В мы рассмотрели задачи с экспериментами, исходы которых могут наступить с одинаковой вероятностью. Однако в жизни намного чаще встречаются эксперименты, не соответствующие этому требованию.
Эксперимент, исходы которого имеют разную вероятность называется экспериментом с не равновероятными исходами (или, для краткости, не равновероятным экспериментом).
Тут, пожалуй, стоит сделать пометку «ваш Капитан Очевидность».
В мы рассмотрели задачи с экспериментами, исходы которых могут наступить с одинаковой вероятностью. Однако в жизни намного чаще встречаются эксперименты, не соответствующие этому требованию.
Эксперимент, исходы которого имеют разную вероятность называется экспериментом с не равновероятными исходами (или, для краткости, не равновероятным экспериментом).
Тут, пожалуй, стоит сделать пометку «ваш Капитан Очевидность».
Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ базового уровня содержит 392 задачи на сорока страницах. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.
1. Задачи на применение классической формулы определения вероятности события
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: 
.
Задача 1.1. На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.
Решение. Число благоприятных исходов –это и есть число участников семинара из России. Их пятеро. Общее число исходов 6+5+9=20, -это количество учёных, участвующих в семинаре. Итак, искомая вероятность равна 
.
Задача 1.2. В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».
Решение. Конфета «Взлётная» – одна, всего конфет – 5. Вероятность того, что выпала именно она, равна
Задача 1.3. На борту самолёта 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест
за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение: Удобных для пассажира Д. мест 26+10=36. Общее число мест для пассажиров -300. Значит, искомая вероятность равна
Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:
Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно двум появлениям орла) благоприятствует исход с номером 2. Он единственный, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна
Задача 1.5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Решение: Ровно один раз орёл выпадает в исходах под номерами 2 и 3 (см. таблицу к задаче 1.4). Отношение числа благоприятных исходов (2) к общему числу всех равновозможных исходов (4) определяет вероятность интересующего нас события:
Задача 1.6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.
Событие «орёл выпадет хотя бы один раз» означает, что орёл появится либо один раз (первым или вторым), либо оба раза, что возможно при реализации исходов 2,3,4. Благоприятных исходов, таким образом, три, при общем количестве возможных – четырёх. Вероятность, согласно классической формуле, равна 
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Задача 1.7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: Орёл выпадает оба раза – один исход при двух бросаниях математической монеты из четырёх возможных. Значит, вероятность равна 
.
Задача 1.8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.
Решение: Формулировка «во второй раз выпадет то же, что и в первый» означает, что могут выпасть подряд два орла, либо выпадают две решки подряд, что соответствует исходам 1 и 2 в таблице к задаче 1.4. При общем количестве (их 4) равновозможных исходов вычисляем вероятность 
.
Задача 1.9. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 25.
Решение: Найдем количество трёхзначных чисел. Первое из них -100. Последнее -999. Значит, их всего 999-100+1=900. Определяем количество чисел, кратных 25. Первое из них – 100. Последнее – 975. Таких чисел 
По классической формуле вычисляем вероятность 
.
Задача 1.10. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 33.
Решение: Как и в задаче 1.10, общее число всех равновозможных исходов 900. Первое трёхзначное число, кратное 33, это – 132. Последнее из них – 990. Таким образом, благоприятных исходов, т.е. трёхзначных чисел, кратных 33, всего
Задача 1.11. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.
Решение: Примем количество пакетиков с зелёным чаем за х, тогда количество пакетиков с чёрным чаем будет равно 4х, и общее количество пакетиков с чаем определится как х+4х=5х (пакетиков). Вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем, согласно классической формуле, определяется отношением
Задача 1.12. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение: Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 400-(130+130) =140. Значит, искомая вероятность равна 
.
Задача 1.13. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Решение: Для туриста Д., входящего в состав группы, для похода в магазин есть 6 благоприятных исходов. Общее число всех равновозможных исходов – количество туристов в группе (их 8 по условию задачи). Итак Р(А)=
Задача 1.14. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов:
в первый день — 18 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: Последний день конференции – третий. Количество докладов, запланированных во второй, а также и в третий день конференции: 
Это и есть число благоприятных для профессора М. исходов. Вычисляем вероятность выступления докладчика в третий день: 
.
