Равномерное движение материальной точки по окружности:
Более 5000 лет назад жрецы древнего Вавилона, наблюдая за Луной, определили такой хорошо известный нам интервал времени, как неделя. Как они это сделали? В чем особенность движения Луны? Встречается ли на Земле подобное движение?
Upload
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
ответы на зачет по физике 10 класс
Равномерное
движение материальной точки по окружности
– движение материальной точки по
окружности, при котором модуль ее
скорости не меняется. При таком движении
материальная точка обладает
центростремительным ускорением.
Вращательное движение тела:
До сих пор мы изучали прямолинейное движение тел, хотя в природе и технике часто совершаются более сложные движения тел — криволинейные, когда траекторией тела является кривая линия. Любую кривую линию всегда можно представить как совокупность дуг окружностей разных радиусов (рис. 18).
Поэтому, изучив движение материальной точки по окружности, сможем в дальнейшем изучать и любые другие криволинейные движения. Кроме того, из всех возможных криволинейных движений в технике широко применяется вращательное движение деталей машин и механизмов, например вращение шестерён машин и станков, деталей, обрабатываемых на токарных станках, валов двигателей, колес машин, фрез, свёрл и т. п. Любая точка этих деталей движется по окружности. Эти две особенности и обусловили обязательное изучение движения по окружности, а именно — равномерное движение тела по окружности.
Движение материальной точки по круговой траектории с постоянной по значению, но изменяющейся по направлению скоростью, называют равномерным движением по окружности.
Предположим, что тело равномерно движется по окружности из точки А в точку В (рис. 19). Тогда пройденный им путь — это длина дуги
, а значение скорости определим по формуле:
— скорость движения тела по окружности;
— пройденный телом путь (длина дуги);
— время движения тела.
Направление скорости проще всего определить на опыте.
К вращающемуся точильному кругу, прикоснемся железным стержнем. Увидим, что искры из-под стержня летят по касательной к окружности этого круга (рис. 20).
Результат будет таким же в любой точке этого круга. Но каждая искра — это раскалённая частичка, оторвавшаяся от круга и летящая с такой же скоростью, какую она имела в последний момент движения вместе с кругом.
Итак, скорость материальной точки при движении по окружности направлена по касательной к ней в любой точке круга (рис. 21), а с учётом представления кривой на рисунке 18 этот вывод можно распространить на любые криволинейные движения (рис. 22).
Закрепим на горизонтальной оси О фанерный диск (рис. 23), на котором проведен радиус ОА. Напротив точки А поставим указатель В и будем медленно и равномерно вращать диск. Увидим, что точка А с каждым оборотом диска снова появляется напротив указателя В, т. е. совершает движение, повторяющееся через определенный интервал времени.
Движения, при которых определенные положения материальной точки повторяются через одинаковые интервалы времени, называют периодическими движениями.
Равномерное движение по окружности — это периодическое движение. Периодическое движение характеризуют такими величинами, как период обращения и частота обращения.
Период обращения – это интервал времени, в течение которого материальная точка совершает один оборот при равномерном движении по окружности.
Обозначается период обращения большой латинской буквой Т.
Если за время
Единицей периода обращения в СИ является одна секунда (1 с).
Если период обращения равняется 1 с, то материальная точка при равномерном движении по окружности осуществляет один оборот за 1 с.
Частота обращения определяется числом оборотов, которое материальная точка совершает за единицу времени при равномерном движении по окружности
Обозначается частота обращения малой латинской буквой
* В научной и учебной литературе частоту обращения еще обозначают малой греческой буквой
материальная точка совершила N оборотов, то, чтобы определить частоту обращения
, нужно N поделить на
, т. е.:
а так как
= ТN , то
Единицей частоты обращения в СИ является единица, разделённая на секунду
это частота обращения, при котором за 1 с материальная точка совершает 1 полный оборот, двигаясь равномерно по окружности. В технике такую единицу иногда называют одним оборотом в секунду
, часто применяют также единицу один оборот в минуту
Равномерное движение по окружности:
На предыдущих уроках вы ознакомились с различными видами прямолинейного движения, с величинами, характеризующими эти движения, и определили, как изменяются эти величины со временем.
