Задание 24. ОГЭ. Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС.
Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и АС в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК = 11.
Рассмотрим четырехугольник BKHP, вписанный в окружность.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.
Угол ∠PBK = 900, следовательно, угол ∠КНР = 1800 – ∠PBK = 900.
Угол ∠BPН = 900, так как это вписанный в окружность угол, опирающийся на полуокружность, следовательно, угол ∠ВКН = 1800 – ∠BPН = 900.
Получаем, ∠PBK = ∠ВКН = ∠КНР = ∠BPН = 900, следовательно, четырехугольник BKHP – прямоугольник.
По свойству прямоугольника (диагонали прямоугольника равны): ВН = РК = 11
Задание 24. ОГЭ. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и ВС в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК = 12.
Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и ВС в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК = 12.
По свойству прямоугольника (диагонали прямоугольника равны): ВН = РК = 12
Следующие задания с расширенным ответом из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, раздел геометрия, могут вам попасться на реальном экзамене в этом году.
Задания из банка ФИПИ к ОГЭ по математике, геометрия части 2
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=6, AC=24.
Решение:По факту нам известны значение AH и значение гипотенузы, надо найти один из катетов. Если провести высоту из прямого угла, то получим два прямоугольных треугольника. Причем эти два треугольника будут подобны между собой и будут подобны исходному, исходя из свойств высоты, проведенной из прямого угла (Третье свойство: высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному. Доказательство: ∠ABH = 90º – ∠BAH и ∠BCA (BCH) = 90º – ∠BAH, получается ∠ABH = ∠BCH, о есть в треугольника два угла равные, а значит они подобные)Исходя из подобия треугольников, можно утверждать, что соответствующий катет в каждом из треугольников к гипотенузе будет относится в той же пропорции. Делаем вывод, принимая х за значение коэффициента, что маленький катет BH в большем треугольнике CBH будет на х больше, чем опять же маленький катет HA в треугольнике HBA. И также верно утверждение, что большой катет в маленьком треугольнике меньше на тот же коэффициент x к большому катету в большом треугольнике.При этом мы знаем, что малый катет в маленьком треугольнике равен 6, а большой катет в большом треугольнике равен 24-6=18Тогда можем составить равенство соотношений, которое выражает, что маленький известный нам катет настолько меньше маленького катета в большом треугольнике, насколько известный нам большой катет в большом треугольнике больше большого катета в малом. Получается так.
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=7, AC=28.
Решение:По факту нам известны значение AH и значение гипотенузы, надо найти один из катетов. Если провести высоту из прямого угла, то получим два прямоугольных треугольника. Причем эти два треугольника будут подобны между собой и будут подобны исходному, исходя из свойств высоты, проведенной из прямого угла.(Доказательство простое ∠ABH = 90º – ∠BAH и ∠BCA (BCH) = 90º – ∠BAH, получается ∠ABH = ∠BCH, о есть в треугольника два угла равные, а значит они подобные)Исходя из подобия треугольников, можно утверждать, что соответствующий катет в каждом из треугольников к гипотенузе будет относится в той же пропорции. Делаем вывод, принимая х за значение коэффициента, что маленький катет BH в большем треугольнике CBH будет на х больше, чем опять же маленький катет HA в треугольнике HBA. И также верно утверждение, что большой катет в маленьком треугольнике меньше на тот же коэффициент x к большому катету в большом треугольнике.При этом мы знаем, что малый катет в маленьком треугольнике равен 7, а большой катет в большом треугольнике равен 28-7=21Тогда можем составить равенство соотношений, которое выражает, что маленький известный нам катет настолько меньше маленького катета в большом треугольнике, насколько известный нам большой катет в большом треугольнике больше большого катета в малом. Получается так.
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=8, AC=32.
Решение:По факту нам известны значение AH и значение гипотенузы, надо найти один из катетов. Если провести высоту из прямого угла, то получим два прямоугольных треугольника. Причем эти два треугольника будут подобны между собой и будут подобны исходному, исходя из свойств высоты, проведенной из прямого угла.(Доказательство простое ∠ABH = 90º – ∠BAH и ∠BCA (BCH) = 90º – ∠BAH, получается ∠ABH = ∠BCH, о есть в треугольника два угла равные, а значит они подобные)Исходя из подобия треугольников, можно утверждать, что соответствующий катет в каждом из треугольников к гипотенузе будет относится в той же пропорции. Делаем вывод, принимая х за значение коэффициента, что маленький катет BH в большем треугольнике CBH будет на х больше, чем опять же маленький катет HA в треугольнике HBA. И также верно утверждение, что большой катет в маленьком треугольнике меньше на тот же коэффициент x к большому катету в большом треугольнике.При этом мы знаем, что малый катет в маленьком треугольнике равен 8, а большой катет в большом треугольнике равен 32-8=24Тогда можем составить равенство соотношений, которое выражает, что маленький известный нам катет настолько меньше маленького катета в большом треугольнике, насколько известный нам большой катет в большом треугольнике больше большого катета в малом. Получается так.
