Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Решение задачи
Проведем отрезок перпендикулярный сторонам AD и BC, проходящий через точку Е.
Площадь параллелограмма:
SABCD=AD*GF
Площадь треугольника AED:
SAED=AD*EF/2
Площадь треугольника BEC:
SBEC=BC*EG/2
AD=BC (по
свойству параллелограмма).
SBEC+SAED=BC*EG/2+AD*EF/2=AD*EG/2+AD*EF/2=(EG+EF)*AD/2=GF*AD/2=SABCD/2ч.т.д.
Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на
странице ‘Про нас’
В трапеции ABCD известно, что AD=4, BC=3, а её площадь равна 84. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN — средняя линия трапеции ABCD.
Площадь трапеции вычисляется по формуле: произведение полусуммы оснований и высоты.
Т.е. для трапеции ABCD можем записать:
SABCD=h*(AD+BC)/2
84=h*(4+3)/2
168=7h
h=24
Для трапеции BCNM:
SBCNM=hBCNM*(MN+BC)/2
MN – это средняя линия, значит длина равна полусумме оснований:
MN=(AD+BC)/2=(4+3)/2=3,5
Высота трапеции BCNM равна половине высоты трапеции ABCD (по
теореме Фалеса), тогда:
SBCNM=hBCNM*(MN+BC)/2=(h/2)*(3,5+BC)/2=(24/2)*(3,5+3)/2=12*3,25=39
Ответ: 39
К тому, что к задаче нет картинки, я уже привык, поэтому первым делом открываем графический редактор и создаём в нём геометрическую фигуру – параллелограмм. Для этого берётся два отрезка, равных и параллельных между собой. Можно представить себе, что две параллельные прямые пересекаются двумя другими параллельными. Точки пересечения этих прямых – вершины параллелограмма, а отрезки между вершинами – его стороны.
Что касается произвольной точки E, то на первый взгляд может показаться удивительным, что её можно поставить в любом месте параллелограмма. Но ход дальнейших рассуждений покажет нам, что вопрос в задаче не провокационный. В нём нет никакого подвоха. Чтобы в этом убедиться, я бы сперва хотел окончательно определиться с параллелограммом, а точнее с его площадью. Если покопаться в справочниках, можно отыскать несколько формул, которые позволят вычислить искомое значение:
Только у нас в тексте задания нет ни слова о величине хотя бы одного угла параллелограмма. С другой стороны, нет и конкретных чисел для длины сторон. В этом случае мне видится, что пригодиться может первая формула, которая свидетельствует о зависимости площади от основания и высоты.
Только давайте мы эту высоту проведём через точку E, ведь площади треугольников тоже зависят от их высоты – может быть, удастся найти какую-то взаимосвязь.
Так теперь будет выглядеть формула для расчёта площади нашего параллелограмма ABCD. В свою очередь площади двух треугольников ∆BEC и ∆AED, как известно, должны быть равны половина произведения своих оснований и высот. Тогда смело запишем:
- S(bec) = BC * FE / 2
- S(aed) = AD * EG / 2
Но ведь в параллелограмме противоположные стороны равны и вместо двух разных отрезков можно смело указать один – любой из них. Пусть, например, вместо BC будет AD:
Только ведь это и есть половина произведения основания параллелограмма на его высоту. То есть половина его площади, что и требовалось доказать (ч.т.д.).
Критерии оценивания 2 части ЕГЭ по математике профильного уровня ФИПИ
ответы математикответ математикаответы по математике классматематика класс учебник ответы
ЕГЭ профильный уровень
Другие задачи из этого раздела
Задача №D9D8CC
Найдите тангенс угла В треугольника ABC, изображённого на рисунке.
Задача №7C5CEF
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 48. Найдите высоту этой трапеции.
Задача №FE6C06
Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 24 см и 37 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 1440 см2. Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.
Задача №1F0615
Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 3,5 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м?
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=41°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Задача №13AC23
Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD.
Точка L — середина стороны AB. Докажите, что DL — биссектриса
угла ADC.
Задача №2B9FC1
В треугольнике ABC AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=3 и CH=1. Найдите cosB.
Задача №FE5B5C
В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=86, SQ=43.
Задача №0ADBAB
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=5, а расстояние от точки K до стороны AB равно 5.