Наиболее простой вид криволинейного движения – это широко распространенное в природе и технике движение по окружности. Вращение точек поверхности Земли вокруг своей оси, точек часовых стрелок, точек автомобильных колес и др. является движением по окружности. Теоретическая и практическая важность изучения движения по окружности заключается в том, что произвольную криволинейную траекторию можно представить как сумму дуг окружностей разных радиусов (а). Самый простой вид движения по окружности – это равномерное движение.
• Равномерное движение по окружности – это движение, при котором модуль скорости материальной точки в каждой точке этой окружности остается неизменным. Такое движение характеризуется следующими величинами:
Период обращения — это время, затраченное на один полный оборот материальной точки по окружности:
— период обращения,
— число полных оборотов материальной точки за время
За единицу периода обращения в СИ принята секунда:
Частота обращения – это число оборотов материальной точки по окружности, совершаемых за единицу времени:
— частота обращения (иногда обозначается буквой
Период и частота обращения обратно пропорциональны друг другу:
Это означает, что во сколько раз уменьшится частота обращения, во столько же раз увеличится период обращения, и наоборот.
Угол поворота – это угол, на который поворачивается радиус-вектор при движении материальной точки по окружности. Угол поворота измеряется отношением длины дуги окружности между начальным и конечным радиус-векторами к радиусу окружности (b):
— угол поворота,
— длина дуги, соответствующая углу поворота,
Угол поворота является скалярной величиной, единица его измерения в СИ – радиан:
• 1 рад – это угол поворота радиус-вектора, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности
Угловая скорость – это физическая величина, измеряемая отношением угла поворота к промежутку времени, за которое этот поворот совершен:
Угловая скорость материальной точки, равномерно движущейся по окружности, с течением времени остается неизменной
За единицу угловой скорости принята угловая скорость такого равномерного движения по окружности, при котором за 1 секунду радиус-вектор материальной точки поворачивается на угол в 1 радиан.
Материальная точка, движущаяся равномерно по окружности, за время, равное периоду обращения
совершает один полный оборот, за это время радиус-вектор поворачивается на угол
Линейная скорость.Скорость движения материальной точки по окружности называется линейной скоростью. Линейная скорость материальной точки, равномерно движущейся по окружности, оставаясь постоянной по модулю
Численное значение линейной скорости при равномерном движении по окружности равно отношению пройденного пути ко времени, затраченному на его прохождение:
Материальная точка, двигаясь равномерно по окружности, за время, равное периоду обращения
проходит путь, равный длине круга:
Быстрота изменения направления линейной скорости при равномерном движении по окружности характеризуется физической величиной называемой центростремительным, или нормальным, ускорением. Вектор центростремительного, или нормального, ускорения в любой точке траектории направлен по радиусу к центру окружности (см.: с). Модуль центростремительного ускорения материальной точки при равномерном движении по окружности равен отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности:
1.Равномерное
движение по окружности
2.Угловая скорость
вращательного движения.
5.Связь линейной
скорости с угловой.
7.Равнопеременное
движение по окружности.
8.Угловое ускорение
в равнопеременном движении по окружности.
10.Закон равноускоренного
движения по окружности.
11. Средняя угловая
скорость в равноускоренном движении
по окружности.
12.Формулы,
устанавливающие связь между угловой
скоростью, угловым ускорением и углом
поворота в равноускоренном движении
по окружности.
и называется
линейной скоростью движения по окружности.
Как и в криволинейном
движении вектор скорости направлен по
касательной к окружности в направлении
движения (Рис.25).
2. Угловая
скорость в равномерном движении по
окружности
– отношение угла поворота радиуса ко
времени поворота:
В равномерном
движении по окружности угловая скорость
постоянна. В системе СИ угловая скорость
измеряется в(рад/c).
Один радиан – рад это центральный угол,
стягивающий дугу окружности длиной
равной радиусу. Полный угол содержит
радиан, т.е. за один оборот радиус
поворачивается на угол
радиан.
3. Период
вращения –
интервал времени Т, в течении которого
материальная точка совершает один
полный оборот. В системе СИ период
измеряется в секундах.
4. Частота
вращения –
число оборотов
,
совершаемых за одну секунду. В системе
СИ частота измеряется в герцах ( 1Гц =
1
)
. Один герц – частота, при которой за
одну секунду совершается один оборот.
