Кликните, чтобы добавить в избранные сервисы.
Кликните, чтобы удалить из избранных сервисов.
Площадь параллелограмма
ABCD равна 56. Точка E — середина стороны
CD. Найдите площадь трапеции AECB.
Решение задачи
Проведем высоту
параллелограмма DO, как показано на рисунке. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту
параллелограмма.
Sпараллелограмма=AB*h=56
А площадь
трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Sтрапеции=h*(AB+EC)/2.
EC=DC/2 (по условию задачи).
DC=AB (по
свойству параллелограмма).
Следовательно EC=AB/2.
Тогда Sтрапеции=h*(AB+AB/2)/2 = h*(3*AB/2)/2 = h*3*AB/4=h*AB*3/4 = Sпарал-ма*3/4=56*3/4=42.
Ответ: Sтрапеции=42.
Второй вариант решения задачи
Прислал пользователь Юлия
Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на
странице ‘Про нас’
Площадь параллелограмма ABCD равна 6. Точка E – середина стороны AB. Найдите площадь трапеции EBCD.
Проведем высоту
параллелограмма BO, как показано на рисунке. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту
параллелограмма.
Sпараллелограмма=CD*h=6
А площадь
трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Sтрапеции=h*(EB+CD)/2.
EB=AB/2 (по условию задачи).
AB=CD (по
свойству параллелограмма).
Следовательно EB=CD/2.
Тогда Sтрапеции=h*(CD/2+CD)/2 = h*(3*CD/2)/2 = h*3*CD/4=h*CD*3/4 = Sпарал-ма*3/4=6*3/4=4,5.
Ответ: 4,5
Вариант №2 (Предложил пользователь Alissa)
Проведем отрезки как показано на рисунке.
По третьему признаку равенства треугольников:
Площади треугольников ADE, FED, EFB и CBF равны.
Следовательно, плошадь треугольника AED равна 6/4=1,5
Тогда, площадь трапеции EBCD равна 6-1,5=4,5
Ответ: 4,5
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
Если AD – основание, тогда перпендикуляр BH называется высотой параллелограмма.
Перпендикуляр можно опустить из любой точки прямой BC, например, перпендикуляр из точки C – это CK. Длины высот равны по свойству параллелограмма BCKH (у этого четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, значит, он параллелограмм, а значит, BH=CK).
Сформулируем теорему о нахождении площади параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
S = AD·BH.
Проведем доказательство этой теоремы.
Треугольники АВН и DCK равны, так как: 1) они прямоугольные, 2) они имеют равные гипотенузы: АВ = DC по свойству параллелограмма, 3) их острые углы равны: ∠ВАН = 180°-∠CDA = ∠СDK.
Площади параллелограмма АВСD и прямоугольника НВСК равны, так как они состоят из суммы общего четырехугольника HBCD и равных треугольников.
Площадь прямоугольника HBCK равна произведению длины на ширину: S = BC·BH = AD·BH.
Следовательно, площадь параллелограмма ABCD также равна AD·BH, что и требовалось доказать.
Итак, площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Если за основание взять другую сторону параллелограмма, а именно сторону АВ, перпендикуляр DK будет высотой параллелограмма, проведенной к основанию.
Тогда формула площади запишется так: S = DK·AB.
Дано: ABCD – параллелограмм, ВК – высота, ∠А = 30°, АВ = 6 см, ВС = 8 см. Найти площадь.
Решение: по свойствам параллелограмма сторона ВС = AD = 8 см.
Треугольник АВК прямоугольный, ∠А = 30° по условию, по свойству прямоугольного треугольника ВК = АВ:2 = 6:2 = 3 см.
Найдем площадь: S = ВК·AD = 3·8 = 24 см2
Ответ: 24 см2
Размещено 3 года назад по предмету
Математика
от DenS113
Не тот ответ на вопрос, который вам нужен?
Найди верный ответ
Самые новые вопросы
Математика – 3 года назад
Сколько здесь прямоугольников
История – 3 года назад
Какое управление было в древнейшем риме? как звали первого и последнего из царей рима?