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=5, AC=45.
Решение:По факту нам известны значение AH и значение гипотенузы, надо найти один из катетов. Если провести высоту из прямого угла, то получим два прямоугольных треугольника. Причем эти два треугольника будут подобны между собой и будут подобны исходному, исходя из свойств высоты, проведенной из прямого угла.(Доказательство простое ∠ABH = 90º – ∠BAH и ∠BCA (BCH) = 90º – ∠BAH, получается ∠ABH = ∠BCH, о есть в треугольника два угла равные, а значит они подобные)Исходя из подобия треугольников, можно утверждать, что соответствующий катет в каждом из треугольников к гипотенузе будет относится в той же пропорции. Делаем вывод, принимая х за значение коэффициента, что маленький катет BH в большем треугольнике CBH будет на х больше, чем опять же маленький катет HA в треугольнике HBA. И также верно утверждение, что большой катет в маленьком треугольнике меньше на тот же коэффициент x к большому катету в большом треугольнике.При этом мы знаем, что малый катет в маленьком треугольнике равен 5, а большой катет в большом треугольнике равен 45-5=40Тогда можем составить равенство соотношений, которое выражает, что маленький известный нам катет настолько меньше маленького катета в большом треугольнике, насколько известный нам большой катет в большом треугольнике больше большого катета в малом. Получается так.
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=10, AC=40.
Решение:По факту нам известны значение AH и значение гипотенузы, надо найти один из катетов. Если провести высоту из прямого угла, то получим два прямоугольных треугольника. Причем эти два треугольника будут подобны между собой и будут подобны исходному, исходя из свойств высоты, проведенной из прямого угла.(Доказательство простое ∠ABH = 90º – ∠BAH и ∠BCA (BCH) = 90º – ∠BAH, получается ∠ABH = ∠BCH, о есть в треугольника два угла равные, а значит они подобные)Исходя из подобия треугольников, можно утверждать, что соответствующий катет в каждом из треугольников к гипотенузе будет относится в той же пропорции. Делаем вывод, принимая х за значение коэффициента, что маленький катет BH в большем треугольнике CBH будет на х больше, чем опять же маленький катет HA в треугольнике HBA. И также верно утверждение, что большой катет в маленьком треугольнике меньше на тот же коэффициент x к большому катету в большом треугольнике.При этом мы знаем, что малый катет в маленьком треугольнике равен 10, а большой катет в большом треугольнике равен 40-10=30Тогда можем составить равенство соотношений, которое выражает, что маленький известный нам катет настолько меньше маленького катета в большом треугольнике, насколько известный нам большой катет в большом треугольнике больше большого катета в малом. Получается так.
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=9, AC=36.
Решение:По факту нам известны значение AH и значение гипотенузы, надо найти один из катетов. Если провести высоту из прямого угла, то получим два прямоугольных треугольника. Причем эти два треугольника будут подобны между собой и будут подобны исходному, исходя из свойств высоты, проведенной из прямого угла.(Доказательство простое ∠ABH = 90º – ∠BAH и ∠BCA (BCH) = 90º – ∠BAH, получается ∠ABH = ∠BCH, о есть в треугольника два угла равные, а значит они подобные)Исходя из подобия треугольников, можно утверждать, что соответствующий катет в каждом из треугольников к гипотенузе будет относится в той же пропорции. Делаем вывод, принимая х за значение коэффициента, что маленький катет BH в большем треугольнике CBH будет на х больше, чем опять же маленький катет HA в треугольнике HBA. И также верно утверждение, что большой катет в маленьком треугольнике меньше на тот же коэффициент x к большому катету в большом треугольнике.При этом мы знаем, что малый катет в маленьком треугольнике равен 9, а большой катет в большом треугольнике равен 36-9=27Тогда можем составить равенство соотношений, которое выражает, что маленький известный нам катет настолько меньше маленького катета в большом треугольнике, насколько известный нам большой катет в большом треугольнике больше большого катета в малом. Получается так.
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=5, AC=20.