Легко сообразить, что
Если за время t
точка совершает n
оборотов по окружности то
Зная период и
частоту вращения, угловую скорость
можно вычислять по формуле:
5 Связь
линейной скорости с угловой.
Длина дуги окружности равна
центральный
угол, выраженный в радианах, стягивающий
дугу
асто
бывает удобно использовать формулы:
Угловую скорость часто называют
циклической частотой, а частоту
6. Центростремительное
ускорение.
В равномерном движении по окружности
модуль скорости остаётся неизменным
Пусть за промежуток
времени
прошло путь равный дуге окружности
.
Перенесём вектор
,
оставляя его параллельным самому себе,
так чтобы его начало совпало с началом
вектора
в точке В. Модуль изменения скорости
равен
,
а модуль центростремительного ускорения
равен
На Рис.26 треугольники
АОВ и ДВС равнобедренные и углы при
вершинах О и В равны, как углы с взаимно
перпендикулярными сторонами АО
Это значит, что треугольники АОВ и ДВС
подобные. Следовательно
то
есть интервал времени
принимает сколь угодно малые значения,
то дугу
можно
приближенно считать равной хорде АВ,
т.е.
.
Поэтому можем записать
Учитывая,
что ВД=
,
ОА=R
получим
Умножая обе части последнего равенства
на
,
получим
и далее выражение для модуля
центростремительного ускорения в
равномерном движении по окружности:
Итак, в равномерном
движении по окружности центростремительное
ускорение постоянно по модулю.
Легко сообразить,
что в пределе при
.
Это значит, что углы при основании ДС
треугольника ДВС стремятся значению
,
а вектор изменения скорости
становится
перпендикулярным к вектору скорости
,
т.е. направлен по радиусу к центру
окружности.
7. Равнопеременное
движение по окружности
– движение по окружности, при котором
за равные интервалы времени угловая
скорость изменяется на одну и ту же
величину.
8. Угловое
ускорение в равнопеременном движении
по окружности
– отношение изменения угловой скорости
к интервалу времени
начальное
значение угловой скорости,
конечное
значение угловой скорости,
угловое ускорение, в системе СИ измеряется
в
,
если
Умножая обе части
этих равенств на
и учитывая, что
9. Тангенциальное
ускорение
численно равно изменению скорости в
единицу времени и направлено вдоль
касательной к окружности. Если
10. Закон
равноускоренного движения по окружности.
Путь, пройденный по окружности за время
в равноускоренном движении, вычисляется
по формуле:
,
или
Если же движение равнозамедленное, т.е.
<0,
то
1.Полное
ускорение в равноускоренном движении
по окружности.
В равноускоренном движении по окружности
центростремительное ускорение с
течением времени возрастает, т.к.
благодаря тангенциальному ускорению
возрастает линейная скорость. Очень
часто центростремительное ускорение
называют нормальным и обозначают как
полное ускорение в данный момент
определяют по теореме Пифагора
12. Средняя
угловая скорость в равноускоренном
движении по окружности.
Средняя линейная скорость в равноускоренном
движении по окружности равна
.
Подставляя сюда
12. Формулы,
устанавливающие связь между угловой
скоростью, угловым
ускорением
и углом поворота в равноускоренном
движении по окружности.
,
,
,
и сокращая на
,
получим
Если
,
то
Движения Материальной Точки по Окружности
Движение точки по окружности может быть очень сложным (рис. 17).
Рассмотрим подробно движение точки по окружности, при котором const. Такое движение называется равномерным движением по окружности. Естественно, вектор скорости не может быть неизменным (v не равно const), так как направление скорости постоянно меняется.
Время, за которое траектория точки опишет окружность, называется периодом обращения точки (Т). Число оборотов точки в одну секунду называется частотой обращения (v). Период обращения можно найти по формуле:
Естественно, перемещение точки за один оборот будет равно нулю. Однако пройденный путь будет равен , а при числе оборотов п путь будет равен или , где t – время движения.
Ускорение при равномерном движении точки по окружности направлено к ее центру и численно равно а = v/R.
Это ускорение называется центростремительным (или нормальным). Вывод этого равенства может быть следующим. Приведем векторы скорости к одной точке хотя бы за – Т (можно и за Т/2 или Т) (рис. 18).