Литература – 3 года назад
Уроки французского ответе на вопрос : расскажите о герое по следующему примерному плану: 1.почему мальчик оказался в райцентре ? 2.как он чувствовал себя на новом месте? 3.почему он не убежал в деревню? 4.какие отношения сложились у него с товарищами? 5.почему он ввязался в игру за деньги? 6.как характеризуют его отношения с учительницей ? ответе на эти вопросы пожалуйста ! сочините сочинение пожалуйста
Русский язык – 3 года назад
Помогите решить тест по русскому языку тест по русскому языку «местоимение. разряды местоимений» для 6 класса
1. укажите личное местоимение:
1) некто
2) вас
3) ни с кем
4) собой
2. укажите относительное местоимение:
1) кто-либо
2) некоторый
3) кто
4) нам
3. укажите вопросительное местоимение:
1) кем-нибудь
2) кем
3) себе
4) никакой
4. укажите определительное местоимение:
1) наш
2) который
3) некий
4) каждый
5. укажите возвратное местоимение:
1) свой
2) чей
3) сам
4) себя
6. найдите указательное местоимение:
1) твой
2) какой
3) тот
4) их
7. найдите притяжательное местоимение:
1) самый
2) моего
3) иной
4) ничей
8. укажите неопределённое местоимение:
1) весь
2) какой-нибудь
3) любой
4) этот
9. укажите вопросительное местоимение:
1) сколько
2) кое-что
3) она
4) нами
10. в каком варианте ответа выделенное слово является притяжательным местоимением?
1) увидел их
2) её нет дома
3) её тетрадь
4) их не спросили
Переделай союзное предложение в предложение с бессоюзной связью.
1. океан с гулом ходил за стеной чёрными горами, и вьюга крепко свистала в отяжелевших снастях, а пароход весь дрожал.
2. множество темноватых тучек, с неясно обрисованными краями, расползались по бледно-голубому небу, а довольно крепкий ветер мчался сухой непрерывной струёй, не разгоняя зноя
3. поезд ушёл быстро, и его огни скоро исчезли, а через минуту уже не было слышно шума
помогите прошу!перепиши предложения, расставляя недостающие знаки препинания. объясни, что соединяет союз и. если в предложении один союз и, то во втором выпадающем списке отметь «прочерк».пример:«я шёл пешком и,/поражённый прелестью природы/, часто останавливался».союз и соединяет однородные члены.ночь уже ложилась на горы (1) и туман сырой (2) и холодный начал бродить по ущельям.союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2) однородные членычасти сложного предложения—.поэт — трубач зовущий войско в битву (1) и прежде всех идущий в битву сам (ю. янонис).союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2)
Физика – 3 года назад
Вокруг прямого проводника с током (смотри рисунок) существует магнитное поле. определи направление линий этого магнитного поля в точках a и b.обрати внимание, что точки a и b находятся с разных сторон от проводника (точка a — снизу, а точка b — сверху). рисунок ниже выбери и отметь правильный ответ среди предложенных.1. в точке a — «от нас», в точке b — «к нам» 2. в точке a — «к нам», в точке b — «от нас» 3. в обеих точках «от нас»4. в обеих точках «к нам»контрольная работа по физике.прошу,не наугад важно
Формулировка, анализ и доказательство теоремы о площади треугольника через синус
Сформулируем, проанализируем и докажем теорему о площади треугольника.
Теорема звучит так:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Запишем данную теорему в стандартных для треугольника обозначениях.
Рис. 1. Площадь треугольника
Формула площади треугольника (рис. 1) имеет такой вид:
Докажем данную теорему.
Доказательство теоремы о площади треугольника через синус координатным методом
Любой треугольник АВС имеет не менее двух острых углов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов. Пусть острыми являются угол
. Тогда высота АН=
находится внутри треугольника АВС, потому что иначе сумма углов в треугольнике
(рис. 2) превышала бы 180 градусов (угол
прямой, так как
– высота; а угол при вершине В тупой, так как угол
Рис. 2. Иллюстрация к теореме
Получили два прямоугольных треугольника общим катетом АН=
Подставим данное значение в формулу площади треугольника:
Мы доказали две формулы из трёх через острые углы
. Если угол α острый, доказательство будет аналогичное. Если угол α будет прямым, доказательство очевидное (
Рис. 3. Иллюстрация к теореме
. В нём угол
. Чтобы найти катет
Подставляем в формулу для площади треугольника
) значение катета
Мы доказали и третью формулу. Следовательно, доказали теорему.
Также эту теорему можно доказать координатным методом (рис. 4).
Дано: треугольник АВС,
Рис. 4. Иллюстрация к теореме
Координаты вершины А определяются через длину АС=b и угол γ. В предыдущих уроках мы выяснили, что координаты точки А будут
– это высота
Подставляем в формулу площади треугольника:
Формула доказана независимо от величины углов треугольника – за начало координат была взята точка С. Остальные 2 формулы получаются аналогично, если за начало координат взять точку А или В.
Полученные формулы можно использовать во многих задачах.
