Построение середины отрезка AB является одновременно построением серединного перпендикулярa
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 19 марта 2022 года; проверки требуют 12 правок.
Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать ) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В -мерной геометрии аналогом треугольника является -й мерный симплекс.
Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.
Основные свойства элементов треугольника
В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами:
Теорема о сумме углов треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°
Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:
В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.
где — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
Является обобщением теоремы Пифагора.
Теорема о проекциях
Вычисление неизвестных сторон, углов и других характеристик треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.
Глава 6. Окружность
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют или .
Серединный перпендикуляр является ГМТ, равноудаленных от концов отрезка.
Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Для определения центра вписанной в треугольник окружности пользуются свойством биссектрисы угла.
Биссектриса угла является ГМТ, равноудаленных от его сторон.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Градусная мера угла, образованного хордой и касательной к окружности, проведенной через конец хорды, равна половине градусной меры дуги, лежащей в данном плоском угле.
Если один из лучей с вершиной в точке касается окружности в точке , а другой пересекает окружность в точках и , то · = 2. Более коротко: квадрат отрезка касательной к окружности равен произведению отрезка секущей, проведенной из той же точки, на внешнюю ее часть.
Градусная мера угла между хордами равна полусумме градусных мер дуг, принадлежащих данному плоскому углу, и соответствующему вертикальному углу.
Градусная мера угла между секущими равна полуразности дуг, лежащих в данном плоском угле.
Основные элементы треугольника
Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: , а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами , и обозначается как . Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: , , .
Треугольник имеет следующие углы:
Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами ( , , ).
Внешним углом плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине
Внешним углом плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от до .
Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.
По виду наибольшего угла
Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.
Длину медианы опущенной на сторону можно найти по формулам:
для других медиан аналогично.
Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.
Длину высоты , опущенной на сторону , можно найти по формулам:
; для других высот аналогично.
Биссектриса делит пополам угол
Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).
Длину биссектрисы , опущенной на сторону , можно найти по одной из формул:
, где — полупериметр.
.
; здесь — высота.
Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.
Описанная и вписанная окружности
Треугольник АВС и его окружности: вписанная (синяя), описанная (красная) и три вневписанные (зелёные)
Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.
Следующие формулы позволяют вычислить радиусы описанной и вписанной окружностей.
где — площадь треугольника, — его полупериметр.
где — радиусы соответственных вневписанных окружностей
Ещё два полезных соотношения:
где , , — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон , , треугольника,
, , — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин , , треугольника.
Расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:
расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:
Дополнительные статьи о геометрии треугольника можно найти в категориях:
Связь описанной окружности со вписанной окружностью, с ортоцентром и другими точками
Или через стороны треугольника:
где — радиус описанной окружности (см. Окружность Фурмана).
Пусть — произвольный треугольник, — произвольная точка на стороне , — центр окружности, касающейся отрезков и описанной около окружности, — центр окружности, касающейся отрезков и описанной около окружности. Тогда отрезок проходит через точку — центр окружности, вписанной в , и при этом , где .
Например для рисунка формула Карно примет вид: .
где — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон треугольника,
— расстояния от ортоцентра соответственно до вершин треугольника.
Далее используются обозначения
Площадь треугольника связана с его основными элементами следующими соотношениями.
для угла .
Неравенства для площади треугольника
Для площади справедливы неравенства:
где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный).
Теоремы, связанные с описанной окружностью
Равенство по двум сторонам и углу между ними
Равенство по стороне и двум прилежащим углам
Равенство по трем сторонам
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.
Треугольник в неевклидовых геометриях
Свойства треугольника со сторонами , , и углами , , .
Сумма углов (невырожденного) треугольника строго больше .
Любые подобные треугольники равны.
Теорема синусов (здесь и далее сторону сферического треугольника принято измерять не линейной мерой, а величиной опирающегося на неё центрального угла):
На плоскости Лобачевского
Для треугольника со сторонами , , и углами , , .
Сумма углов (невырожденного) треугольника строго меньше .
Как и на сфере, любые подобные треугольники равны.
Связь суммы углов с площадью треугольника
Значение для суммы углов треугольника во всех трёх случаях (евклидова плоскость, сфера, плоскость Лобачевского) является следствием формулы Гаусса — Бонне
В случае треугольника эйлерова характеристика . Углы — это внешние углы треугольника. Значение величины (гауссовой кривизны) — это для евклидовой геометрии, для сферы, для плоскости Лобачевского.
Этот раздел статьи ещё не написан.
Здесь может располагаться Помогите Википедии, написав его. (31 января 2017)
Треугольник в римановой геометрии
Все факты, изложенные в этом разделе, относятся к евклидовой геометрии.
Некоторые замечательные прямые треугольника
Бесконечно удалённая прямая — трилинейная поляра центроида
Построение трилинейной поляры точки
Ось Лемуана — трилинейная поляра точки Лемуана показана красным цветом
Ось внешних биссектрис или антиортовая ось (antiorthic axis) — трилинейная поляра центра вписанной окружности (инцентра) треугольника )
Ортоцентрическая ось (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра
Вписанные и описанные фигуры для треугольника
Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярное преобразование.
Изогональные сопряжения линий треугольника
Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.
При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.
Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры
(первое тождество для тангенсов)
Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).
(второе тождество для тангенсов)
(первое тождество для синусов)
(второе тождество для синусов)
(тождество для косинусов)
(тождество для отношения радиусов)
Замечание. При делении обеих частей второго тождества для тангенсов на произведение получается тождество для котангенсов:
по форме (но не по содержанию) очень похожее на первое тождество для тангенсов.
Метрические соотношения в треугольнике приведены для :
, и .
Для вписано-описанного четырехугольника
Описанная окружность для сферического треугольника — это окружность, содержащая все его вершины.
Формулы площади треугольника в декартовых координатах на плоскости
В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), а координаты двух других вершин есть B = (xB, yB) и C = (xC, yC), то площадь может быть вычислена в виде от абсолютного значения определителя
Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов
Пусть вершины треугольника находятся в точках , , .
Введём вектор площади . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:
Положим , где , , — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом
Площадь треугольника равна .
Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.
Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин
Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через , и и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через , и , тогда получим формулу:
Уравнение описанной окружности можно выразить через декартовы координаты вершин вписанного в неё треугольника. Предположим, что
являются координатами вершин A, B и C. Тогда окружность — геометрическое место точек v = (vx,vy), в декартовой плоскости удовлетворяющих уравнениям
гарантирующих то, что вершины A, B, C, и v находятся на одном и том же расстоянии r от общего центра u окружности. Используя поляризационное тождество, эти уравнения можно свести к условию, что линейное отображение, задаваемое матрицей
имеет ненулевое ядро. Таким образом, описанная окружность может быть описана как множество нулей определителя этой матрицы:
Раскладывая этот определитель по первой строке и вводя обозначения
Единичный вектор перпендикулярный к плоскости, содержащую круг даётся в виде
Следовательно, с учётом радиуса r с центром Pc, точка на окружности P0 единичная нормаль к плоскости, содержащей окружность: , однопараметрическое уравнение окружности с началом в точке P0 и ориентированной в положительном направлении (то есть дающее векторы для правила правой руки) в этом смысле имеет вид:
Трилинейные и барицентрические координаты окружности
Декартовы координаты центра описанной окружности есть
Без ограничения общности это можно выразить в упрощённом виде после перевода вершины A в начало координат декартовой системы координат, то есть, когда
A′ = A − A = (A′x,A′y) = (0,0). В этом случае координаты вершин B′ = B − A и C′ = C − A представляют собой векторы из вершины A′ к этим вершинам.
Заметим, что этот тривиальный перевод возможен для всех треугольников и координат центра описанной окружности треугольника A′B′C′ в следующем виде:
Трилинейные координаты центра
cos α : cos β : cos γ,
Барицентрические координаты центра
Барицентрические координаты центра описанной окружности имеют вид
Вектор центра описанной окружности
Так как декартовы координаты любой точки являются средневзвешенным тех вершин, со своими весами, то барицентрические координаты точки нормируются в сумме единицей, тогда вектор центра описанной окружности, можно записать в виде
Здесь U есть вектор центра описанной окружности, A, B, C являются векторами вершин. Делитель здесь равен 16S 2, где S — площадь треугольника.
Окружность, описанная около треугольника
На рисунке показаны равные углы у треугольника, вписанного в окружность.
Углы, образуемые описанной окружностью со сторонами треугольника, совпадают с углами, которые образуют стороны треугольника, соединяясь друг с другом в вершинах. Сторона, противоположная углу α, дважды касается окружности: один раз на каждом конце; в каждом случае под одинаковым углом α (см. рис.) (аналогично для двух других углов). Это связано с теоремой об отрезке круга, дополнительном данному (the alternate segment theorem,), в которой говорится, что угол между касательной и хордой равен вписанному в окружность углу, опирающемуся на эту хорду.
Треугольные центры на окружности, описанной около треугольника ABC
В этом параграфе вершины углов обозначены, как A, B, C и все координаты являются трилинейными координатами.
Следующие точки на окружности, описанной около треугольника ABC:
Свойства вписанной параболы
Свойства центра описанной окружности треугольника
Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки ОА, ОВ и ОС.
Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС.
Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и,
значит, является описанной около треугольника ABC.
где — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон треугольника;
— расстояния от ортоцентра соответственно до вершин треугольника.
Формулы радиуса описанной окружности
,
где:
— стороны треугольника,
— углы, лежащие против сторон соответственно,
— площадь треугольника.
— полупериметр треугольника, то есть .
Положение центра описанной окружности
Пусть радиус-векторы вершин треугольника,
— радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда
При этом — длины сторон треугольника, противоположных вершинам .
Уравнение описанной окружности
Пусть
координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости,
— координаты центра описанной окружности.
Тогда уравнение описанной окружности
Координаты центра описанной окружности могут быть вычислены
В явном виде координаты центра окружности определяются по формулам:
Вариации по теме
Японская теорема (Japanese theorem)
Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым.
Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° ( радиан).
Можно описать окружность около:
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902.
- Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
Вариации и обобщения
где нижний индекс обозначает сторону, к которой проведён перпендикуляр, — площадь треугольника, а также предполагается, что стороны связаны неравенствами
и Иными словами, наименьшим является серединный перпендикуляр, проведенный к стороне с промежуточной длиной.