Определим длину дуги. Поскольку радиусом для дуги будет модуль вектора , то длина дуги может быть вычислена как длина четверти окружности с радиусом
После сокращения получим:
Если же движение равнопеременное, то const, тогда рассматривают другую составляющую ускорения, обеспечивающую изменение модуля скорости. Это ускорение называется тангенциальным:
Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, оно может совпадать по направлению со скоростью (движение равноускоренное) или быть противоположно направленным (движение равнозамедленное).
Враща́тельное движе́ние движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой . Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с на электростанции неподвижна.
— физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен поворота тела в единицу времени:
а направлен по согласно , то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.
— , характеризующая быстроту изменения .
углового ускорения α направлен вдоль оси вращения (в сторону
при ускоренном вращении и противоположно
— при замедленном).
Существует связь между и угловым ускорениями:
где — в данный момент времени. Итак, угловое ускорение равно второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени. Угловое ускорение измеряется в рад/сек.
Современная формулировка
В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная
точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.
При подходящем выборе , этот закон можно записать в виде формулы:
— , приложенная к материальной точке; — материальной точки.
Или в более известном виде:
В случае, когда масса материальной точки меняется со временем, второй закон Ньютона формулируется с использованием понятия :
В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной
точки равна равнодействующей всех приложенных к ней сил.
— импульса по времени.
Когда на тело действуют несколько сил, с учётом второй закон Ньютона записывается:
Второй закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших и в инерциальных системах отсчёта. Для скоростей, приближенных к скорости света, используются законы .
Нельзя рассматривать частный случай (при
Инерциальной называется система отсчёта, по отношению к которой является и , а — .
В классической механике справедлив механический принцип относительности: законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами x, y, z), условно будем считать неподвижной, и систему К’ (с координатами x’, y’, z’), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью υ(υ=const)
Координата точки А по отношению к системе К: х = х’ + 00′, за промежуток времени t от начала отсчета будет:
Уравнения (3.19) носят название преобразования координат и времени Галилея. Отсчет времени начат с момента, когда начало координат обеих систем совпадают. Продифференцировав по времени t, получим выражение правила сложения скоростей в классической механике: υ=υ’+υ(3.20)
Ускорения в обеих системах отсчета одинаковы, а это означает, что поведение тел в обеих системах одинаково: a=a’ (3.21), т.е. из соотношения (3.21) вытекает подтверждение механического принципа относительности: уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются, т.е. являются инвариантными по отношению к преобразованиям Галилея. Механический принцип относительности можно сформулировать еще следующим образом: никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли
она или движется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, мы не можем определить, покоится корабль или движется, не выглянув в окно.
Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем для скоростей, малых по сравнению со скоростью света в пустоте и в ограниченном объёме пространства. Для скоростей вплоть до порядка скоростей движения планет в Солнечной системе (и даже бо́льших), преобразования Галилея приближенно верны с очень большой точностью.
Если ИСО относительно ИСО с постоянной скоростью
, а совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:
или, используя векторные обозначения,
(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).
Как видим, это просто формулы для сдвига начала координат, линейно зависящего от времени (подразумеваемого одинаковым для всех систем отсчета).
Из этих преобразований следуют соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах отсчета:
Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем для малых скоростей
Зако́н сохране́ния и́мпульсаЗако́н сохране́ния количества движения
что векторная сумма всех тел (или частиц) есть величина постоянная.
В закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.
Как и любой из фундаментальных , закон сохранения импульса описывает одну из , — .
Рассмотрим выражение определения силы
Перепишем его для системы из частиц:
где суммирование идет по всем силам, действующим на -ю частицу со стороны -ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида
значению и противоположны по направлению, то есть
Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:
Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:
То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.
Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для .
Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса
зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия.
Движение точки по окружности
Движения, происходящие в природе и технике, могут отличаться по изменению значения скоростей и по изменению направления скоростей. Так, например, при движении точки вдоль прямой линии в одном направлении направление скорости не меняется, хотя ее значение может быть различным. В этом случае движение считается неравномерным.
Но движения могут быть и криволинейными, например, точки могут двигаться по окружностям. На рисунке 18 изображена траектория движения точек нити или ленты между круглыми барабанами. Такие траектории можно представить в виде отрезков прямых линий и окружностей разных размеров. Понятно, что такие движения могут быть и равномерными, каждая точка все время будет иметь одинаковую скорость по значению, хотя направление скорости от точки к точке траектории может меняться.