Задача 1 – нахождение площади треугольника
Дано: треугольник АВС, АВ=
см, АС=4 см, ⦟А=
Найти: площадь треугольника АВС
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Для решения данной задачи воспользуемся ранее доказанной теоремой.
Подставляем известные значения:
Задача 2-доказательство формулы площади параллелограмма
Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Для доказательства воспользуемся свойствами параллелограмма. Диагональ BD рассекает параллелограмм на два треугольника.
Согласно теореме о площади треугольника
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Значит, площадь параллелограмма равна
Можно рассмотреть и угол В. Он равен
. Поэтому площадь параллелограмма можно рассчитать через
Формула для площади параллелограмма доказана.
Задача 3-сравнение площадей треугольника
Треугольники ADB и ADC параллелограмма ABCD . Доказать, что площади этих треугольников равны.
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Площади первого и второго треугольника есть произведение половины основания на высоту (рис. 7). Основание у них одинаковое (AD), высота, опущенное на это основание, также одинаковая, следовательно:
Задача 4-нахождение стороны треугольника через формулу площади
Найти: сторону АВ (рис. 8)
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Найдём сторону АВ через формулу площади треугольника
Подставляем известные величины:
Задача 5-доказательство формулы площади параллелограмма через диагонали (первый способ)
Докажите, что площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними.
Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 9)
Доказательство: первый способ:
Учтём, что угол α и угол
Площадь треугольника АОВ (согласно теореме о площади треугольника):
Площадь треугольника ВОС:
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Так как синусы равны, то и
. Учитывая, что
, мы доказали, что диагонали параллелограмма делят его на 4 равновеликих треугольника.
Поэтому для нахождения площади параллелограмма достаточно найти площадь одного из треугольников и умножить на 4.
Задача 5-доказательство формулы площади параллелограмма через диагонали (второй способ)
Рис. 10. Иллюстрация к задаче
Из точки С диагонали АС проводим прямую CР, параллельную другой диагонали (BD). Получаем параллелограмм BDPC, треугольник ABD равновелик треугольнику DCP, так как
Основания и высота у них одинаковы.
Таким образом, отнимая от параллелограмма ABCD треугольник ABD и прибавляя треугольник DCP, получаем треугольник АСР с такой же площадью, как у исходного параллелограмма. И площадь этого треугольника равна:
Так как СР
Задача 6-нахождение площади треугольника
, высота ВН=h
Найти: площадь треугольника АВС (рис. 11)
Рис. 11. Иллюстрация к задаче
Выражаем АВ и ВС через h и другие известные величины. АВ является
гипотенузой в прямоугольном треугольнике АВН, поэтому:
Аналогично находим ВС (
Подставляем данные значения в формулу площади треугольника:
Подведение итогов урока
На данном уроке мы доказали теорему о площади треугольника через синус его
угла и решили задачи по данной теме.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
По материалам открытого банка ФИПИ.
Из спецификации к 19 номеру:
Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения.
Более 100 задач с ответами: z19.docx
1.Какое из следующих утверждений верно?
1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов. 2) Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой. 3) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
2. Какие из следующих утверждений верны?
1) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам. 2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. 3) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов.
3. Какие из следующих утверждений верны?
1) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую. 2) Все равносторонние треугольники подобны. 3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
4. Какое из следующих утверждений верно?
1) Все равнобедренные треугольники подобны. 2) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. 3) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
5. Какие из следующих утверждений верны?
1) Все диаметры окружности равны между собой. 2) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом. 3) Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
6. Какое из следующих утверждений верно?
1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. 2) Основания равнобедренной трапеции равны. 3) Все высоты равностороннего треугольника равны.
7. Какие из следующих утверждений верны? 1) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. 2) Все диаметры окружности равны между собой. 3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов
8.Какое из следующих утверждений верно?
1) Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон. 2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. 3) Основания любой трапеции параллельны.
9.Какое из следующих утверждений верно?
1) Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой. 2) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон. 3)Все хорды одной окружности равны между собой.
10.Какое из следующих утверждений верно?
1) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 2) Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. 3) Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.
11.Какие из следующих утверждений верны?
1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. 2) Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена. 3) Все диаметры окружности равны между собой.
12.Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагонали параллелограмма равны. 2) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. 3) Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
13.Какое из следующих утверждений верно?
1) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности. 2) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам. 3) Все квадраты имеют равные площади.
14.Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. 2) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету. 3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
15.Какое из следующих утверждений верно?
1) Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2) Все диаметры окружности равны между собой. 3) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
16.Какие из следующих утверждений верны?
