\displaystyle \frac{2a}{\left | a-2 \right |} \textgreater 0, \; a\textgreater 0 .$

При этом должно выполняться условие $D \geq 0.$

$\left\{\begin{matrix}a \ne 2\\a \textgreater 0\\4a^2-4 \left | a-2 \right | \cdot \left | a-12 \right |\geq 0\end{matrix}\right.$

Решим третье неравенство системы:

$a^2-\left | a-2 \right |\cdot \left | a-12 \right |\geq 0$

$a^2 \geq \left | a-12 \right |\cdot \left | a-2 \right |;$ возведем обе части в квадрат:

$a^4 \geq \left ( a-12 \right ) ^2 \left ( a-2 \right )^2;$

$a^4 \geq \left ( a^2-14a+24 \right )^2;$

$\left ( a-a^2+14a-24 \right )\left ( a^2+a^2-14a+24 \right )\geq 0$

$\left ( 14a-24 \right )\left ( 2a^2-14a+24 \right )\geq 0$

$\left ( 7a-12 \right )\left ( a^2-7a+12 \right )\geq 0$

$\left ( 7a-12 \right )\left ( a-3 \right )\left ( a-4 \right )\geq 0$

Объединив со случаем a = 2, получим:

$\displaystyle a \in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [4;+\infty \right )$

Вернемся к случаю, когда $t=0$ – корень уравнения. Тогда $\left | a-12 \right |=0,$ $a=12.$ Получим уравнение:

$10t^2-24t=0,$

$5t^2-6t=0$

$t(5t-6)=0$ – уравнение имеет, кроме корня $t=0,$ положительный корень $\displaystyle t=\frac{6}{5},$ подходит $a=12.$

Вот так в задачах ЕГЭ-2021 по математике можно применить в задачах с параметрами аналитический и графический способы, а также метод областей.

Конечно, это не все. Существует не менее 12 методов решения задач с параметрами. Мы изучаем их все на практике на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.06.2023

Найти все значения а при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения

Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) имеет хотя бы одну точку максимума

Навигация

Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет

Задачи с параметром

Разбор типовых вариантов заданий №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Алгоритм решения:

Решение:

Второй вариант (из Ященко, №1)

Решение:

О категории

Теория (1)

Разбор задания 18 профильного ЕГЭ по Математике “Задача с параметром”

Практика (43)