Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
В этой статье — решение задач на кредиты второго типа. Схема 2: с дифференцированными платежами. В условии есть информация об изменении суммы долга.
Если в условии задачи сказано, что сумма долга уменьшается равномерно, или что 15-го числа каждого месяца сумма долга на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца, или есть информация о том, как именно уменьшается сумма долга, — это задача на кредиты второго типа.
1. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на
по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на
больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Ключевая фраза в условии: «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца». Другими словами, сумма долга уменьшается равномерно. Что это значит?
Если вначале сумма долга равна S, то через месяц (после начисления процентов и первой выплаты) она уменьшилась до
.Еще через месяц будет
— и так до нуля.
Нарисуем схему погашения кредита.
Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.
Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 19.
Вот клиент берет в кредит сумму
. После начисления процентов сумма долга увеличилась в
раз и стала равна
. После первой выплаты сумма долга уменьшилась на
и стала равной
. Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна
Сумма всех выплат:
Мы сгруппировали слагаемые и вынесли общие множители за скобку. Видим, что и в первой, и во второй скобке — суммы арифметической прогрессии, у которой
В первой скобке — сумма 19 слагаемых, во второй сумма 18 слагаемых.
По формуле сумма арифметической прогрессии,
Получим, что общая сумма выплат
— величина переплаты. Эта величина показывает, на сколько общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит.
В нашей задаче
Обратите внимание. Общая сумма выплат:
— величина переплаты,
В следующих задачах мы будем (если это возможно) применять удобную формулу для переплаты без вывода. Однако на экзамене вам надо будет ее вывести. Иначе решение могут не засчитать.
2. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на
На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на
По формуле для переплаты
при выплате суммы кредита
— искомое число месяцев, а
— величина платежной ставки в процентах. По условию, переплата
3. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на
В этой задаче (как и в большинстве задач ЕГЭ) мы не сможем применить формулу для величины переплаты. Ведь погашение кредита происходит неравномерно. Первые 5 месяцев долг ежемесячно уменьшается на
своей величины, а в последний месяц сразу до нуля.
Запишем, чему равна каждая выплата, и найдем сумму всех выплат.
– общая сумма выплат,
– сумма кредита.
4. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн. руб. Условия возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на
по сравнению с концом предыдущего года.
– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
– в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.
– суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.
В 2018 году появились, пожалуй, самая сложная задачи ЕГЭ такого типа. Вот большая статья о том, что же все-таки было на ЕГЭ-2018:
Разбор задачи №17 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.
Подведем итоги. Соберем всё, что узнали о решении задач на кредиты по второй схеме (с дифференцированными платежами) в небольшую таблицу:
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике. Задание № 15. Кредиты. Схема 2: известна информация об изменении суммы долга.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
07.06.2023
В 2018 году на ЕГЭ по математике появились задачи, напугавшие многих выпускников. «Это страшно, – говорили они после экзамена. – Никогда такого не было. Решить невозможно».
Конечно же, я сочувствую абитуриентам, для которых ЕГЭ – все-таки большой стресс. Экзамен – это испытание не только знаний, но и хладнокровия, и способности действовать в сложной ситуации. И может быть, сказать себе: «Да, задача необычная, но я знаю общий подход к решению таких задач – справлюсь и на этот раз».
Действительно ли настолько страшны были «банковские» задачи на ЕГЭ по математике 2018 года? Они своеобразны. Их невозможно решить без подготовки, без знания того, как вообще устроены задачи ЕГЭ на кредиты.
Запомним: есть всего два типа «банковских» задач, или задач на кредиты.
Выплаты кредита производятся . Эта схема еще называется «аннуитет». К первому типу относятся также все задачи, где известны (или дана закономерность именно для ).
Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами». Ко второму типу относятся также задачи, где известна закономерность уменьшения .
О двух схемах решения задач на кредиты – мой краткий теоретический материал.
Посмотрим с этой точки зрения на «банковские» задачи ЕГЭ-2018.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?
Прежде всего, введем переменные. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
Пусть S – сумма, которую планируется взять в кредит,
Z – общая сумма выплат, Z = 1604 (тыс. рублей),
Х – ежемесячное уменьшение суммы долга, Х = 30 (тысяч рублей),
p=3% – процент, начисляемый банком ежемесячно.
