Теорема
Для доказательства данной теоремы нам необходимо доказать, что углы данных треугольников соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника
По теореме о сумме углов треугольника
С = 1800 и
С1 = 1800, другими словами,
С = 1800 –
С1 = 1800 –
В1, и, значит,
Докажем, что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А1В1С1. Так как
Итак, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А1В1С1. Теорема доказана.
Определение подобных треугольников
Отношение площадей подобных треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Средняя линия треугольника
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Практические приложения подобия треугольников
О подобии произвольных фигур
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60
Правило встречается в следующих упражнениях
Задание 571,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 580,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 581,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 690,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 14,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 850,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 853,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 854,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 861,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1224,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Математика
Тема 3: Подобные треугольники
Первый признак подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников.
Докажем подобие треугольников по двум углам.
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Дано: ΔABC, ΔA1B1C1,
∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1,
При решении задач чаще других используется именно 1-й признак подобия треугольников.
Задача 1. Доказать, что любые два равнобедренных треугольника, у которых углы между равными сторонами равны, являются подобными.
Решение. Пусть даны равнобедренные треугольники ABC и A1B1C1 с ∠A = ∠A1 (углы А и А1 лежат против оснований ВС и В1С1 соответственно). Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠B = ∠C = (180−∠A):2. Так как треугольник A1B1C1 равнобедренный, то ∠B1 = ∠C1 = (180−A1):2 = (180−∠A):2 = ∠B = ∠C.
То есть ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1. По первому признаку подобия получаем, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны.
∠А = ∠В
СО:DO = 7:2
AC = 21 см
Решение: рассмотрим ∆АОС и ∆ВОD.
Так как ∠А = ∠В (по условию задачи), ∠АОС = ∠ВОD (как вертикальные углы), то по первому признаку подобия треугольников ∆АОС ~ ∆ВОD.
Следовательно, сходственные стороны треугольников пропорциональны:
АО:ВО = АС:BD = CO:DO
Подставив данные, получим 21:BD = 7:2
Ответ: BD = 6см.
Заметили ошибку?
Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.
В любом треугольнике диагонали взаимно
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) У равностороннего треугольника есть центр симметрии.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны» — верно, по первому признаку подобия треугольников. Заметим, что в признаке подобия треугольников говорится о двух углах, однако если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третий угол одного треугольника равен третьему углу другого.
2) «В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны» — неверно; верным будет утверждение: «В любом ромбе диагонали взаимно перпендикулярны».
3) «У равностороннего треугольника есть центр симметрии» — неверно, у равностороннего треугольника есть оси симметрии.
Какие из следующих утверждения.
Какие из следующих утверждения верны?
1) Любые два равносторонних треугольника подобны. 2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 3) Все диаметры окружности равны между собой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
В любом равностороннем треугольнике углы равны по 60 градусов. Значит, любые два равносторонних треугольника подобны по двум углам. Утверждение верное.
Только если прямоугольник является квадратом, диагонали в нём взаимно перпендикулярны. Утверждение неверное.
Какие из следующих утверждений верны?
Какие из следующих утверждений верны?
1. Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого
2. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3. У равностороннего треугольника есть центр симметрии.
1. Верно (но достаточно того, что два угла равны соответственно двум углам другого треугольника, то такте треугольники подобны)
Ложь (не во всяком)
Нет (точка пересечения медиан считается осью симметрии, но не центром).
Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника то такие треугольники равны ВЕРНО ЛИ ЭТО УТВЕРЖДЕНИЕ?
Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника то такие треугольники равны ВЕРНО ЛИ ЭТО УТВЕРЖДЕНИЕ?
Какое из следующих утверждений верно?
Какое из следующих утверждений верно?
1. Все равнобедренные треугольники равны.
2. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
3. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Какие утверждения верны 1?
Какие утверждения верны 1.
Существует прямоугольник диагонали которого перпендекулярны 2.
Через точку не лежащую на данной прямой можно провести прямую параллельную этой прямой 3.
Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника то такие треугольники равны 4.
Вертикальные углы равны 5.
Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой 6.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника то такие треугольники подобны.
Какие следующие утверждения верны?
