Треугольники АОВ, ВОС и АОС равны по трём сторонам, так как АВ=ВС=АС и АО=ВО=СО=3.Рассмотрим треугольник АОН. Он прямоугольный, так как ВН – высота. Угол В=А+С=60 градусов. Значит, углы ВАО=ОАС=30 градусов. Известно, что в прямоугольном треугольнике, в котором один из углов равен 30 градусам, катет, противолежащий ему, равен половине гипотенузы. В нашем случае гипотенуза совпадает с радиусом и равна 3, то есть АО=3, соответственно, ОН=3/2=1,5Но ведь ВО=3,В таком случае, высота ВН=ВО+ОН=3+1,5=4,5.Ответ:Высота ВН+4,5
Диагонали квадрата пересекаются и образуют 4 равных между собой, равнобедренных и прямоугольных треугольника, следовательно угол АОD равен 90°
Получился прямоугольник с длиной 40 см и шириной 30 см.
Диагональ можно найти, применив теорему Пифагора.
Но я считать не буду. Этот треугольник имеет катеты, отношение которых 3:4, поэтому он относится к “египетским” треугольникам, и гипотенуза его ( диагональ прямоугольника) пропорциональна этому отношению 3:4:5.
A) AB : BE = AB : 3AB = 1/3б) AD : CE = 3AB : 2AB = 3/2в) BE : AE = 3AB : 4AB = 3/4
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Радиус описанной окружности равен 4 найти гипотенузу
Задание 6. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза AB всегда будет лежать на диаметре окружности, следовательно, она равна двум радиусам описанной окружности:
Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 4 см ?
Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 4 см ?
А)16 см Б)4 см В)8см Г)12см.
Если радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 6, а гипотенуза равна 30, то площадь треугольника равна?
Если радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 6, а гипотенуза равна 30, то площадь треугольника равна.
Чему равен радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника с катетами 30см и 40см?
Чему равен радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника с катетами 30см и 40см.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна h радиус вписанной окружности равен г?
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна h радиус вписанной окружности равен г.
В равнобедренный треугольник с углом при основании вписана окружность радиуса r?
В равнобедренный треугольник с углом при основании вписана окружность радиуса r.
Радиус описанной около треугольника окружности равен :
Периметр треугольника равен 24см?
Периметр треугольника равен 24см.
Можно ли около этого треугольника описать окружность радиусом 5 см?
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4 ?
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4 .
Помогите)?
Чему равен радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если его гипотенуза равна 25 см, а один из катетов на 5 см больше другого?
Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 11?
Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 11.
Периметр правильного шестиугольника описанного около окружности равен 12 см чему равен радиус этой окружности?
Периметр правильного шестиугольника описанного около окружности равен 12 см чему равен радиус этой окружности.
Радиус окружности, описанный около правильного треугольника равен 8 см?
Радиус окружности, описанный около правильного треугольника равен 8 см.
Найдите радиус окружности вписанной в треугольник.
На этой странице находится ответ на вопрос Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 4 см ?, из категории Математика, соответствующий программе для 5 – 9 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Математика. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.
0, 25 ч = 1 / 4 ч = 15 мин 15 мин * 0, 006 км / мин = 0, 09 км – путь черепахи 0, 09 км : 10 мин = 0, 009 км / мин Ответ : скорость черепахи на обратном пути была 0, 009 км / мин .
Следующие задачи на эту тему предлагает открытый банк заданий ФИПИ к ОГЭ по математике (раздел геометрия). Любое из них может вам попасться на ОГЭ в этом году.
Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2√. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение:Если провести радиус перпендикулярно к любой стороне, то получим прямоугольный треугольник, в котором можно найти гипотенузу. Причем эта гипотенузе будет равна половине диагонали, которую нам надо найти. Запишем равенство, используя теорему Пифагорах2=(2√)2+(2√)2 = 4*2 + 4*2 =16х = 42х = 8Диагональ делит квадрат на 2 равных прямоугольных равнобедренных треугольника.Диаметр окружности равен катету треугольника и равен удвоенному радиусуd = 2 * 2√ = 4√По теореме Пифагора можем найти гипотенузу,х2=(4√)2+(4√)2 = 16*2 + 16*2 =64х = 8
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 4√. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение:Если провести радиус перпендикулярно к любой стороне, то получим прямоугольный треугольник, в котором можно найти гипотенузу. Причем эта гипотенузе будет равна половине диагонали, которую нам надо найти. Запишем равенство, используя теорему Пифагора
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 6√. Найдите диагональ этого квадрата.
