Глава 1. Электродинамика
Для накопления разноименных электрических зарядов служит устройство, которое называется конденсатором. Конденсатор — система двух изолированных друг от друга проводников (которые часто называют обкладками конденсатора), один из которых заряжен положительным, второй — таким же по величине, но отрицательным зарядом. Если эти проводники представляют собой плоские параллельные пластинки, расположенные на небольшом рас-стоянии друг от друга, то конденсатор называется плоским.
Для характеристики способности конденсатора накапливать заряд вводится понятие электроемкости (часто говорят просто емкости). Емкостью конденсатора
называется отношение заряда конденсатора
к той разности потенциалов
, которая возникает между обкладками при их заряжении зарядами
(эту разность потенциалов проводников часто называют электрическим напряжением между обкладками и обозначают буквой
) в формуле (20.1) зависимы, то емкость (20.1) не зависит от
, а является характеристикой геометрии системы проводников. Действительно, при сообщении проводникам зарядов
проводники приобретут потенциалы, разность которых будет пропорциональна заряду
Выведем формулу для емкости плоского конденсатора (эта формула входит в программу школьного курса физики). При заряжении параллельных пластин, расположенных на небольшом расстоянии друг от друга, зарядами
, в пространстве между ними возникает однородное электрическое поле с напряженностью (см. гл. 18):
Разность потенциалов между пластинами равна
— площадь пластин,
Если все пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
, то поле (20.2) и разность потенциалов (20.3) убывает в
раз, а емкость конденсатора в
Для конденсаторов, соединенных в батареи, вводится понятие эквивалентной емкости, как емкости одного конденсатора, который при заряжении его тем же зарядом, что и батарея дает ту же разность потенциалов, что и батарея конденсаторов. Приведем формулы для эквивалентной емкости, а также для заряда и электрического напряжения на каждом конденсаторе при последовательном и параллельном их соединении.
Последовательное соединение (см. рисунок). При сообщении левой пластине левого конденсатора заряда
, а правой пластине правого заряда
, на внутренних пластинах благодаря поляризации будут индуцироваться заряды (см. рисунок; значения индуцированных зарядов приведены под пластинами). Можно доказать, что в результате поляризации каждый конденсатор будет заряжен такими же зарядами
Параллельное соединение (см. рисунок). В этом случае если сообщить левому проводнику заряд
, правому сообщить заряд
, заряд распределится между конденсаторами, вообще говоря, не одинаково, но по закону сохранения заряда
Поскольку правые пластины всех конденсаторов соединены между собой, левые — тоже, то они представляют собой единые проводники, и, следовательно, разность потенциалов между пластинами каждого конденсатора будет одинакова:
Заряженный конденсатор обладает определенной энергией. Если конденсатор емкости
, то энергия этого конденсатора
(можно говорить энергия электрического поля конденсатора) равна
С помощью определения электрической емкости (20.1) можно переписать формулу (20.8) еще в двух формах:
Рассмотрим в рамках этого минимума сведений о конденсаторах типичные задачи ЕГЭ по физике, которые были предложены в первой части книги.
Электроемкость конденсатора — его геометрическая характеристика, которая при неизменной геометрии не зависит от заряда конденсатора (задача 20.1.1 — ответ 3). Аналогично не меняется емкость конденсатора при увеличении напряжения на конденсаторе (задача 20.1.2 — ответ 3).
Связь между единицами измерений (задача 20.1.3) следует из определения емкости (20.1). Единица электрической емкости в международной системе единиц измерений СИ называется Фарада. 1 Фарада — это емкость такого конденсатора, между пластинами которого возникает напряжение 1 В при зарядах пластин 1 Кл и -1 Кл (ответ 4).
Поскольку электрическое поле в плоском конденсаторе однородно, то напряженность поля в конденсаторе
и напряжение между пластинами
связаны соотношением (см. формулу (18.9))
Согласно определению электрической емкости имеем в задаче 20.1.5
Из формулы (20.4) для емкости плоского конденсатора заключаем, что при увеличении площади его пластин в 3 раза (задача 20.1.6) его емкость увеличивается в 3 раза (ответ 1).
При уменьшении в
раз расстояния между пластинами емкость плоского конденсатора возрастет в
раз. Поэтому новое напряжение на конденсаторе
Так как конденсатор в задаче 20.1.8 подключен к источнику, то между его пластинами поддерживается постоянное напряжение
независимо от расстояния между ними. Поэтому заряд конденсатора
изменяется при раздвигании пластин так же, как изменяется его емкость. А поскольку при увеличении расстояния между пластинами вдвое емкость конденсатора уменьшается вдвое (см. формулу (20.4)), то вдвое уменьшается и заряд конденсатора (ответ 2).