Рассмотрим движение материальной точки по окружности, когда это движение равномерно, т. е. значение скорости остается постоянным (рис. 19). Точка, двигаясь по окружности радиуса R, за определенное время
переходит из точки А в точку В. При этом отрезок OA поворачивается на угол
(греческая буква «омега») – угловая скорость;
(греческая буква «фи») – угловое перемещение.
Угловое перемещение определяется в радианах (рад.). 1 радиан — это такое перемещение, когда траектория движения точки – длина дуги окружности АВ – равна длине радиуса R.
Единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).
1 рад/с равен угловой скорости такого равномерного движения по окружности, при котором за 1 с осуществляется угловое перемещение 1 рад.
При определении угловой скорости слово «рад» обычно не пишут, а просто обозначают 1/с (имеется в виду рад/с).
Движение точки по окружности (и вращение твердого тела) характеризуют также такие величины, как период и частота вращения.
Период вращения (Т) – это время, на протяжении которого точка (тело) совершает один полный оборот по окружности. Период вращения:
где t — время вращения, N — количество выполненных оборотов.
Период вращения Т измеряется в секундах. Период равен 1 с, если точка (тело) осуществляет один оборот в секунду. Частота вращения (вращательная частота):
где N — количество совершенных оборотов за время t .
Частота вращения измеряется в оборотах за секунду (об/с).
Еще Архимед установил, что для всех окружностей любого радиуса отношение длины окружности к его диаметру является величиной постоянной. это число обозначили греческой буквой
Таким образом, длина окружности
За один оборот материальная точка осуществляет угловое перемещение 2
Движение по окружности характеризуется привычным для нас понятием скорости как пути, который проходит точка за единицу времени. В данном случае эта скорость называется линейной. Если учитывать, что за один оборот (время Т) точка проходит путь
то линейная скорость равномерного движения точки по окружности
Вращение твердого тела
Твердые тела состоят из большого количества частичек. Абсолютно твердыми наукой считаются тела, расстояние между точками которых не изменяется во время явлений, которые с ними происходят. Однако следует иметь в виду, что абсолютно твердых тел в природе нет.
Как упоминалось в § 3, движения твердых тел бывают поступательные и вращательные. Твердые тела могут вращаться вокруг любых осей, в том числе и тех, которые проходят через их центры.
В случае а (рис. 20) ось вращения проходит через центр шара (например, вращаются колеса транспортных средств или Земля в своем суточном вращении вокруг оси). В случае в ось проходит через край шара. В случае в шар находится на определенном расстоянии от оси (например, Земля движется вокруг Солнца или Луна вокруг Земли). В некоторых случаях даже Землю и Луну можно считать материальными точками, а в некоторых случаях это сделать невозможно. Подумайте, в каких?
Что же является наиболее характерным для вращательного движения твердых тел? Очевидно, что при этом все точки этих тел в своем движении описывают окружности, центры которых находятся на осях вращения.
Понятно также, что разные точки тел за одно и то же время проходят по своим траекториям разные расстояния – чем дальше от оси вращения лежат точки, тем больше эти расстояния. Но за одно и то же время угловое перемещение
всех точек одинаково. Следовательно, и угловая скорость
Для характеристики вращательного движения твердых тел используют такие же понятия, что и для движения точки по окружности: период вращения Т – время одного полного вращения; вращательная частота (частота вращения)
— количество полных вращений за единицу времени; угловая скорость со. Кроме основной единицы частоты вращения об/с, используют об/мин, об/ч и т. п.
Период вращения Земли вокруг- Солнца равен в среднем 365 суток, а период вращения Луны вокруг Земли в среднем 28 суток. Изучая физику, астрономию, вы узнаете, что небесные тела, например планеты Солнечной системы, движутся не по окружностям, а по так называемым эллипсам.
Динамика вращательного движения
При просмотре фильмов-боевиков вы могли наблюдать, что при резком вращении руля автомобиля машина опрокидывается. В цирке мотоциклисты катаются по поверхности стен.
Проведем такой опыт. Нальем воду в ведро и раскрутим его в вертикальной плоскости. При определенной скорости вращения вода не выливается из ведра.
Из приведенных выше примеров можно сделать заключение, что существует сила, которая опрокинет машину при резком повороте, удержит мотоциклиста на стене и не даст вылиться воде из ведра при вращении.