Решение:По факту нам известны значение AH и значение гипотенузы, надо найти один из катетов. Если провести высоту из прямого угла, то получим два прямоугольных треугольника. Причем эти два треугольника будут подобны между собой и будут подобны исходному, исходя из свойств высоты, проведенной из прямого угла.(Доказательство простое ∠ABH = 90º – ∠BAH и ∠BCA (BCH) = 90º – ∠BAH, получается ∠ABH = ∠BCH, о есть в треугольника два угла равные, а значит они подобные)Исходя из подобия треугольников, можно утверждать, что соответствующий катет в каждом из треугольников к гипотенузе будет относится в той же пропорции. Делаем вывод, принимая х за значение коэффициента, что маленький катет BH в большем треугольнике CBH будет на х больше, чем опять же маленький катет HA в треугольнике HBA. И также верно утверждение, что большой катет в маленьком треугольнике меньше на тот же коэффициент x к большому катету в большом треугольнике.При этом мы знаем, что малый катет в маленьком треугольнике равен 5, а большой катет в большом треугольнике равен 20-5=15Тогда можем составить равенство соотношений, которое выражает, что маленький известный нам катет настолько меньше маленького катета в большом треугольнике, насколько известный нам большой катет в большом треугольнике больше большого катета в малом. Получается так.
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=3, AC=27.
Решение:По факту нам известны значение AH и значение гипотенузы, надо найти один из катетов. Если провести высоту из прямого угла, то получим два прямоугольных треугольника. Причем эти два треугольника будут подобны между собой и будут подобны исходному, исходя из свойств высоты, проведенной из прямого угла.(Доказательство простое ∠ABH = 90º – ∠BAH и ∠BCA (BCH) = 90º – ∠BAH, получается ∠ABH = ∠BCH, о есть в треугольника два угла равные, а значит они подобные)Исходя из подобия треугольников, можно утверждать, что соответствующий катет в каждом из треугольников к гипотенузе будет относится в той же пропорции. Делаем вывод, принимая х за значение коэффициента, что маленький катет BH в большем треугольнике CBH будет на х больше, чем опять же маленький катет HA в треугольнике HBA. И также верно утверждение, что большой катет в маленьком треугольнике меньше на тот же коэффициент x к большому катету в большом треугольнике.При этом мы знаем, что малый катет в маленьком треугольнике равен 3, а большой катет в большом треугольнике равен 27-3=24Тогда можем составить равенство соотношений, которое выражает, что маленький известный нам катет настолько меньше маленького катета в большом треугольнике, насколько известный нам большой катет в большом треугольнике больше большого катета в малом. Получается так.
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=4, AC=16.
Решение:По факту нам известны значение AH и значение гипотенузы, надо найти один из катетов. Если провести высоту из прямого угла, то получим два прямоугольных треугольника. Причем эти два треугольника будут подобны между собой и будут подобны исходному, исходя из свойств высоты, проведенной из прямого угла.(Доказательство простое ∠ABH = 90º – ∠BAH и ∠BCA (BCH) = 90º – ∠BAH, получается ∠ABH = ∠BCH, о есть в треугольника два угла равные, а значит они подобные)Исходя из подобия треугольников, можно утверждать, что соответствующий катет в каждом из треугольников к гипотенузе будет относится в той же пропорции. Делаем вывод, принимая х за значение коэффициента, что маленький катет BH в большем треугольнике CBH будет на х больше, чем опять же маленький катет HA в треугольнике HBA. И также верно утверждение, что большой катет в маленьком треугольнике меньше на тот же коэффициент x к большому катету в большом треугольнике.При этом мы знаем, что малый катет в маленьком треугольнике равен 4, а большой катет в большом треугольнике равен 16-4=12Тогда можем составить равенство соотношений, которое выражает, что маленький известный нам катет настолько меньше маленького катета в большом треугольнике, насколько известный нам большой катет в большом треугольнике больше большого катета в малом. Получается так.
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=3, AC=12.
Решение:По факту нам известны значение AH и значение гипотенузы, надо найти один из катетов. Если провести высоту из прямого угла, то получим два прямоугольных треугольника. Причем эти два треугольника будут подобны между собой и будут подобны исходному, исходя из свойств высоты, проведенной из прямого угла.(Доказательство простое ∠ABH = 90º – ∠BAH и ∠BCA (BCH) = 90º – ∠BAH, получается ∠ABH = ∠BCH, о есть в треугольника два угла равные, а значит они подобные)Исходя из подобия треугольников, можно утверждать, что соответствующий катет в каждом из треугольников к гипотенузе будет относится в той же пропорции. Делаем вывод, принимая х за значение коэффициента, что маленький катет BH в большем треугольнике CBH будет на х больше, чем опять же маленький катет HA в треугольнике HBA. И также верно утверждение, что большой катет в маленьком треугольнике меньше на тот же коэффициент x к большому катету в большом треугольнике.При этом мы знаем, что малый катет в маленьком треугольнике равен 3, а большой катет в большом треугольнике равен 12-3=9Тогда можем составить равенство соотношений, которое выражает, что маленький известный нам катет настолько меньше маленького катета в большом треугольнике, насколько известный нам большой катет в большом треугольнике больше большого катета в малом. Получается так.
Критерии оценивания 2 части ЕГЭ по математике профильного уровня ФИПИ
ответы математикответ математикаответы по математике классматематика класс учебник ответы
ЕГЭ профильный уровень