Какие следующие утверждения верны?
1) В равнобдренном треугольнике все углы равны
2) Внешний угол треугольника равен сумме любых двух его внутренних углов 3)Бессектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки , пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
4)Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника , то такие треугольники равны.
Какое утверждение не является верным1)любые два равносторонних треугольныка подобны 2)отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия?
Какое утверждение не является верным
1)любые два равносторонних треугольныка подобны 2)отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
3)если острый угол одного прямоугольного греугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
4) если два треугольника подобны, то они равны.
5) средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный исходному.
6)отношение площадей двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
7)любые два прямоугольных треугольника подобны 8)если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подрбны?
1. Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Сумма смежных углов равна 180°.
3. Любая медиана равнобедренного треугольника является его биссектрисой.
1)любые два равносторонних треугольника подобны.
2) в любом треугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, занятых и других дополнительных символов.
1) любые два равносторонних треугольника подобны?
Укажите номера верных утверждений : 1) любые два равносторонних треугольника подобны.
2) прямоугольном треугольнике все углы равны.
3)диагонали параллелограмма перпендикулярны.
4) площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон .
1. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
3. Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Найдите верные утверждения если1 если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника то такие треугольники обязательно равно2 сумма двух острых углов прямоугольного ?
Найдите верные утверждения если
1 если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника то такие треугольники обязательно равно
2 сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равны 100и нолик какой то сверху после сто не знаю как поставить
3 в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.
На странице вопроса Какие из следующих утверждений верны? из категории Геометрия вы найдете ответ для уровня учащихся 5 – 9 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°. ∠ADC = 180° – ∠BCD = 180° – 120° = 60° Проведем две высоты АК и СН. ΔDCH : ∠DHC = 90°, ∠HDC = 60°, ⇒ ∠HCD = 30°. HD = CD / 2 = 25 / 2 как катет, лежащий напротив угла в 30°. По теорем..
А + (а : 2) = 90 2а + а = 180 а = 60 а : 2 = 30.
1 задание 1) + 2) – 3) – 4) + 5) + 6) – 7) + 8) – 2 – 3 задание На фото.
Решение – в приложении.
Сумма внутреннего и внешнего углов равна 180° Находим внутренний угол при вершине b (т. Е. ∠abc) : 180 – 140 = 40° Поскольку треугольник abc – равнобедренный, следовательно углы при основании равны, следовательно∠abc = ∠acb = 40°.
Tgα = ВД(высоты) / 0, 5 * АС⇒10 / 7 = ВД / 14 ВД(высота) = 10 * 14 / 7 = 20⇒Sавс = 1 / 2 * 28 * 20 = 280.
1) 6 : 2 = 3 см – середина АВ и середина СD , так как они равны. 6 см + 3 см + 3 см = 12 см Ответ : 12 см 2) Не знаю как решать , извини. 3) Возьмем АВ за х AM = MB = x 2 Тогда MN = BN = MB 2 = x 4 AM : MN = x 2 : x 4 = 2 : 1 BN : AM = x ..
SΔ = (a * ha) / 2 SΔ = (14 * 6) / 2 = 42 см².
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) У равностороннего треугольника есть центр симметрии.
Решение задачи
Рассмотрим каждое утверждение.
1) “Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны”? это утверждение верно по
первому признаку подобия.
2) “В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны”, это утверждение неверно. Из прямоугольников, только у квадрата диагонали перпендикулярны (
свойство квадрата, которого нет у прямоугольников).
3) “У равностороннего треугольника есть
центр симметрии”, это утверждение неверно. Есть три
оси симметрии, совпадающих с любой из
высот
равностороннего треугольника.
Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на
странице ‘Про нас’
Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=12, CP=15, DP=25. Найдите AP.
Задача №012266
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinA=4/5, AC=9. Найдите AB.
Задача №826365
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB=26.
Задача №8ACCF9
Точка О – центр окружности, /AOB=84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).
Задача №6DE641
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=8, DK=24, BC=18. Найдите AD.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
3) Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Рассмотрим каждое утверждение.
1) “Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны”? это утверждение верно по
первому признаку подобия.