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 8√. Найдите диагональ этого квадрата.
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 10√. Найдите диагональ этого квадрата.
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 14√. Найдите диагональ этого квадрата.
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 16√. Найдите диагональ этого квадрата.
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 18√. Найдите диагональ этого квадрата.
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22√. Найдите диагональ этого квадрата.
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 24√. Найдите диагональ этого квадрата.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 4√. Найдите длину стороны этого квадрата.
Решение:Радиус окружности равен половине диаметра. В данном случае диаметром является диагональ квадрата. А значит исходя из того, что диагональ в квадрате образует два прямоугольных треугольника можно ее найти стороны, используя теорему Пифагора. Записываем.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 16√. Найдите длину стороны этого квадрата.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 14√. Найдите длину стороны этого квадрата.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 26√. Найдите длину стороны этого квадрата.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 34√. Найдите длину стороны этого квадрата.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 28√. Найдите длину стороны этого квадрата.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 18√. Найдите длину стороны этого квадрата.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 22√. Найдите длину стороны этого квадрата.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 36√. Найдите длину стороны этого квадрата.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 32√. Найдите длину стороны этого квадрата.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 16. Найдите высоту этой трапеции.
Решение:Собственно из рисунка видно, что диаметр окружности равен высоте окружности, особенно это становится очевидным, если высоту провести перпендикулярно основаниям через центр окружности. То есть получается высота равна два радиуса
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 18. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 26. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 48. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 42. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 36. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 38. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 24. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 14. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 30. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 22. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 44. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 38. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 20. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 28. Найдите высоту этой трапеции.
Решение:Ответ: Собственно из рисунка видно, что диаметр окружности равен высоте окружности, особенно это становится очевидным, если высоту провести перпендикулярно основаниям через центр окружности. То есть получается высота равна два радиуса
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 10. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 28. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 20. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 42. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 36. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 30. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 18. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 26. Найдите высоту этой трапеции.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 5. Найдите высоту этого треугольника.
Решение:Проведем еще две высоты в равностороннем треугольнике. Причем высоты являются биссектрисами и медианами. В итоге получим 6 прямоугольных треугольников, у которых есть угол в 30 градусов, а значит R =2r, то есть вся высота H=2r+r=3r
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 7. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 15. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 18. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 4. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 9. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 11. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 12. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 14. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.
Решение:Проведем еще две прямые в равностороннем треугольнике. Причем на прямой часть ее будет высотой, а одновременно биссектрисой и медианой. В итоге получим 6 прямоугольных треугольников, у которых есть угол в 30 градусов, а значит R =2r, то есть вся высота H=1.5R
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 10. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 8. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 16. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 18. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 4. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 20. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 2. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 12. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 14. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 2√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение:Проведем еще две прямые (биссектрисы, медианы, высоты) в равностороннем треугольнике. Получим 6 прямоугольных равных треугольников, в который один угол равен 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы. Используя теорему Пифагора можем вычислить второй катет этого треугольника и умножить на два, тем самым получив сторону треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 3√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 4√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 5√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 7√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 9√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 10√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 11√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение:Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 2√. Найдите длину стороны этого треугольника.Проведем еще две прямые (биссектрисы, медианы, высоты) в равностороннем треугольнике. Получим 6 прямоугольных равных треугольников, в который один угол равен 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы. Используя теорему Пифагора можем вычислить второй катет этого треугольника и умножить на два, тем самым получив сторону треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 3√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 4√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 5√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 6√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 7√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 8√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 9√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 10√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 11√. Найдите длину стороны этого треугольника.
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 25. Найдите AC, если BC=48.
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20. Найдите BC, если AC=32.
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 13. Найдите AC, если BC=24.
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 17. Найдите AC, если BC=30.
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 10. Найдите BC, если AC=16.
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 15. Найдите BC, если AC=24.
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 14,5. Найдите AC, если BC=21.
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20,5. Найдите BC, если AC=9.
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 8,5. Найдите BC, если AC=8.
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 6,5. Найдите AC, если BC=12.
Задания с развернутым ответом
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.
Решение:По обобщенной теореме синусов 2 радиуса равны катет поделенный на синус угла против него. В нашем случае известны два угла и неизвестен как раз угол напротив катета, который и предстоит узнать. Угол можно вычислить из условия того, что в треугольнике сумма всех углов равна 180 градусов. Получаем:Подставляем значения и находим BC
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 73° и 77°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 9.
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 61° и 89°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10.
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 63° и 87°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 11.
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 62° и 88°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 12.
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 64° и 86°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 13.
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 66° и 84°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 67° и 83°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 16.
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 72° и 78°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 17.
Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника равен гипотенузе
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.
a , b – катеты прямоугольного треугольника
c – гипотенуза
Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):
Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника
Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника
Пусть известна гипотенуза c прямоугольного треугольника (Рис.1). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.
На странице Радиус окружности описанной около треугольника формула радиуса описанной окружности около треугольника по стороне и противолежащему углу имеет вид:
где C − угол противолежащий гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку угол, противолежащий гипотенузе − прямой, то получим:
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (1).
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника
Формула для вычисления радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника аналогична формуле вычисления радиуса описанной окружности около произвольного треугольника (см. статью на странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн):
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника
Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.
Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь треугольника S и полупериметр p вычисляется из следующей формулы (статья Радиус вписанной в треугольник окружности, формула (5)):
Площадь прямоугольного треугольника по катетам вычисляется из формулы:
Подставляя (2) и (3) в (1) получим формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
Из формулы (4) выведем другую эквивалентную формулу. Умножим числитель и знаменатель формулы (4) на ( small a+b-c ):
Учитывая (5), формулу (6) можно переписать так:
Таким образом другая формула вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности имеет вид:
где c вычисляется из (5).
Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника a=17 и b=5. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (4) и (7). Вычислим, сначала, гипотенузу прямоугольного треугольника из формулы (5):
Подставим значения ( small a=17, ; b=5; c=17.720045 ) в (7):
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол
Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha; ) (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
В предыдущем параграфе мы вывели формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности по катету и прилежащему углу (формула (11)). Учитывая, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, имеем:
( small alpha+eta=90°) ( small eta=90°-alpha )
Тогда (11) можно преобразовать так (подробнее на странице Формулы приведения тригонометрических функций:
Пример 3. Известны катет ( small a=6 ) прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha=53°. ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (12). Подставим значение ( small a=6, ; alpha=53° ) в (12):
Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника
Пусть известны катет a и прилежащий острый угол B прямоугольного треугольника (Рис.4). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.
Так как треугольник прямоугольный, то сумма острых углов треугольника равна 90°:
( small angle A+angle B=90°. )
Подставляя (5) в (4), получим:
Пример 3. Катет прямоугольного треугольника равен: ( small a=15 ,) а прилежащий угол равен ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a=15 , ; angle B=25° ) в (6):
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника
Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника (Рис.2).
Из теоремы Пифагора запишем формулу гипотенузы, выраженная через катеты:
Подставляя (2) в (1), получим:
Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны: ( small a=15 , ; b=3.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (3). Подставим значения ( small a=15 , ; b=3) в (3):
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.
Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле
где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.
Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.
Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,
окружность (O, r) — вписанная,
K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,
1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,
2) AB=AM+BM=6+4=10 см,
3) По теореме Пифагора:
Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.
Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.
Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.
Дано:∆ ABC, ∠C=90º,
1) Проведем отрезки OK и OF.
(как радиусы, проведенные в точки касания).
Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).
А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.
2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,
3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.
Радиус окружности вписанной в треугольник найдите гипотенузу
Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и прилежащий к нему угол β(Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Учитывая, что ( small alpha=90°-eta ) и ( small sin (90°-eta)=cos eta ), получим:
Тогда из (8) получим:
Далее, из теоремы синусов:
Чтобы получить формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности через катет и прилежащий к нему угол, подставим значения ( small b ) и ( small c ) из (9) и (10) в (7):
Пример 2. Известны катет ( small a=21 ) и прилежащий к нему угол ( small eta=30° ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Подставим значения ( small a=21 ) ( small eta=30° ) в (11):