Задача 1.15. На экзамене будет 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение: Невелик у Оскара шанс получить выученный билет: 
.
Задача 1.16. В фирме такси в наличии 12 легковых автомобилей: 3 из них чёрного цвета
с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
Решение: Жёлтых с чёрными надписями машин -9. Разделив их на общее число машин фирмы (12), получаем:
2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события
Определение. Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.
Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в результате однократного опыта. События образуют полную группу, если в результате опыта одно из событий обязательно произойдёт. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. 
. Здесь 
– вероятность события, противоположного событию А.
Задача 2.1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку
из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение. Событие А – новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет. Событие 
– ручка пишет хорошо. Эти события – противоположные. Р(А)=0,21. Р(
Задача 2.2. В среднем из 140 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение: Событие А – насос подтекает, событие 
– насос не подтекает.
Задача 2.3. Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт?
Решение. Событие – «случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт» противоположно событию «что случайно выбранная и посаженная луковица не прорастёт». Поэтому 
.
3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий
Суммой (А+В) двух событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В.
Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность суммы случайных событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: 
.
Задача 3.1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос
по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – достанется вопрос по теме «Внешние углы», тогда событие А+В – на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Учитывая, что «Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,35+0,25 = 0,6.
Задача 3.2. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: Как и при решении задачи 3.1, применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,3+0,25 = 0,55.
Способ 3. Формула Бернулли
Рассмотрим общую задачу о подбрасывании монет.
Пусть бросается $n$ монет (или, что тоже самое, монета бросается $n$ раз). Нужно вычислить вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз.
А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.
Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь.
Пригодится: онлайн калькулятор для формулы Бернулли
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Событие \(A·B\). Умножение вероятностей событий
Прежде чем двигаться дальше, нам понадобится вспомнить понятие совместных и не совместных событий.
События называются совместными, если они могут наступить одновременно (в рамках одного эксперимента или наблюдения) и несовместными, если не могут.
Например, события «вытащенная вслепую из колоды карта имеет масть черви» и «вытащенная карта – “черная”» – несовместны.
А вот события «вытащенная вслепую из колоды карта имеет масть черви» и «вытащенная карта – валет» – вполне совместны (ведь можно вытащить червового валета).
Событием \(A·B\) называются такое событие, которое происходит только если произошло и \(A\), и \(B\).
Например, если событие \(A\) «на кубике выпало четное число», а событие \(B\) «на кубике выпало более двух очков», то событие \(A·B\) произойдет, если выпадет \(4\) или \(6\) очков.
Кстати, червовый валет в примере выше – это тоже событие \(A·B\).
Наглядно событие \(A·B\) можно представить так:
Вероятность \(A·B\) вычисляется по следующей формуле:
\(P(A·B)=P(A)·P(B)\), где \(P(A)\) – вероятность события \(А\)
\(P(B)\) – вероятность события \(B\)
причем \(A\) и \(B\) – совместные события!
Обратите внимание на этот нюанс – формула справедлива только для совместных событий. А теперь те, что читал внимательно, ответьте – чему равна вероятность \(A·B\), если \(A\) и \(B\) – несовместны? Не спешите, подумайте. Правильный ответ – ниже (после примера).
Пример (ЕГЭ). В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью \(0,3\). Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Решение: Пусть событие \(A\) – «занят первый продавец», \(B\) – «занят второй продавец», \(C\) – «занят третий продавец». Нам нужно чтоб были заняты они все, то есть, чтобы выполнилось одновременно и \(A\), и \(B\), и \(C\). Иными словами, нас интересует событие \(A·B·C\). Вычисляем вероятность, используя формулу:
Теперь ответ на вопрос, заданный выше: если события \(A\) и \(B\) несовместны, то вероятность события \(A·B\) равно нулю.