Откуда появляется эта сила? От чего зависит ее величина?
Для этого вспомним о возникновении центростремительной силы в теле при равномерном вращательном движении:
По третьему закону Ньютона:
и при вращении появляется также центробежная сила.
На рисунке 4.12 показаны силы, действующие на тело, которое совершает вращательные движения по кругу радиусом
. В точке 1, из-за того что центробежная сила
направлена противоположно силе тяжести
В точке 3 сила тяжести тела и центробежная сила направлены вниз, т.е. в одном направлении. В этом случае вес тела растет:
Центробежную силу нужно учитывать при вращении тела и в случаях поворота в ходе движения.
Кроме того, на поворотах дороги под воздействием центробежной силы наблюдается отклонение тела от вертикального положения. Чтобы это не приводило к авариям, велосипедисты или мотоциклисты должны двигаться с небольшим уклоном в сторону от центра вращения (рис. 4.13а).
Для уравновешивания этой силы специально для автомобилей на поворотах строят участки дороги с уклоном с одной стороны (рис. 4.13б). Для трамваев и поездов рельсы на поворотах дороги с внешней стороны круга делаются чуть выше.
Пример
При движении по кругу тело опускается вниз. При каком радиусе круга тело не упадет с точки
. Скорость тела в точке
Чтобы тело не упало из точки
выполняться следующее условие:
Ответ: 90 м.
Кинематика вращательного движения
При криволинейном движении материальной точки ее мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в данной точке.
Движение тела (МТ) по окружности является частным случаем криволинейного движения по траектории, лежащей в одной плоскости.
Одним из простейших и широко распространенных видов такого движения является движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Это такое движение, при котором тело (МТ) за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги. Подчеркнем, что при подобном движении скорость точки постоянно меняет свое направление.
Для описания движения по окружности используется ряд физических величин. Рассмотрим некоторые из них.
Удобным параметром для определения положения материальной точки М, совершающей движение по окружности радиусом R с центром в начале координат, является угол поворота
По теореме Пифагора можно найти, что координаты х и у материальной точки в декартовой системе координат удовлетворяют соотношению
Проходимый точкой путь s (длина дуги окружности) равен, как и для всякого равномерного движения, произведению модуля скорости v и промежутка времени движения
Модуль угловой скорости
— это отношение угла поворота
за который этот поворот произошел:
Единица угловой скорости в СИ — радиан в секунду
При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью v угловая скорость
является величиной постоянной и ее модуль равен отношению угла поворота
Здесь n — частота вращения — физическая величина, численно равная числу оборотов N материальной точки в единицу времени:
Единица частоты вращения в СИ — секунда в минус первой степени
При совершении полного оборота
(см. рис. 25) с течением времени изменяются по закону
Следовательно, соотношение между модулями линейной и угловой скорости имеет вид
(докажите самостоятельно), где
— угол поворота радиус-вектора в момент начала движения, то кинематический закон движения МТ но окружности имеет вид
При движении МТ по окружности с постоянной по модулю скоростью ее направление непрерывно изменяется и, следовательно, движение МТ происходит с ускорением, которое называется центростремительным
Ускорение направлено по радиусу к центру окружности и характеризует быстроту изменения направления скорости
в любой момент времени перпендикулярно скорости
Как и при прямолинейном равноускоренном движении, ускорение
называемое тангенциальным (касательным), совпадает с направлением скорости
или направлено противоположно ей
и поэтому изменяет только модуль скорости. Следовательно, при движении по окружности с непостоянной по модулю скоростью (например, математический маятник) или при любом криволинейном движении полное ускорение
можно представить в виде векторной суммы нормального ускорения
и тангенциального ускорения
направленного по касательной к окружности в данной точке (рис. 28):
всегда направлено в сторону вогнутости траектории (см. рис. 28).
Модуль полного ускорения находится по теореме Пифагора:
– нормальное ускорение, с которым точка двигалась бы по дуге
окружности радиусом r, заменяющей траекторию в окрестности рассматриваемой точки. Этот радиус r называют радиусом кривизны траектории.