После первого начисления процентов сумма долга равна
После каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в
раза. В нашей задаче k = 1,03.
Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца). Значит, это задача второго типа. А в задачах второго типа мы рисуем следующую схему:
После первого начисления процентов сумма долга равна kS. Затем, после первой выплаты, сумма долга равна S – X, где Х = 30 (тысяч рублей).
Значит, первая выплата равна kS – (S – X) (смотри схему).
Последняя выплата: k ( S – 20 X).
Найдем общую сумму выплат Z:
Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель k, и те, в которых нет k.
Упростим выражения в скобках:
В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется формула для суммы арифметической прогрессии:
В этой задаче мы тоже ее используем:
k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z.
Осталось подставить числовые значения:
S ( 21⋅ 1,03 – 20) – 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.
Отсюда S = 1100 тысяч рублей = 1 100 000 рублей.
Следующая задача относится к тому же типу. Математическая модель та же самая. Только найти нужно другую величину – процент, начисляемый банком. К тому же количество месяцев, на которое взят кредит, неизвестно.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.
S = 1000000 рублей = 1000 (тыс. рублей) – сумма кредита,
Х = 40 (тыс. рублей) – ежемесячное уменьшение суммы долга,
Z = 1378 (тыс. рублей) – общая сумма выплат,
– коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.
Рисуем уже знакомую схему погашения кредита.
Первая выплата: kS – (S – X).
Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).
Последняя выплата: k ( S – n X).
По условию, 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей.
Значит, S – nX = 200. Подставим числовые данные:
1000 – 40 n = 200; тогда n = 20, n + 1 = 21, то есть кредит был взят на 21 месяц. Очень удобно – количество месяцев в этой задаче оказалось таким же, как в предыдущей. Поэтому очень кратко повторим основные моменты решения
Общая сумма выплат Z:
Мы снова использовали ту же формулу для суммы арифметической прогрессии:
По условию, Z = 1378 (тыс. рублей).
Выразим k из формулы S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z:
Подставим данные из условия задачи.
Ответ: r = 3%.
Третья задача из числа «кошмаров» ЕГЭ-2018 по математике. Та же схема!
3.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Тоже задача второго типа – есть информация об уменьшении суммы долга. Точно также будем вести расчеты в тысячах рублей.
S = 300 (тыс. рублей) – сумма кредита,
n = 21 – количество месяцев,
r = 2%;
Х – ежемесячное уменьшение суммы долга,
Z – общая сумма выплат.
Рисуем ту же схему, что и в предыдущей задаче. По условию, 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей.
Значит, S – 20 X = 100. Подставив данные из условия, найдем, что Х = 10.
Точно так же считаем сумму выплат (смотри задачи 1 и 2).
Z = S (21k – 20) – 210 X (k-1).
Подставляем данные из условия: Z = 300 (21 ⋅ 1,02 – 20) – 210 ⋅ 10 ⋅ 0,02 = 384 (тыс. рублей).
Ответ: 384000 рублей.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Разбор задачи №17 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
B вариантах ЕГЭ по математике 2022 года задача с экономическим содержанием, № 15, оценивалась в 2 первичных балла. B прошлые годы она стоила дороже –целых 3 первичных балла.
Зато и набор тем в задании 15 в этом году был сокращенным: только задачи на кредиты. И никаких заданий на оптимизацию.
Напоминаем, что задачи на кредиты бывают двух основных типов. О решении «экономических» задач – читайте в этом разделе.
Первый тип, аннуитет. Кредит погашается равными платежами или есть информация о платежах.
Подробно об этой схеме погашения кредита – здесь.
Bторой тип, схема с дифференцированными платежами. Сумма долга уменьшается равномерно, или же есть информация об изменении суммы долга. B задачах этого типа часто применяются формулы суммы арифметической прогрессии.
Подробно о схеме с дифференцированными платежами здесь.
На этой странице мы разберем задачи по финансовой математик, предложенные на ЕГЭ-2022 в разных регионах России.
1. ЕГЭ-2022, Москва
B июле 2022 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите сумму кредита, если известно, что кредит будет полностью выплачен за 3 года, причем в первый и второй год будет выплачено по 300 тыс. руб., а в третий 417,6 тыс. руб.
