Первым делом я бы всё-таки состряпал картинку. Может быть, мне не удастся выдержать правильные пропорции, но будем надеяться на то, что это не помешает разобраться в сути. Главное, чтобы две линии оказались именно параллельными, как у меня на картинке:
Расставив все обозначения и заведомо известные значения, обращаем внимание на то, что при пересечении отрезком AC параллельных линий мы получаем две пары одинаковых углов, из которых нас в первую очередь интересуют острые:
Аналогичная ситуация просматривается с отрезком DB, который даёт нам вторую пару одинаковых углов:
Ещё два угла в треугольниках ∆AMB и ∆DMC называются вертикальными, благодаря чему также равны между собой:
Имея два треугольника с тремя парами одинаковых углов, мы можем утверждать однозначно: треугольники подобные. Следовательно, мы имеем одинаковое соотношение соответствующих сторон.
Чтобы лучше себе это представить, давайте нижний перевернём на 180 градусов:
Но длины сторон AB и DC нам известны. Это даёт возможность вычислить коэффициент подобия наших двух треугольников:
Исходя из этого, делаем вывод каждая из сторон треугольника ∆DMC втрое больше соответствующей стороны ∆AMB. В частности:
Но нам известна сумма длин этих сторон:
Очевидно, что отрезок AC следует разделить на четыре части, одна из которых соответствует AM, в вторая – CM.
Как видите, без особого труда мы разобрались с нашими отрезками и нашли ответ на поставленный автором вопрос:
Рассмотрим задания из №7 ЕГЭ, в которых данная прямая параллельна касательной к графику функции.
Прямая y=9x+5 параллельна касательной к графику функции y=x²-5x+54. Найти абсциссу точки касания.
Прямые y=k1x+b1 y=k2x+b2 параллельны,если их угловые коэффициенты равны: k1=k2.
y=9x+5, отсюда k1=9.
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k2=f'(xo).
Таким образом, 2xo-5=9; 2xo=14; xo=7.
Прямая y=14-2x является касательной к графику функции y=x³+1,5x²-8x+4. Найти абсциссу точки касания.
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k=f'(xo).
По условию, y=14-2x. Отсюда k=-2.
xo=1 либо xo=-2.
Точка касания принадлежит и касательной, и графику функции.
Проверяем, выполняется ли равенство при xo=1:
Абсцисса точки касания равна xo=-2.
Прямая y=11x+8 является касательной к графику функции y=ax²+7x-2. Найти a.
По условию, уравнение касательной y=5x+1, поэтому k=5.
Имеем: 2axo+7=11, откуда axo=2.
Точка касания принадлежит и касательной, и графику функции, поэтому
axo²+7xo-2=11xo+8. Подставив в это равенство axo=2, получим
2xo+7xo-2=11xo+8, откуда xo=-5.
Прямая y=-6x+7 является касательной к графику функции y=6x²+bx+13. Найти b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.
По условию, уравнение касательной y=-6x+7, поэтому k=-6.
Имеем: 12xo+b=-6, откуда b=-12xo-6.
xo=1 либо xo=-1.
По условию, xo<0, следовательно, xo=-1.
Прямая y=2x+4 является касательной к графику функции y=x²-4x+c. Найти c.
По условию, уравнение касательной y=2x+4, поэтому k=2.
Имеем: 2xo-6=2, откуда xo=4.
xo²-4xo+с=2xo+4. Подставив в это равенство xo=4, получим