Если \(A\) и \(B\) – несовместны, то \(P(A·B )=0\)
Почему так? Событие \(A·B\) наступит ТОЛЬКО если и \(A\), и \(B\) произойдут вместе. Но ведь события несовместны, то есть по определению не могут произойти вместе! Значит, \(A·B\) – невозможное событие, и вероятность его наступления равна нулю. Графически это можно представить следующим образом:
Наглядное пояснение на примере: допустим, событие \(A\) – «при броске кубика выпало \(5\) очков», \(В\) – «при броске выпало четное число». Ну и как может произойти \(A·B\)? Для этого надо чтоб выпала четная пятерка. Так не бывает, то есть вероятность равна нулю.
Классическое определение вероятности
Для начала надо вспомнить саму формулу, по которой будем считать. Итак, вероятность находится как $P=m/n$, где $n$ – число всех равновозможных элементарных исходов нашего случайного эксперимента с подбрасыванием, а $m$ – число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи). Но как найти эти загадочные исходы? Проще всего пояснить на примерах.
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О – выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответствено, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем $n=4$. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию “орел выпадет ровно один раз”, это комбинации ОР и РО и их ровно $m=2$. Тогда искомая вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$. Готово!
Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.
Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же: РР, ОР, РО и ОО, $n=4$. А вот условию “оба раза выпала одна сторона” удовлетворяют другие комбинации: РР и ОО, откуда $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$.
Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.
Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Снова применим формулу классической вероятности. Шаг первый – выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Смотри-ка, бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже $n=8$ (кстати, они находятся по формуле $n=2^k$, где $k$ – число бросков монеты).
Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет $m=3$. Тогда вероятность события $P=m/n=3/8=0.375$.
Взяли разгон и переходим к 4 монетам.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Приступаем к вычислению. Шаг первый – выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться $n=2^4=16$ штук! Вот они:
OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.
Теперь выбираем те, где герб (он же орел, он же буква О) встречается 2 или 3 раза:
OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO,
их будет $m=10$. Тогда вероятность равна $P=m/n=10/16=5/8=0.625$.
Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2-3-4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.
Понятие обратного события и его вероятность
Событие, которое наступает, когда НЕ наступает событие \(A\), называется обратным событию \(A\) (обозначается \(\overline A\) ).
Наглядно события \(A\) и \(\overline A\) можно представить следующей картинкой:
То есть, события \(A\) и \(\overline A\) по определению включают в себя ВСЕ возможные исходы эксперимента (математики говорят «образуют полную группу исходов»). А это значит, что в любом эксперименте одно из этих событий наступит обязательно! Иными словами, суммарная вероятность их наступления равна \(100\%\): \(P(A)+P(\)\(\overline A\)\()=1\). Отсюда получаем формулу для вычисления вероятности обратного события:
\(P( \overline A)=1-P(A)\) , где \(P(A)\) – вероятность события \(A\)
\(P( \overline A )\) – вероятность события \(\overline A\) обратного событию \(A\).
Пример (ЕГЭ). Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем \(36,8 °С\), равна \(0,81\). Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется \(36,8 °С\) или выше.
Решение: Эксперимент тут – измерение температуры тела здорового человека, а исходами будут результаты измерения. Понятно, что какую-то температуру градусник покажет в любом случае, т.е. вероятности всех исходов дают в сумме единицу.
Также понятно, что события «температура ниже \(36,8 °С\)» и «температура равна или выше \(36,8 °С\)» – взаимно обратны (если произошло одно из них, то гарантировано не произошло другое, и наоборот).
Исходы, подходящие событию «температура ниже чем \(36,8 °С\)» имеют суммарную вероятность \(0,81\). Ну и как же найти суммарную вероятность исходов «температура равна или выше чем \(36,8 °С\)»???
До этого, конечно, безумно сложно догадаться, но решение таково:
\(P(\overline A )=1-0,81=0,19\)
Событие \(A·B\). Умножение вероятностей событий
Прежде чем двигаться дальше, нам понадобится вспомнить понятие совместных и не совместных событий.
События называются совместными, если они могут наступить одновременно (в рамках одного эксперимента или наблюдения) и несовместными, если не могут.
Например, события «вытащенная вслепую из колоды карта имеет масть черви» и «вытащенная карта – “черная”» – несовместны.