1) Все высоты равностороннего треугольника равны. 2) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку. 3) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
17.Какие из следующих утверждений верны?
1) Любые два диаметра окружности пересекаются. 2) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны. 3) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
18.Какое из следующих утверждений верно?
1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. 2) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам. 3) Диагонали ромба равны.
19.Какие из следующих утверждений верны?
1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. 2) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. 3) Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
20.Какое из следующих утверждений верно?
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой. 2) Все углы ромба равны. 3) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.
21.Какое из следующих утверждений верно?
1) Смежные углы всегда равны. 2) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности. 3) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
22.Какое из следующих утверждений верно?
1) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов. 2) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. 3) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника,то такие четырехугольники равны
23.Какое из следующих утверждений верно?
1) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом. 2) Тангенс любого острого угла меньше единицы. 3) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
24.Какое из следующих утверждений верно?
1) Тангенс любого острого угла меньше единицы. 2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3) В параллелограмме есть два равных угла.
25.Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагонали равнобедренной трапеции равны. 2) Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3) Тангенс любого острого угла меньше единицы.
26.Какие из следующих утверждений верны?
1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. 2) Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник. 3) Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
27.Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагонали ромба равны. 2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 3) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
28.Какое из следующих утверждений верно?
1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. 2) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. 3) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
29.Какое из следующих утверждений верно?
1) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям. 2) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
30.Какие из следующих утверждений верны?
1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. 2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённомув точку касания.
31.Какое из следующих утверждений верно?
1) Все углы ромба равны. 2) Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. 3) Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
32.Какое из следующих утверждений верно?
1) Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам. 2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.
33.Какие из следующих утверждений верны?
1) Все хорды одной окружности равны между собой. 2) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. 3) Все углы прямоугольника равны.
34.Какое из следующих утверждений верно?
1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. 2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3) В любой четырёхугольник можно вписать окружность
35.Какое из следующих утверждений верно?
1) Боковые стороны любой трапеции равны. 2) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности. 3) Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
36.Какие из следующих утверждений верны?
1) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету. 2) Диагонали ромба перпендикулярны. 3) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
37.Какое из следующих утверждений верно?
1) Две различные прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. 2) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом. 3) Все углы ромба равны.
38.Какое из следующих утверждений верно?
1) Вертикальные углы равны. 2) Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны. 3) Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
39.Какое из следующих утверждений верно?
1) Боковые стороны любой трапеции равны. 2) Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. 3) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
40.Какое из следующих утверждений верно?
1) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей. 2) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. 3) Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
41.Какое из следующих утверждений верно?
1) В параллелограмме есть два равных угла. 2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 3) Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.
42.Какие из следующих утверждений верны?
1) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую. 2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаютсяв точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника. 3) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
43.Какое из следующих утверждений верно?
1) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. 2) Диагонали ромба равны. 3) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
44. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. 3) Любые два равносторонних треугольника подобны.
45.Какие из следующих утверждений верны?
1) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. 2) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку. 3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
46.Какое из следующих утверждений верно?
1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. 2) Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. 3) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.
47.Какие из следующих утверждений верны?
1) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. 2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 3) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
48.Какое из следующих утверждений верно?
1) Все квадраты имеют равные площади. 2) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей. 3) В остроугольном треугольнике все углы острые.
49.Какое из следующих утверждений верно?
1) Тангенс любого острого угла меньше единицы. 2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
50.Какое из следующих утверждений верно?
1) Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту. 2) Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный. 3) Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
51.Какие из следующих утверждений верны?
1) Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла. 2) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом. 3) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
52. Какое из следующих утверждений верно?
1) Любой параллелограмм можно вписать в окружность. 2) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания. 3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
53. Какое из следующих утверждений верно?
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей. 3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
54. Какие из следующих утверждений верны?
1) Все диаметры окружности равны между собой. 2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу. 3) Любые два равносторонних треугольника подобны.
55. Какие из следующих утверждений верны?
1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. 2) Боковые стороны любой трапеции равны. 3) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
56. Какие из следующих утверждений верны?
1) Смежные углы всегда равны. 2) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон. 3) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
57.Какие из следующих утверждений верны?
1) Существует квадрат, который не является прямоугольником. 2) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом. 3) Все диаметры окружности равны между собой.
58. Какие из следующих утверждений верны?
1) В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла. 2) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания. 3) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
59.Какое из следующих утверждений верно?
1) Все углы ромба равны. 2) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны. 3) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
60.Какое из следующих утверждений верно?
1) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. 2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
61. Какое из следующих утверждений верно?
1) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. 2) Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника. 3) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
62. Какое из следующих утверждений верно?