2)”В любой четырёхугольник можно вписать окружность”, это утверждение неверно, т.к. есть
определенные условия, при которых можно окружность вписать в четырехугольник.
3) “Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам”, это утверждение верно по свойствам описанной окружности.
Центральный угол AOB опирается на хорду АВ длиной 6. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности.
Задача №08E95E
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Задача №84B6C0
В треугольнике АВС углы А и С равны 30° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Задача №FF9799
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 8 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Задача №7246EA
Сторона ромба равна 28, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит угол ВАС пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 3.
Задача №9460EF
Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.
Задача №060EC8
В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC, AD=CD, ∠B=100° , ∠D=104°. Найдите угол A . Ответ дайте в градусах.
Задача №E5A864
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 66° и 84°.
Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.
Задача №6C9EF4
В треугольнике ABC угол C равен 135°, AB=14√. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2 треугольника, АВС и А1В1С1, AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1
Требуется доказать, что треугольники АСВ и А1В1С1 равны.
Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А1, точка В с точкой В1, а точки С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.
Три возможных случая при наложении треугольников
Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.
Луч С1С накладывается на одну из сторон данного угла.
Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.
Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев
Первый случай
Доказательство:
Рассмотрим треугольники В1С1С и АС1С.
По условию стороны АС=А1С1, ВС=В1С1, следовательно, треугольники В1С1С и А1С1С – равнобедренные.Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем:
∠АСС1 = ∠А1С1С,
∠ВСС1 = ∠В1С1С.
Поскольку
∠ACB = ∠ACC1 + ∠BCC1,
∠AC1B = ∠AC1C + ∠BC1C,
то и углы AСB и AС1B равны. Так как ВС = В1С1, АС = А1С1 и ∠AСB = ∠AС1B, можно утверждать, что треугольники АВС и А1В1С1 равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Что и требовалось доказать
Луч С1С накладывается на одну из сторон этого угла.
Доказательство:
Рассмотрим треугольник САС1.
Согласно условию теоремы, в треугольнике САС1 стороны АС и А1С1 равны, следовательно, сам треугольник САС1 – равнобедренный.По аналогии с доказательством первого случая (пункты 3-5): так как треугольник САС1 равнобедренный, то углы при его основании (СС1) равны, то есть ∠С = ∠С1 . Отсюда следует, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.
Доказательство:
Рассмотрим полученный треугольник ВСС1.
По условию, стороны В1С1 и ВС – равны, следовательно, треугольник В1С1С – равнобедренный, а значит, что углы BСD и BС1D равны.Рассмотрим треугольник АСС1.Согласно условию, стороны АС и А1С1 – равны, отсюда следует, что треугольник АСС1 – равнобедренный и углы при его основании равны (∠DC1A = ∠DCA).∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC1A = ∠DC1B + ∠AC1B.Поскольку ∠DC1A = ∠DCA и ∠BСD = ∠BС1D, то отсюда следует, что и углы ∠АСВ и ∠АС1В равны.Исходя из вышенаписанного можно сделать вывод, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.
1) Даны: прямоугольный △ABC, ∠C = 90°, AC = 6 см, ВС = 8 см.Найти: АВ.За теоремой Пифагора:AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 (см).AB = Sqrt100 = 10 (см).Ответ: АВ = 10 см.2) Даны: равнобедренная трапеция ABCD, AD = 14 см, BC = 6 см, СD = 5 см.Найти: S трапеции ABCD.Из вершины С проводим высоту СН. Образовавшийся треугольник СНВ – прямоугольный (∠Н = 90°). За свойством равнобедренной трапеции: НD = 1/2 * BC = 1/2 * 6 = 3 (см). За теоремой Пифагора: CD^2 = HD^2 + CH^2. Отсюда: СH^2 = CD^2 – HD^2 = 5^2 – 3^2 = 25 – 9 = 16 (см). СH = Sqrt16 = 4 (см). Теперь находим площадь равнобедренной трапеции ABCD по формуле: S ABCD = (BC + AD)/2 * CH = (6 + 14)/2 * 4 = 20/2 * 4 = 10 * 4 = 40 (см^2). Ответ: S ABCD = 40 cм^2.