В задаче 20.1.9 конденсатор отключен от источника в процессе сближения пластин. Поэтому не меняется их заряд. А поскольку напряженность электрического поля между пластинами определяется соотношением (20.2)
то напряженность электрического поля между пластинами также не изменяется (ответ 3). Этот же результат можно получить и через определение емкости
от расстояния между пластинами не зависит (см. формулу (20.4)).
Из формул (20.8), (20.9) видим, что только одно из приведенных в качестве ответов к задаче 20.1.10 соотношений (а именно — 2) определяет энергию конденсатора.
При последовательном соединении конденсаторов (задача 20.2.1) одинаковыми будут их заряды независимо от значений их электрических емкостей (ответ 2). При параллельном соединении конденсаторов (задача 20.2.2) одинаковыми будут напряжения на каждом из них (ответ 3).
Поскольку конденсатор в задаче 20.2.3 отключен от источ-ника напряжения, его заряд не меняется в процессе раздвигания пластин. Поэтому для исследования изменения энергии конденсатора удобно воспользоваться формулой (20.8)
Так как при увеличении расстояния между пластинами в
раз электрическая емкость конденсатора уменьшается в
раз, то согласно формуле (1) энергия конденсатора увеличится в
раз (ответ 1).
В задаче 20.2.4 не изменяется напряжение на конденсаторе. Поэтому воспользуемся первой из формул (20.9)
Из этой формулы заключаем, что при увеличении в
раз расстояния между пластинами энергия конденсатора уменьшится в
раз — ответ 2. (Разница с предыдущей задачей связана с тем, что здесь кроме внешних сил, совершающих работу при раздвигании пластин, совершает работу источник напряжения.)
В задаче 20.2.5 изменяют расстояние между пластинами (и, следовательно, емкость) и заряд конденсатора. Поэтому удобно воспользоваться формулой (20.8)
Из этой формулы заключаем, что при увеличении расстояния между пластинами в 2 раза и увеличении заряда конденсатора в 2 раза его энергия возрастет в 8 раз (ответ 4).
Поскольку в задаче 20.2.6 конденсаторы соединены последовательно, емкость батареи конденсаторов можно найти по формуле (20.6), откуда находим емкость батареи конденсаторов
В задаче 20.2.7 конденсаторы соединены параллельно, поэтому емкость батареи конденсаторов можно найти по формуле (20.7):
Основной вопрос, на который нужно ответить в задаче 20.2.8, это как соединены конденсаторы? Последовательно, параллельно, по-другому? Попробуем по-другому расположить в пространстве и изменить длину соединительных проводов, чтобы схема стала более понятной. Очевидно, что можно соединить вершину 1 и вершину 3 («уменьшив» длину провода 1-3), а также вершины 2 и 4. При этом средний конденсатор разворачивается в пространстве, и схема приобретает вид, показанный на рисунке, откуда видно, что конденсаторы соединены параллельно. Поэтому
Когда в заряженный плоский конденсатор вставляют металлическую пластинку (задача 20.2.9), параллельную обкладкам конденсатора, напряженность электрического поля внутри пластинки становится равным нулю, вне пластинки между обкладками конденсатора остается таким же, каким оно было в отсутствие пластинки
— заряд конденсатора,
— площадь его пластин. Поэтому напряжение между обкладками конденсатора
— расстояние между обкладками конденсатора,
Чтобы найти емкость сферического конденсатора (задача 20.2.10) сообщим его обкладкам заряды
, найдем напряжение между обкладками, вычислим отношение заряда к напряжению. Разность потенциалов двух концентрических сфер, заряженных зарядами
Задачи с решениями
Плоский воздушный конденсатор состоит из двух близко расположенных пластин. Емкость конденсатора = 2,5·10–12 Ф. Заряд конденсатора = 5,0·10–9 Кл. Какую нужно совершить работу, чтобы вдвое увеличить расстояние между пластинами конденсатора?
Задача может быть решена двумя способами.
1. Силовой метод. Пластины плоского конденсатора притягиваются друг к другу, так как они заряжены зарядами противоположных знаков. Сила, действующая на каждую пластину, равна произведению заряда этой пластины на напряженность поля 1, создаваемого второй пластиной. Это поле в два раза меньше напряженности поля в конденсаторе, которое создается обеими пластинами.
Пусть одна из пластин (например, отрицательно заряженная пластина) неподвижна, а вторая, положительно заряженная, отодвигается от первой на расстояние . Внешняя сила вн, равная по модулю силе электростатического взаимодействия е между пластинами, совершает положительную работу вн = вн · (см. рис.).
Работа, совершенная внешней силой при раздвижении пластин конденсатора, равна первоначальной энергии е1, запасенной в конденсаторе.
2. Энергетический метод. При увеличении расстояния между пластинами конденсатора его емкость уменьшается в два раза, а заряд остается неизменным. Поэтому энергия, запасенная в конденсаторе, увеличится в два раза и станет равной