1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. 2) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую. 3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
63.Какие из следующих утверждений верны?
1) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам. 2) Боковые стороны любой трапеции равны. 3) Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.
64. Какое из следующих утверждений верно?
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой. 2) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны. 3) Смежные углы всегда равны.
65. Какие из следующих утверждений верны?
1) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. 2) Все квадраты имеют равные площади. 3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
66. Какое из следующих утверждений верно?
1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. 2) В параллелограмме есть два равных угла. 3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
67. Какие из следующих утверждений верны?
1) Любые два равносторонних треугольника подобны. 2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 3) Все диаметры окружности равны между собой.
68. Какое из следующих утверждений верно?
1) Боковые стороны любой трапеции равны. 2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаютсяв точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника. 3) Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
69. Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. 2) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей. 3) Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.
70. Какое из следующих утверждений верно?
1) Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. 2) Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия
Другие задачи из этого раздела
Сторона равностороннего треугольника равна 18√. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Задача №F609D2
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=24, BD=28, AB=6. Найдите DO.
Задача №44F7E4
Сторона равностороннего треугольника равна 2√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Задача №3DEC64
Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.
Задача №14BDE8
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.
Площади четырёхугольников
Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.
(S = ab ullet sinalpha)
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (т.к. они являются высотами друг другу)
(S = ab)
Площадь прямоугольника равна половине квадрата его диагонали на синус угла между диагоналями.
Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту (при чем для любой стороны это выражение будет одинаковым, так как стороны равны).
(S = ah)
Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла между сторонами.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Площадь квадрата равна одной второй квадрата его диагонали.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
(S = mh)
Площадь трапеции равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними.
ЕГЭ Математика
Тема 3: Геометрия
Параллелограммы
Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны.
(AB = CD, AD = BC)
1. Противоположные стороны равны:
(AB = CD)
(AD = BC)
2. Противоположные углы равны:
(angle A = angle C)
(angle B = angle D)
3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Это вытекает из параллельности противоположных сторон, так как указанные углы являются односторонними:
4. Из параллельности сторон вытекает равенство частей углов. Например:
(angle DAC = angle BCA)
(angle CBD = angle BDA)
5. Две диагонали делят параллелограмм на две пары равных (по стороне и двум углам) треугольников:
6. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:
(AO = OC)
(BO = OD)
Также параллелограмм обладает необычными свойствами, связанные с биссектрисами:
Пусть AL и СК – биссектрисы противоположных углов, а ВМ – биссектриса смежного с ними угла.
1. Биссектрисы противоположных углов параллельны:
2. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны:
(AL, CKot BM)
3. Биссектриса параллелограмма отсекает от него два равных угла. Например:
Для того, чтобы доказать, что фигура действительно является параллелограммом, нужно знать, какими свойствами мы можем пользоваться. Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:
2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:
3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:
(BC = AD)
4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:
(angle DAB = angle BCD)
(angle ABC = angle CDA)
5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:
6. Сумма углов четырехугольника, прилегающих к любой стороне, равна 180°:
1. Через высоту и сторону
2. Через две стороны и угол между ними
3. Через диагонали и угол между ними
Информация
Что ты хочешь узнать?
Физкультура и спорт
Сайт znanija.org не имеет отношения к другим сайтам и не является официальным сайтом компании.
Площади фигур. Площадь параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, полностью принадлежащей
одной плоскости. Если фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, то площадь
будет равна числу этих квадратов.
Параллелограмм это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и
лежат на параллельных прямых.
Воспользуйтесь нашим калькулятором для расчета площади параллелограмма.
Для расчета площади других фигур воспользуйтесь этим калькулятором: площади фигур.
Формулы для определения площади параллелограмма:
1. Площадь параллелограмма по длине стороны и высоте.
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону
2. Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
3. Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними.
Параллелограмм ― это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.
Формулы площади параллелограмма
Задача №1. Стороны параллелограмма ABCD равняются 12 см и 20 см, угол меду ними составляет 30°. Найдите площадь параллелограмма.
Ромб ― это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Квадрат – прямоугольник, у которого равны все стороны. Он сочетает в себе свойства и ромба, и прямоугольника. Любой квадрат является ромбом и прямоугольником, но не любой ромб или прямоугольник является квадратом.
Заметили ошибку?
Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.
В трапеции ABCD AD=8, BC=5, а её площадь равна 13. Найдите площадь треугольника ABC.
Задача №064B83
Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 41.
Задача №394240
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 24√. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Задача №AAF6DE
На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 4 м?
Задача №15287E
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC=40.