Движение по окружности
Попробуйте представить линию, вдоль которой движутся ребенок, кружащийся на карусели, носок в барабане стиральной машины во время отжима, кончик ножа блендера при изготовлении коктейля или смузи. Уверены, что вы легко определили: этой линией является окружность. Итак, в перечисленных случаях имеем дело с движением по окружности; простейшим является равномерное движение по окружности. Далее, говоря о равномерном движении по окружности любого физического тела, будем считать это тело материальной точкой. Равномерно по окружности движутся, например, кабинки колеса обозрения. Близким к равномерному движению по окружности является движение планет вокруг Солнца (рис. 12.1, а), естественного спутника (Луны) или искусственных спутников вокруг Земли* (рис. 12.1, б). Приведите примеры движения по окружности. В каких случаях это движение можно считать равномерным? Можно ли считать движение точек обода колеса велосипеда относительно его рамы равномерным движением по окружности? Обоснуйте свой ответ.
Равномерное движение материальной точки по окружности — это такое криволинейное движение, при котором точка, двигаясь по круговой траектории, за любые равные интервалы времени проходит одинаковый путь.
Определение периода вращения
Равномерное движение по окружности — это периодическое движение, то есть движение, повторяющееся через определенные равные интервалы времени. Например, кончик секундной стрелки часов, двигаясь равномерно вдоль циферблата, повторяет свое движение через каждые 60 с (рис. 12.2).
Любое периодическое движение характеризуется такими физическими величинами, как период и частота. При равномерном движении по окружности говорят о периоде вращения и частоте вращения.
Определение частоты вращения
Указывая технические характеристики устройств, используют не период вращения, а частоту вращения (рис. 12.4). Частота вращения — это физическая величина, которая равна количеству оборотов за единицу времени. Частоту вращения обозначают символом n и определяют по формуле:
где t — время вращения; N — количество оборотов за данное время. Единица частоты вращения в СИ — оборот в секунду:
, приходим к выводу, что период вращения и частота вращения являются взаимно обратными величинами:
Как возникли единицы времени
Как измерить время? Ответ на этот вопрос подсказала людям сама природа. Дело в том, что многие движения, происходящие в природе, являются периодическими, а период такого движения может служить единицей времени. Например, вращение Земли вокруг своей оси — периодическое движение. Ежедневный восход (закат) Солнца, обусловленный этим движением, подсказал нашим предкам единицу времени сутки, которые равны периоду вращения Земли вокруг своей оси. Несколько единиц времени были получены в древнем Вавилоне. Наблюдая за ночным небом, жрецы заметили, что «молодая» Луна появляется на небосклоне приблизительно каждые 28 суток. Периодическое рождение лунного диска служило своего рода вечными «часами». Так возникла единица времени месяц*. За это время Луна, вращаясь вокруг Земли, проходит полный цикл изменения фаз: новолуние, первая четверть, полнолуние, последняя четверть (рис. 12.5). Именно поэтому жрецы разделили лунный месяц на четыре части (поколичеству лунных фаз) и получили семь дней — единицу времени, которая называется неделя.
Определяем скорость равномерного движения по окружности
Кроме периода вращения и его частоты важной характеристикой движения по окружности является скорость движения. Если тело равномерно движется по окружности, то за время, равное периоду вращения t(=T, )тело совершает один оборот, то есть проходит путь, равный длине окружности. Длину окружности l можно вычислить по известной вам из математики формуле:
Сейчас, как правило, используют понятие календарного месяца, который не зависит от фаз Луны и длится от 28 до 31 суток.
Именно об этой скорости идет речь, когда, например, определяют скорость движения человека, кружащегося на карусели, говорят о скорости полета искусственных спутников Земли и т. д.
Равномерное движение материальной точки по окружности — это такое криволинейное движение, при котором точка, двигаясь по круговой траектории, за любые равные интервалы времени проходит одинаковый путь. Равномерное движение по окружности — это периодическое движение, то есть движение, повторяющееся через определенные одинаковые интервалы времени. Период вращения T — физическая величина, равная времени, в течение которого материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, совершает один оборот. Единица периода вращения в СИ — секунда (с). Частота вращения n — это физическая величина, которая равна количеству оборотов за единицу времени. Единица частоты вращения в СИ — оборот в секунду (об/с, или 1/с). Период вращения T и частоту вращения n определяют по формулам:
, где t — время наблюдения; N — количество оборотов за это время. Частота вращения и период вращения — взаимно обратные величины:
