Задания с решением и ответом, которые были на реальном ЕГЭ 2023 по математике 11 класс профильный уровень 1 июня 2023 год. Все задачи собраны в один файл и собран вариант ЕГЭ 2023 профиль.
Пробные и тренировочные варианты по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2022 из различных источников.
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике (профиль)
Структура варианта КИМ ЕГЭ
Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий:
– часть 1 содержит 11 заданий (задания 1–11) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
– часть 2 содержит 7 заданий (задания 12–18) с развёрнутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Задания части 1 направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.
Посредством заданий части 2 осуществляется проверка освоения математики на профильном уровне, необходимом для применения математики в профессиональной деятельности и на творческом уровне.
Средний балл ЕГЭ 2021 по математике
Решение задач с параметром при подготовке к ЕГЭ
Изменения в КИМ ЕГЭ 2022 года по математике
Купить сборники типовых вариантов ЕГЭ по математике
Как решать экономические задачи ЕГЭ по математике профильного уровня?
Пробные и тренировочные варианты по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2023 из различных источников.
Варианты составлены в соответствии с демоверсией 2023 года
Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике (профиль)
Структура варианта КИМ ЕГЭ 2023 по математике профильного уровня
Экзаменационная работа состоит из двух частей и включает в себя 18 заданий, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий:
Задания части 1 направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях. Посредством заданий части 2 осуществляется проверка освоения математики на профильном уровне, необходимом для применения математики в профессиональной деятельности и на творческом уровне.
Задания части 1 предназначены для определения математических компетентностей выпускников образовательных организаций, реализующих программы среднего (полного) общего образования на базовом уровне. Задание с кратким ответом (1–11) считается выполненным, если в бланке ответов № 1 зафиксирован верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Задания 12–18 с развёрнутым ответом, в числе которых 5 заданий повышенного уровня и 2 задания высокого уровня сложности, предназначены для более точной дифференциации абитуриентов вузов.
1. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 бадминтонистов, среди которых 22 спортсмена из России, в том числе Игорь Чаев. Найдите вероятность того, что в первом туре Игорь Чаев будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.
2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу
3. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Реальный вариант ЕГЭ по математике-2023 (профиль) с ответами и решениями. Это один из вариантов досрочного экзамена 28 марта 2023 года. Здесь вы можете увидеть, каков по сложности реальный профильный ЕГЭ по математике.
Ответом к заданиям 1–11 является целое число или конечная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предполагаются действительными, если отдельно не указано иное. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
1. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24º и 66º. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение: Пусть ∠C — прямой, CD — биссектриса, CM — медиана.
Так как медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то треугольник BMC — равнобедренный. Тогда имеем: ∠MCB = ∠ABC = 66º.
Так как CD — биссектриса, то ∠BCD = ∠ACD = 45º.
Тогда искомый угол равен
∠MCD = ∠MCB − ∠BCD = 66º − 45º = 21º
2. Найдите объем пирамиды, вписанной в куб, если ребро куба равно 3.
Решение: Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания пирамиды на высоту:
V = 1/3 Sh
Площадь основания пирамиды равна площади грани куба:
S = 32 = 9
Высота пирамиды равна высоте куба, то есть длине его ребра. Значит, она равна 3. Тогда объем пирамиды равен
V = 1/3 · 9 · 3 = 9
3. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх команда «Физик» как минимум один раз начнет игру первой.
Решение: Нужно найти вероятность того, что команда «Физик» хотя бы один раз начнет матч первой. Найдем сначала вероятность того, что команда ни разу не начинает матч первой, а потом посчитаем противоположную к ней вероятность. Перед началом матча судья бросает монетку, то есть вероятность того, что команда «Физик» не начинает матч, равна 0, 5. Тогда вероятность того, что команда не начинает ни один из трех матчей первой, равна
0, 53 = 0, 125.
Найдем искомую вероятность:
1 − 0, 125 = 0, 875
Решение: Пусть событие A : кофе закончился в первом автомате, событие B : кофе закончился во втором автомате, событие AB : кофе закончился в двух автоматах.
По условию мы знаем вероятности этих событий P(A) = P(B) = 0, 2, P(AB) = 0, 16.
Найдем вероятность того, что кофе закончился хотя бы в одном автомате:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 2P(A) − P(AB) = 2 · 0, 2 − 0, 16 = 0, 24
Тогда искомая вероятность — это противоположная вероятность:
1 − P(A + B) = 1 − 0, 24 = 0, 76
5. Решите уравнение
Решение: Уравнение в общем виде выглядит как
Условие A ⩾ 0 излишне, так как A = B2, а B2 ⩾ 0 как любое выражение в квадрате. Следовательно, исходное уравнение равносильно
4x + 32 = 64 ⇔ x = 8
6. Найдите 5 cos 2α, если sin α = −0, 4.
Ответ: 3, 4.
Решение: По формуле косинуса двойного угла
cos 2α = 1 − 2 sin2 α
Тогда искомое значение равно
5 cos 2α = 5 · (1 − 2 sin2 α) = 5 · (1 − 2 · (−0, 4)2) = 5 · (1 − 2 · 0, 16) = 5 · (1 − 0, 32) = 5 · 0, 68 = 3, 4
Решение: На указанном отрезке производная положительна, то есть функция возрастает. Тогда наименьшее значение функция f(x) принимает в левом конце отрезка в точке x = −7.
8. Водолазный колокол, содержащий ν = 2 моль воздуха при давлении p1 = 1, 5 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = αν, где α = 5, 75 — постоянная, T = 300 К — температура воздуха. Найдите, p2 (в атмосферах) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.
Решение: Подставим все известные из условия величины в формулу:
6900 = 5, 75 · 2 · 300 · log2 p2/1, 5
23 = 11, 5 · log2 p2/1, 5
log2 p2/1, 5 = 23/11, 5
p2/1, 5 = 22
p2/1, 5 = 4
p2 = 6
9. Один рабочий пропалывает грядку за 12 часов, а двое рабочих вместе пропалывают грядку за 4 часа. За сколько часов прополет грядку второй рабочий?
Решение: Пусть x — скорость первого рабочего, а y — скорость второго рабочего.
По условию имеем:
Вычтем первое уравнение из второго, получим
y = 1/4 − 1/12 = (3 − 1)/12 = 1/6
Таким образом, второй рабочий пропалывает одну грядку за 6 часов.
10. На рисунке изображен график функции f(x) = ax + b. Найдите значение x, при котором f(x) = 29.
Решение: Найдем коэффициент b, подставив в уравнение функции точку (0; −2), через которую проходит график. Тогда
f(0) = −2 ⇔ a0 + b = −2 ⇔ 1 + b = −2 ⇔ b = −3
Теперь найдем основание a, подставив в уравнение функции точку (1; −1), через которую проходит график:
f(1) = −1 ⇔ a1 − 3 = −1 ⇔ a = 2
Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид f(x) = 2x − 3,
тогда
f(x) = 2x − 3 = 29
2x = 32
2x = 25
x = 5
11. Найдите точку минимума функции y = x3 − 24×2 + 11.
Решение: Найдем производную функции:
y′ = (x3 − 24×2 + 11)′ = 3×2 − 48
y′ = 0
3×2 − 48x = 0
x(x − 16) = 0
Нули производной разбивают область определения функции (она равна R) на промежутки, на каждом из которых производная непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знак производной на каждом таком промежутке:
Следовательно, функция убывает на промежутке (0; 16) и возрастает на промежутке (16; +∞). Тогда точка минимума функции равна x = 16.
12. а) Решите уравнение
(2 cos x) − 5 log3(2 cos x) + 2 = 0
Ответ: а) ±π/6 + 2πк, к ∈ z
б) 11π/6; 13π/6
Решение: а) Сделаем замену t = log3(2 cos x). Тогда уравнение примет вид
2t2 − 5t + 2 = 0 ⇔ t = 1/2; 2
Сделаем обратную замену:
Первое уравнение совокупности равносильно
13. Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что AK : KC = 3 : 7. Также на ребрах AD, BD и BC выбраны точки L, M и N соответственно так, что KLMN — квадрат со стороной 3.
а) Докажите, что ребра AB и CD взаимно перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости KLMN, если объем тетраэдра ABCD равен 100.
б) Докажем мини-задачу: если a и b — противоположные ребра тетраэдра, d — расстояние между ними, α — угол между ними, то объем этого тетраэдра равен 1/6 abd sin α.
Рассмотрим призму MNKPM1N1K1P1, в основании которой лежит четырехугольник MNKP, диагонали которого соответственно равны и параллельны двум противоположным ребрам данного тетраэдра: MK = a, NP = b, ∠(MK, NP) = α. Тогда расстояние между основаниями призмы равно d. Значит, объем этой призмы
V = d · 1/2ab sin α
Распишем, чему равен объем данного тетраэдра M1NK1P :
V = 1/6 · CD · AB · SP · sin 90º ⇔ 100 = 1/6 · 30/7 · 10 · SP ⇔ SP = 14
Так как по теореме Фалеса AK : KC = SF : FC = SH : HP = 3 : 7, то SH : SP = 3 : 10.
Тогда
SH = 3/10SP = 4, 2
14. Решите неравенство
Решение: Преобразуем левую часть:
Заметим, что t2 − 8t + 7 = (t − 1)(t − 7), а t2 − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4). Тогда
Сократим левую часть на (t − 1), запомнив, что t ≠ 1.
Решим полученное неравенство методом интервалов:
0 < t < 1 ⇔ 0 < 2x < 1 ⇔ x < 0
1 < t < 4 ⇔ 1 < 2x < 4 ⇔ 20 < 2x < 22 ⇔ 0 < x < 2
6 < t ⩽ 8 ⇔ 6 < 2x ⩽ 8 ⇔ 2log26 < 2x ⩽ 23 ⇔ log2 6 < x ⩽ 3
15. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с долгом на конец предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Известно, что сумма всех выплат составила 375 000 рублей. Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами?
Ответ: 221 400 рублей
Решение: Так как по условию процентная ставка составляет 25%, то каждый январь долг становится в 1 + 1/4 = 5/4 раз больше долга на конец предыдущего года. Составим таблицу, отслеживающую изменения, связанные с долгом, где за S рублей примем сумму, взятую в кредит, а за x рублей — ежегодный платеж.
Так как после последнего платежа долг выплачен полностью, то получаем следующее уравнение (в левой части разность последних ячеек 3-его и 4-ого столбцов):
По условию задачи общая сумма выплат равна
Подставим это значение x в полученное нами уравнение и выразим S:
Следовательно, в кредит было взято 221 400 рублей.
16. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
a) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Решение: а) Проведем через точку A общую касательную l к окружностям.
Рассмотрим меньшую окружность. Мы знаем, что угол между хордой и касательной к окружности равен половине дуги, заключенной между ними, значит, угол между AM и l равен вписанному углу AKM.
Рассмотрим большую окружность. По аналогичным соображениям угол между AC и l равен углу ABC.
Тогда, так как точки A, M и C лежат на одной прямой, то ∠AKM = ∠ABC.
Опустим перпендикуляр O1S на BC. В равнобедренном треугольнике BO1C отрезок O1S — высота, а значит и медиана. Тогда BS = SC.
По теореме Пифагора для треугольника BO1S :
O1S2 = BO21 − BS2 = 102 − 82 = 62 ⇒ O1S = 6
Так как отрезки O1O2 и O2P — радиусы меньшей окружности, то
O1O2 = O2P = 5
Рассмотрим прямоугольную трапецию O2PSO1.
Пусть O2H — перпендикуляр к O1S, тогда O2HSP — прямоугольник и
O1H = O1S − HS = O1S − O2P = 6 − 5 = 1
Следовательно, по теореме Пифагора
Так как хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку A, относятся как их диаметры, то KM — средняя линия в треугольнике ABC. Тогда KL — средняя линия в треугольнике ABP и ML — средняя линия в треугольнике ACP, следовательно
По теореме о произведении отрезков хорд имеем:
17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Решение: Перепишем уравнение в виде системы
Будем рассматривать параметр a как переменную. Построим в системе координат xOa множество S решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами (x0; a0) принадлежит этому множеству S, то для исходной задачи это означает, что если параметр a принимает значение a0, то x0 будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения a0 параметра a, при каждом из которых ровно две из точек вида (x0; a0), где x0 ∈ R, принадлежат множеству решений S, изображенному на плоскости xOa. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая a = a0 имеет ровно две точки пересечения с множеством S.
Решением совокупности на плоскости xOa является объединение двух лучей, а решением уравнения a = x2−x является парабола. Следовательно, множеством S на плоскости xOa будет являться множество точек эти лучей за исключением тех точек параболы a = x2 − x, которые являются точками пересечения параболы и этих лучей.
Найдем точки пересечения луча a = 3x − 3, x ⩾ 0, и параболы a = x2 − x:
Найдем точки пересечения луча a = −5x − 3, x < 0, и параболы a = x2 — x:
Изобразим множество S на плоскости xOa (получим множество всех точек двух лучей с выколотыми точками A, B, C, D):
18. Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.
а) Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см?
б) Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см?
в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?
Ответ: а) Да
б) Нет
в) 9
18. У Пети дома лежат по 100 монет номинала 1, 2, 5 и 10 рублей. Он хочет купить пирожное в магазине без сдачи, но до момента покупки Петя не знает, сколько стоит пирожное.
а) Может ли Петя выбрать дома 16 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 100 рублей?
б) Может ли Петя выбрать дома 5 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 25 рублей?
в) Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если он знает, что пирожное стоит не более 100 рублей?
Ответ: а) Да
б) Нет
в) 13
Решение: а) Петя может взять десять монет номиналом 10. Тем самым он сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого кратна 10.
Еще Петя возьмет одну монету номиналом 5 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого кратна 5.
Петя возьмет одну монету номиналом 1 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 1 при делении на 5.
Петя возьмет две монеты номиналом 2 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 2 или 4 при делении на 5.
Еще Петя возьмет одну монету номиналом 1 и одну монету номиналом 2 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 3 при делении на 5.
Таким образом, Петя возьмет с собой 10 + 1 + 1 + 2 + 2 = 16 монет и сможет без сдачи оплатить пирожное стоимостью до 100 рублей.
б) Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 1 при делении на 5, Петя обязательно должен взять с собой монету номиналом 1.
Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 4 при делении на 5, Петя обязательно должен взять с собой две монеты номиналом 2.
Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 9 при делении на 10, Петя обязательно должен взять с собой монету номиналом 5.
Итого, Петя уже обязательно должен взять четыре монеты, которые в сумме дают 10 рублей.
Тогда максимум Петя можем взять с собой 20 рублей. Следовательно, Петя не может выбрать дома 5 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 25 рублей.
в) По соображениям из пункта б) Петя обязательно должен взять четыре монеты следующими номиналами: 1, 2, 2 и 5.
Чтобы оплатить пирожное стоимостью 100 рублей, Петя должен взять дома еще 90 рублей. Минимальное количество монет, которыми можно набрать 90 рублей — 9. Тогда Петя обязан взять с собой хотя бы 13 монет: 1, 2, 2, 5 и 9 монет по 10 рублей.
Докажем, что любую цену Петя сможет оплатить без сдачи. Очевидно, что он может оплатить любую стоимость, кратную 10. При этом, если стоимость не равна 100, то у него всегда останутся монеты 1, 2, 2 и 5. Тогда осталось доказать, что монетами 1, 2, 2 и 5 Петя может набрать любое число от 1 до 9.
1 = 1
2 = 2
3 = 1 + 2
4 = 2 + 2
5 = 5
6 = 5 + 1
7 = 5 + 2
8 = 5 + 1 + 2
9 = 5 + 2 + 2
Значит, Петя должен взять дома минимум 13 монет, чтобы гарантированно оплатить без сдачи пирожное стоимостью не более 100 рублей.
Здесь вы можете найти задания реального ЕГЭ по математике 1 июня 2023 с ответами и решениями.
1. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линяя равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
Если вокруг трапеции описана окружность, то она является равнобедренной, то есть AB = CD. Тогда периметр трапеции можно записать в виде:
P = AB + BC + CD + AD = 2AB + BC + AD
2. Дан параллелограмм ABCD, площадь которого равна 12. M — середина AD. Найдите площадь четырехугольника BCDM.
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника ABD и BCD, их площади равны по 12/2 = 6. В треугольнике ABD медиана BM делит его на два равновеликих треугольника ABM и BMD, площади которых равны по 3.
SBCDM = SABCD −SABM = 12−3 = 9
3. Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 12. Точка 𝐸 является серединой стороны 𝐶𝐷. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐷𝐸.
4. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 4 и 12. Найдите среднюю линию трапеции.
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то есть равна 4 + 12 = 16. Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то ответ: 16 : 2 = 8
5. (источник profimatika.ru) У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
1. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 27√2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 6. Найдите объём цилиндра.
3. (источник profimatika.ru) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
1. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании, 6 из Швеции, 4 из Норвегии и 7 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Норвегии.
Всего в соревнованиях принимают участие 3+6+4+7 = 20 спортсменов. Последним мог выступать только один из 20 спортсменов, и все спортсмены с одинаковыми вероятностями могли выступать последними. Тогда вероятность того, что последним будет выступать спортсмен из Норвегии, равна 4/20 = 1/5 = 0,2
2. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 70 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Голландии, 7 прыгунов из Чехии и 57 из Сербии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четвертым будет выступать прыгун из Чехии.
3. (источник profimatika.ru) Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
1. (источник profimatika.ru) В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
2. Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
3. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
Если вероятность попадания в мишень равна 0,7, то вероятность промахнуться равна 1 − 0,7 = 0,3. Следовательно, вероятность 3 раза попасть в мишель и 1 раз промахнуться равна:
0,7 · 0,7 · 0,7 · 0,3 = 0,1029
После округления до сотых получаем 0,10.
1. Решите уравнение
5x−2 = 125
2. Решите уравнение
32−x = 81
3. (источник profimatika.ru) Найдите корень уравнения
1. Найдите значение выражения:
2. Найдите значение выражения:
log0,4125 − log0,48
3. Найдите значение выражения:
log562,5 + log52
4. (источник profimatika.ru) Найдите значение выражения:
1. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием f = 60 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 95 см до 115 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 140 см до 160 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение:
На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.
2. (источник profimatika.ru) К источнику с ЭДС 𝜀 = 55 В и внутренним сопротивлением 𝑟 = 0,5 Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением 𝑅 Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, дается формулой 𝑈 = 𝜀𝑅/(𝑅 + 𝑟). При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в омах.
1. (источник profimatika.ru) Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города 𝐴 в город 𝐵, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в 𝐵 со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из 𝐴 в 𝐵. Найдите скорость велосипедиста на пути из 𝐵 в 𝐴. Ответ дайте в км/ч.
2. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем первая труба.
3. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?
1. На рисунке изображены графики функций f(x) = ax2 + bx + c и g(x) = kx + d, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки В.
2. (источник profimatika.ru) На рисунке изображены графики функций 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏 которые пересекаются в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.
3. (источник profimatika.ru) На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 𝑎√𝑥 и 𝑔 (𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏, которые пересекаются в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.
1. Найдите точку максимума функции 𝑦 = −2/3·𝑥1,5 + 3𝑥 + 1.
5. Найдите точку максимума функции 𝑦 = 7 + 15𝑥 − 𝑥√𝑥.
6. Найдите точку максимума функции 𝑦 = 7 + 15𝑥 − 𝑥√𝑥.
1. a) Решите уравнение 2 cos3 𝑥 = √3 sin2 𝑥 + 2cos 𝑥
2. a) Решите уравнение 4 sin3 𝑥 = 3 cos(︁𝑥 − 𝜋/2)︁.
3. a) Решите уравнение sin 𝑥 · cos 2𝑥 + sin 𝑥 = √3cos2 𝑥.
4. a) Решите уравнение cos 𝑥 · cos 2𝑥 = √3 sin2 𝑥 + cos 𝑥.
5. a) Решите уравнение cos 𝑥 · cos 2𝑥 + √3 sin2 𝑥 = cos 𝑥.
6. (источник profimatika.ru)
a) Решите уравнение 2 cos3 𝑥 = √2 sin2 𝑥 + 2 cos 𝑥.
7. (источник profimatika.ru)
a) Решите уравнение 2 sin2 𝑥 cos 𝑥 + √3 cos2 𝑥 = √3.
8. (источник profimatika.ru)
a) Решите уравнение sin 𝑥 cos 2𝑥 − √2 cos2 𝑥 + sin 𝑥 = 0.
1. Дана четырехугольная пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷, в основании которой лежит ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷 со стороной 10. Известно, что 𝑆𝐴 = 𝑆𝐶 = 10√2, 𝑆𝐵 = 20, 𝐴𝐶 = 10.
а) Докажите, что ребро 𝑆𝐷 перпендикулярно плоскости основания пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷.
б) Найдите расстояние между прямыми 𝐴𝐶 и 𝑆𝐵.
2. В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 лежит равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 = 5 и 𝐵𝐶 = 3. Точка 𝑀 делит ребро 𝐴1𝐷1 в отношении 𝐴1𝑀 : 𝑀𝐷1 = 2 : 3, а точка 𝐾 — середина ребра 𝐷𝐷1.
а) Докажите, что плоскость 𝑀𝐾𝐶 параллельна прямой 𝐵𝐷.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью 𝑀𝐾𝐶 и плоскостью основания призмы, если ∠𝑀𝐾𝐶 = 90∘, ∠𝐴𝐷𝐶 = 60∘.
3. (источник profimatika.ru) Основанием прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 является параллелограмм. На рёбрах 𝐴1𝐵1, 𝐵1𝐶1 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно, причем 𝐵1𝐾 : 𝐾𝐶1 = 1 : 2, а 𝐴𝑀𝐾𝑁 – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.
а) Докажите, что 𝑁 – середина 𝐵𝐶.
б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁, если объем призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 равен 12, а ее высота равна 2.
5. (источник profimatika.ru) Дана прямая призма 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1. 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с основанием 𝐴𝐵. На 𝐴𝐵 отмечена точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃:𝑃𝐵 = 3:1. Точка 𝑄 делит пополам ребро 𝐵1𝐶1. Точка 𝑀 делит пополам ребро 𝐵𝐶. Через точку 𝑀 проведена плоскость 𝛼, перпендикулярная 𝑃𝑄.
а) Докажите, что прямая 𝐴𝐵 параллельна плоскости 𝛼.
б) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит 𝑃𝑄, если 𝐴𝐴1 = 5, 𝐴𝐵 = 12, cos ∠𝐴𝐵𝐶 = 3/5.
1. Решите неравенство:
2. Решите неравенство:
3. Решите неравенство:
4. Решите неравенство:
5. Решите неравенство:
6. (источник profimatika.ru) Решите неравенство:
7. (источник profimatika.ru) Решите неравенство:
8. Решите неравенство:
9. (источник profimatika.ru) Решите неравенство:
10. (источник profimatika.ru) Решите неравенство:
1. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше
долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
2. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
3. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 10 лет под 10% годовых. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в 2030 году долг составил 800 тыс. рублей;
— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на одну и ту же величину (но уже другую) меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.
Найдите сумму кредита, если общая сумма выплат составила 2090 тыс. рублей.
4. (источник profimatika.ru) В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 800 тыс. руб.
— в январе начисляется 𝑟% по кредиту.
— с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую то сумму.
— в конце 2030 года долг составляет 200 тыс. руб.
— с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму.
— к 2035 году кредит должен быть выплачен.
Найдите 𝑟, если общая сумма выплат составила 1480 тыс. руб.
5. (источник profimatika.ru) В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 700 тыс. руб.
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую то сумму;
— с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму;
— к 2035 году кредит должен быть выплачен.
Какая выплата была в 2026 году, если общая сумма выплат составила 1420 тыс. руб.
6. (источник profimatika.ru) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого из годов с 2026 по 2030 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года;
— в июле каждого из годов с 2031 по 2035 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отличную от суммы, на которую долг убывал в первые пять лет.
Известно, что в конце 2030 года долг составил 800 тысяч рублей. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.
1. Прямая, перпендикулярная стороне 𝐴𝐷 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀, диагональ 𝐵𝐷 в точке 𝑁, при чем 𝐴𝑀:𝑀𝐶 = 1:2, 𝐵𝑁:𝐵𝐷 = 1 : 3.
а) Докажите, что cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 1/5.
б) Найдите площадь ромба, если 𝑀𝑁 = 5.
2. Прямая, перпендикулярная стороне 𝐵𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀, диагональ 𝐵𝐷 в точке 𝑁, при чем 𝐴𝑀:𝑀𝐶 = 1:2, 𝐵𝑁:𝐵𝐷 = 1:3.
а) Докажите, что сторона 𝐵𝐶 делится прямой в отношении 1:4, считая от точки 𝐵.
б) Найдите сторону ромба, если 𝑀𝑁 = 3√2.
3. (источник profimatika.ru) Треугольник 𝐴𝐵𝐶 равносторонний. На стороне 𝐴𝐶 выбрана точка 𝑀, серединный перпендикуляр к отрезку 𝐵𝑀 пересекает сторону 𝐴𝐵 в точке 𝐸, а сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾.
а) Доказать что угол 𝐴𝐸𝑀 равен углу 𝐶𝑀𝐾.
б) Найти отношение площадей треугольников 𝐴𝐸𝑀 и 𝐶𝑀𝐾, если 𝐴𝑀:𝐶𝑀 = 1:4.
4. (источник profimatika.ru) Дана равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. Биссектрисы углов 𝐵𝐴𝐷 и 𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑀 и 𝑁 отмечены на боковых сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Известно, что 𝐴𝑀 = 𝑀𝑂, 𝐶𝑁 = 𝑁𝑂.
а) Докажите, что точки 𝑀, 𝑁 и 𝑂 лежат на одной прямой.
б) Найдите 𝐴𝑀 : 𝑀𝐵, если известно, что 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 и 𝐵𝐶 : 𝐴𝐷 = 1 : 7.
5. (источник profimatika.ru) Дан ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямая, перпендикулярная стороне 𝐴𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀, диагональ 𝐵𝐷 — в точке 𝑁, причем 𝐴𝑀 : 𝑀𝐶 = 1 : 2, 𝐵𝑁 : 𝑁𝐷 = 1 : 3.
а) Докажите, что cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 0,2.
б) Найдите площадь ромба, если 𝑀𝑁 = 5.
1. (источник profimatika.ru) Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений:
имеет ровно 2 различных решения.
2. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений:
3. (источник profimatika.ru) Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений:
4. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений:
3. (источник profimatika.ru) Дана правильная несократимая дробь 𝑎/𝑏. За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т.е. получить несократимую дробь (𝑎+𝑏)/(𝑏+2𝑎).
a) Можно ли из дроби 2/3 получить дробь 29/41.
б) Можно ли из некоторой дроби получить дробь 6/7 за 2 хода.
в) Дробь с/𝑑 больше 7/10. Найдите Найдите минимальную дробь с/𝑑, которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода?
4. (источник profimatika.ru) Есть числа 𝐴 и 𝐵. Из них можно сделать числа 𝐴 + 2 и 𝐵 − 1 или 𝐵 + 2 и 𝐴−1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что 𝐴 = 7, 𝐵 = 11.
а) Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?
5. (источник profimatika.ru) В классе больше 10, но не больше 26 человек, доля девочек не более 46%.
а) Может ли в классе быть 9 девочек?
б) Может ли в классе быть 55% девочек, если придёт ещё одна?
в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка? (max. доля ∈ Z)
6. (источник profimatika.ru) В игре число 𝑎 = 4 и число 𝑏 = 5, за ход можно сделать (𝑎 − 1; 𝑏 + 2) или
(𝑎 + 2; 𝑏 − 1). (новые числа a и b всегда положительные)
а) Можно ли получить число 200 за 100 ходов?
б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300
в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму,
при этом ни одно число не превышает 200.
7. (источник profimatika.ru) Для чисел 𝐴 и 𝐵, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили 𝑆 – сумму произведений соответствующих цифр. Например, для числа 𝐴 = 123 и 𝐵 = 579 получается сумма 𝑆 = 15 + 27 + 39 = 46.
a) Существуют ли трёхзначные числа А и В, для которых 𝑆 = 100?
б) Существуют ли пятизначные числа А и В, для которых 𝑆 = 400?
B) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел А и В?
Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике база и профиль
13.09.2022 Тренировочный вариант №1 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
27.09.2022 Математика 11 класс профиль входная мониторинговая работа 3 варианта с ответами
28.09.2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
28 сентября 2022 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль варианты и ответы
29 сентября 2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
1 октября 2022 Ларин вариант 399 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами
6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
8 октября Ларин вариант 400 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами
12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
14 октября Вариант 1 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
14 октября Вариант 2 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
15 октября Ларин вариант 401 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами
15 октября Ларин вариант 402 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами
16 октября Вариант 3 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
16 октября Вариант 4 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
23 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
24 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
25 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
26 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
28 октября Ларин вариант 403 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами
29 октября Ларин вариант 404 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами
1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
5 ноября 2022 Вариант 1-2 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
6 ноября 2022 Ларин вариант 405 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
9 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
12 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
13 ноября 2022 Ларин вариант 406 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
21 ноября 2022 Ларин вариант 407 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
27 ноября 2022 Ларин вариант 408 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
28 ноября 2022 Вариант 3-4 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
30 ноября 2022 Мониторинговая работа по математике 11 класс ЕГЭ 2023 профиль 1 полугодие
3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
3 декабря 2022 Пробник ЕГЭ 2023 Москва по математике профиль задания и ответы
5 декабря 2022 Ларин вариант 409 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
9 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
10 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
12 декабря 2022 Ларин вариант 410 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
13 декабря 2022 Статград математика 11 класс профиль ЕГЭ 2023 варианты МА2210209-МА2210212 и ответы
13 декабря 2022 Математика 11 класс база ЕГЭ 2023 статград варианты и ответы
15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
20 декабря 2022 Вариант 5-6 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
20 декабря 2022 Ларин вариант 411 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
3 января 2023 Ларин вариант 412 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
6 января 2023 Тренировочный вариант 1-2 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы
8 января 2023 Вариант 3-4 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы
9 января 2023 Вариант 7-8 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
10 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
11 января 2023 ЕГЭ 2023 математика тренировочные задания и ответы Ященко, Семенов
11 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 база ЕГЭ 2023 по математике 11 класс с ответами
19 января 2023 Тренировочные варианты №17 и №18 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
22 января 2023 Ларин вариант 413 и 414 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение и ответы
22 января 2023 Тренировочный 19 вариант решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
22 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 19 с ответами
25 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 20 с ответами
27 января 2023 Тренировочный вариант №20 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
28 января 2023 Вариант 415 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
2 февраля 2023 Вариант 21 база ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант с ответами
2 февраля 2023 Тренировочный вариант №21 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
8 февраля 2023 Математика 10-11 класс ЕГЭ 2023 статград варианты база и профиль МА2200101-МА2200110 и ответы
11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
12 февраля 2023 Вариант 416 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
12 февраля 2023 Вариант 417 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
13 февраля 2023 Вариант 9 и вариант 10 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши задания
13 февраля 2023 Вариант 11 и вариант 12 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши
16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
18 февраля 2023 Вариант 418 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 база по математике 11 класс с ответами
22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 профиль по математике 11 класс с ответами
25 февраля 2023 Вариант 419 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
28 февраля 2023 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль и ответы
4 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 база по математике 11 класс с ответами
4 марта 2023 Вариант 420 Ларин ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
5 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 профиль по математике 11 класс с ответами
8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 профиль по математике 11 класс с ответами
8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 база по математике 11 класс 100 баллов с ответами
12 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 27 база по математике 11 класс 100 баллов с ответами
12 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 27 профиль по математике 11 класс с ответами
12 марта 2023 Подборка 1 задания ЕГЭ 2023 математика профильный уровень
20 марта 2023 Вариант 421 Ларин ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
20 марта 2023 Вариант 422 Ларин ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
21 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 по математике база 11 класс 4 варианта и ответы
21 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 по математике профиль 11 класс 4 варианта и ответы
27 марта 2023 Вариант с досрочного ЕГЭ 2023 по математике профильный уровень
28 марта 2023 Все задания с ответами досрочного этапа ЕГЭ 2023 математика профиль
30 марта 2023 Математика база ЕГЭ 2023 вариант заданий с досрочного этапа 2023
30 марта 2023 Вариант 423 Ларин ЕГЭ 2023 по математике 11 класс профиль задания и ответы
30 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 28 база по математике 11 класс 100 баллов с ответами
30 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 28 профиль по математике 11 класс с ответами
30 марта 2023 Статград математика 11 класс база ЕГЭ 30 марта 2023 варианты и ответы
4 апреля 2023 Вариант 424 Ларин ЕГЭ 2023 по математике 11 класс профиль задания и ответы
4 апреля 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 30 база по математике 11 класс 100 баллов с ответами
5 апреля 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 30 профиль по математике 11 класс с ответами
6 апреля 2023 Вариант с ответами ЕГЭ 2023 по математике Московского пробника
6 апреля 2023 Прогноз на ЕГЭ 2023 по математике профиль какие будут задания
6 апреля 2023 Вариант ЕГКР ЕГЭ 2023 по математике базовый уровень
12 апреля 2023 Пробник ЕГЭ 2023 математика профиль 3 варианта с ответами
12 апреля 2023 Новые задания ЕГЭ 2023 математика ФИПИ по теории вероятностей
12 апреля 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 31 база по математике 11 класс 100 баллов с ответами
12 апреля 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 31 профиль по математике 11 класс 100 баллов с ответами
12 апреля 2023 Задания ЕГЭ с ответами по теме конус, цилиндр, шар математика
13 апреля 2023 Пробник ЕГЭ 2023 математика база 3 тренировочных варианта с ответами
13 апреля 2023 Все 1 задания Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
13 апреля 2023 Все 2 задания Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
14 апреля 2023 Все 3 задания Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
15 апреля 2023 4 задания Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
19 апреля 2023 ЕГЭ 2023 математика 11 класс профиль вариант резервного досрочного этапа 2023
21 апреля 2023 Вариант 32 пробник ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс задания и ответы
21 апреля 2023 Вариант 32 пробник ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс задания и ответы
21 апреля 2023 5 задания Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
26 апреля 2023 Метод координат ЕГЭ 2023 математика 11 класс задания и ответы
26 апреля 2023 6 задания Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
29 апреля 2023 Математика 11 класс пробник ЕГЭ 2023 варианты МА2210501-МА2210512 работа статград с ответами
30 апреля 2023 Тренировочный вариант №33 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
30 апреля 2023 Тренировочный вариант №33 решу пробник ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
30 апреля 2023 7 задания Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
1 мая 2023 Задание 8 ЕГЭ 2023 математика профиль 11 класс Ященко с ответами и решением
2 мая 2023 427 вариант Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс профильный уровень с ответами
2 мая 2023 Задание 9 ЕГЭ 2023 математика профиль 11 класс Ященко с ответами и решением
3 мая 2023 Задание 10 ЕГЭ 2023 математика профиль 11 класс Ященко с ответами и решением
3 мая 2023 Теория и практика для 10 задания ЕГЭ 2023 математика 11 класс профиль
4 мая 2023 Тренировочный вариант №34 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
4 мая 2023 Тренировочный вариант №34 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
5 мая 2023 Задание 11 ЕГЭ 2023 математика профиль 11 класс Ященко с ответами и решением
7 мая 2023 Задание 12 ЕГЭ 2023 математика профиль 11 класс Ященко с ответами и решением
7 мая 2023 Задание 13 ЕГЭ 2023 математика профиль 11 класс Ященко с ответами и решением
8 мая 2023 ЕГЭ 2023 математика 11 класс профиль практика ФИПИ задания и ответы
10 мая 2023 Задание 14 ЕГЭ 2023 математика профиль 11 класс Ященко с ответами и решением
11 мая 2023 Тренировочный вариант №35 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
11 мая 2023 Тренировочный вариант №35 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
11 мая 2023 Статград математика 10-11 класс пробник ЕГЭ 2023 варианты с ответами
13 мая 2023 15 задание Ященко ЕГЭ 2023 математика 11 класс профиль с ответами и решением
16 мая 2023 Ященко задание 16 ЕГЭ 2023 математика 11 класс профильный уровень с ответами
16 мая 2023 Ященко 17 задание профиль ЕГЭ 2023 математика 11 класс задания и ответы
16 мая 2023 Задачи по стереометрии ЕГЭ 2023 математика 11 класс с ответами
16 мая 2023 Задание 14 практика ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
17 мая 2023 ЕГЭ 2023 математика 11 класс база ФИПИ открытый вариант с ответами
18 мая 2023 Ященко 18 задание профиль ЕГЭ 2023 математика 11 класс задания и ответы
18 мая 2023 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль все задания и ответы с решением
18 мая 2023 Вариант 428, 429, 430 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс профиль с ответами
19 мая 2023 Параметры ЕГЭ математика 11 класс профиль с ответами и решением
24 мая 2023 ЕГЭ 2023 теория вероятностей математика 11 класс с ответами
24 мая 2023 10 тренировочных вариантов решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
01 июня 2023 Задания с реального ЕГЭ 1 июня 2023 по математике профильный уровень и ответы
01 июня 2023 Решение заданий реального ЕГЭ 1 июня 2023 по математике профиль
Сборник Ященко ЕГЭ 2023 математика профильный уровень 36 вариантов
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
1. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
2. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
3. Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
4. В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
9. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города 𝐴 в город 𝐵, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в 𝐵 со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из 𝐴 в 𝐵. Найдите скорость велосипедиста на пути из 𝐵 в 𝐴. Ответ дайте в км/ч.
10. На рисунке изображены графики функций 𝑓(𝑥) = 𝑎 √ 𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏 которые пересекаются в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.
10.1 На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 𝑎 √ 𝑥 и 𝑔 (𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏, которые пересекаются в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.
13. Основанием прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 является параллелограмм. На рёбрах 𝐴1𝐵1, 𝐵1𝐶1 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно, причем 𝐵1𝐾 : 𝐾𝐶1 = 1 : 2, а 𝐴𝑀𝐾𝑁 – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что 𝑁 – середина 𝐵𝐶. б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁, если объем призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 равен 12, а ее высота равна 2.
14.2 Решите неравенство (log2 0,25(𝑥 + 3) − log4 (𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + 1) · log4 (𝑥 + 2) 6 0.
15.1. В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 800 тыс. руб. — в январе начисляется 𝑟% по кредиту. — с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую то сумму. — в конце 2030 года долг составляет 200 тыс. руб. — с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму. — к 2035 году кредит должен быть выплачен. Найдите 𝑟, если общая сумма выплат составила 1480 тыс. руб.
15.2. В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 700 тыс. руб. — каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую то сумму; — с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму; — к 2035 году кредит должен быть выплачен. Какая выплата была в 2026 году, если общая сумма выплат составила 1420 тыс. руб.
15.3. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле каждого из годов с 2026 по 2030 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года; — в июле каждого из годов с 2031 по 2035 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отличную от суммы, на которую долг убывал в первые пять лет. Известно, что в конце 2030 года долг составил 800 тысяч рублей. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.
16. 𝐴𝐵𝐶 равносторонний треугольник. На стороне 𝐴𝐶 выбрана точка 𝑀, серединный перпендикуляр к отрезку 𝐵𝑀 пересекает сторону 𝐴𝐵 в точке 𝐸, а сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾. а) Доказать что угол 𝐴𝐸𝑀 равен углу 𝐶𝑀𝐾. б) Найти отношение площадей треугольников 𝐴𝐸𝑀 и 𝐶𝑀𝐾, если 𝐴𝑀 : 𝐶𝑀 = 1 : 4.
18.1 В классе больше 10, но не больше 26 человек, доля девочек не более 46%. а) Может ли в классе быть 9 девочек? б) Может ли в классе быть 55% девочек, если придёт ещё одна? в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка? (max. доля ∈ Z)
18.2 В игре число 𝑎 = 4 и число 𝑏 = 5, за ход можно сделать (𝑎 − 1; 𝑏 + 2) или (𝑎 + 2; 𝑏 − 1). (новые числа a и b всегда положительные) а) Можно ли получить число 200 за 100 ходов? б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300 в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.
18.3 Для чисел 𝐴 и 𝐵, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили 𝑆 – сумму произведений соответствующих цифр. Например. для числа 𝐴 = 123 и 𝐵 = 579 получается сумма 𝑆 = 15 + 27 + 39 = 46. a) Существуют ли трёхзначные числа А и В, для которых 𝑆 = 100? б) Существуют ли пятизначные числа А и В. для которых 𝑆 = 400? B) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел А и В?
Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2023 по всем предметам