Пусть S – сумма кредита,
р – процент банка,
– коэффициент, показывающий во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов,
x=300 тыс. руб. – платеж в первый и второй годы,
– платеж в третий год.
Составим схему погашения кредита.
Ответ: 700 000 рублей
2. Дальний Bосток
B июле 2016 г. планируется взять кредит на 5 лет в размере 1050 тысяч рублей.
– Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– B июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 1050 тысяч рублей,
– выплаты в 2020 и 2021 годах равны по X тысяч рублей,
– к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за 5 лет.
Пусть A = 1050 тыс. рублей – сумма кредита,
B 2017 – 2019 годы долг остается равен 1050 тыс. рублей,
B 2020 и 2021 годы выплаты равны по X тыс. рублей.
Составим таблицу погашения долга.
Поскольку к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью, то
605 ( тыс. рублей).
Общая сумма выплат за 5 лет составит:
Ответ: 1525тыс. рублей.
3. Досрочная волна, Санкт-Петербург
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 18-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 19-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 18-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1209 тысяч рублей?
Обозначим S – сумму кредита,
n = 19 месяцев,
p = 2%,
– коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов,
x – сумма, на которую уменьшается долг с 1-го и по 18-й месяц; x=50тыс. руб.
Общая сумма выплат B = 1209 тыс. рублей.
Найдем сумму арифметической прогрессии.
Ответ: 100 тысяч рублей.
4. Основная волна, Bосток
B июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 3,3 млн руб. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле 2027, 2028 и 2029 годах долг остаётся равен 3,3 млн руб.;
– платежи в 2030 и 2031 годах должны быть равны;
– к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите разницу между первым и последним платежами.
S=3,3 млн. руб. – сумма кредита;
p=20% – процентная ставка;
– коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Рисуем схему погашения кредита:
Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .
Это значит, что
и тогда первая выплата:
Ответ: 1,5 млн. рублей
5. Основная волна, Bосток
B июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2023, 2024 и 2025 годах сумма долга остается равной 1050 тыс. руб.;
– выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
– к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
S=1050 тыс. руб. – сумма кредита;
p=10% – процентная ставка;
– коэффициент, показывающий во сколько раз, увеличивается долг после начисления процентов
Ответ: 500 тысяч рублей
6. Санкт-Петербург, Москва
B июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. руб.;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?
Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. B условии сказано, что кредит будет выплачен сначала двумя равными платежами, а затем третьим платежом выплачивается остаток долга.
S тыс. рублей – сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
p=20% – процент банка,
– коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
X=300 тыс. руб – сумма ежегодного платежа в 2027 и 2028 годах;
Y=417,6 тыс. руб. – платеж в 2029 году
Sk – сумма долга увеличивается в k раз,
Клиент вносит на счет сумму X в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается:
Снова долг увеличивается в k раз
И в третий раз увеличивается долг в k раз
Что же, можно подставить численные данные.
Ответ: 700 тысяч рублей
7. Основная волна, Москва, Санкт-Петербург
B июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 634,5 тыс. руб. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– платёж в 2027 и 2028 годах должен быть по 100 тыс. руб.;
Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
Это задача первого типа. Есть информация о платежах. B условии сказано, что кредит будет выплачен двумя равными платежами и третьим весь остаток долга.
S=634,5 тыс. рублей – сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
p=10% – процент банка,
X=100 тыс. руб – сумма ежегодного платежа в 2027 и 2028 годах;
Y тыс. руб. – платеж в 2029 году
Подставим численные данные.
Сумма всех платежей:
Ответ: 813,5195тыс.рублей = 813519,5 рублей.
Эта задача отличается от предыдущих только вычислительными трудностями. Получается, что задачи неравноценны: в одних вариантах удачные численные данные, в других – нет. Не повезло тем, кому она досталась. Пришлось считать сумму выплат с точностью до 50 копеек.
8. ЕГЭ, резервная волна
15-го января планируется взять кредит в банке на девять месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Это задача на дифференцированные платежи с равномерным погашением долга.
Пусть S тыс. рублей – сумма кредита;
n=9 месяцев – срок кредита;
r% – процент банка,
Мы нашли суммы арифметических прогрессий:
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Финансовая математика на ЕГЭ-2022. Задача 15» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
06.06.2023