А вот события «вытащенная вслепую из колоды карта имеет масть черви» и «вытащенная карта – валет» – вполне совместны (ведь можно вытащить червового валета).
Событием \(A·B\) называются такое событие, которое происходит только если произошло и \(A\), и \(B\).
Например, если событие \(A\) «на кубике выпало четное число», а событие \(B\) «на кубике выпало более двух очков», то событие \(A·B\) произойдет, если выпадет \(4\) или \(6\) очков.
Кстати, червовый валет в примере выше – это тоже событие \(A·B\).
Наглядно событие \(A·B\) можно представить так:
Вероятность \(A·B\) вычисляется по следующей формуле:
\(P(A·B)=P(A)·P(B)\), где \(P(A)\) – вероятность события \(А\)
\(P(B)\) – вероятность события \(B\)
причем \(A\) и \(B\) – совместные события!
Обратите внимание на этот нюанс – формула справедлива только для совместных событий. А теперь те, что читал внимательно, ответьте – чему равна вероятность \(A·B\), если \(A\) и \(B\) – несовместны? Не спешите, подумайте. Правильный ответ – ниже (после примера).
Пример (ЕГЭ). В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью \(0,3\). Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Решение: Пусть событие \(A\) – «занят первый продавец», \(B\) – «занят второй продавец», \(C\) – «занят третий продавец». Нам нужно чтоб были заняты они все, то есть, чтобы выполнилось одновременно и \(A\), и \(B\), и \(C\). Иными словами, нас интересует событие \(A·B·C\). Вычисляем вероятность, используя формулу:
Теперь ответ на вопрос, заданный выше: если события \(A\) и \(B\) несовместны, то вероятность события \(A·B\) равно нулю.
Если \(A\) и \(B\) – несовместны, то \(P(A·B )=0\)
Почему так? Событие \(A·B\) наступит ТОЛЬКО если и \(A\), и \(B\) произойдут вместе. Но ведь события несовместны, то есть по определению не могут произойти вместе! Значит, \(A·B\) – невозможное событие, и вероятность его наступления равна нулю. Графически это можно представить следующим образом:
Наглядное пояснение на примере: допустим, событие \(A\) – «при броске кубика выпало \(5\) очков», \(В\) – «при броске выпало четное число». Ну и как может произойти \(A·B\)? Для этого надо чтоб выпала четная пятерка. Так не бывает, то есть вероятность равна нулю.
Событие \(A+B\). Сложение вероятностей событий
Событием \(A+B\) называется такое событие, которое происходит если произошло хотя бы одно из событий \(A\) и \(B\) (то есть, произошло или \(A\), или \(B\), или они оба вместе).
Например, если событие \(A\) «на кубике выпало четное число», а событие \(B\) «на кубике выпало более двух очков», то событие \(A+B\) произойдет, если выпадет \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) или \(6\) очков.
Наглядно событие \(A+B\) можно представить так:
Вероятность \(A+B\) вычисляется по следующей формуле:
\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)\), где \(P(A)\) – вероятность события \(А\)
\(P(B)\) – вероятность события \(B\)
причем \(A\) и \(B\) – совместные события!
Замечание! Обычно в этом месте у учеников возникает непонимание – почему вычитается \(P(A·B)\), ведь оно входит в заштрихованную область? Чтобы это понять, давайте мысленно «пронумеруем» области на схеме, вот так:
А теперь подумайте: нам надо взять все исходы, подходящие хотя бы одному событию, то есть, взять области \(I\),\(II\) и \(III\) по одному разу. Однако если мы просто сложим все исходы \(A\) и все исходы \(B\) – мы возьмем область \(II\) два раза (ведь она входит и в \(A\), и в \(B\)! Именно поэтому мы убираем одну лишнюю область \(II\), вычитая \(P(A·B)\).
\(P(A+B)=P(A)+P(B)\), где \(P(A)\) – вероятность события \(A\)
\(P(B)\) – вероятность события \(B\)
причем \(A\) и \(B\) – не совместные события!
Пример (ЕГЭ). На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных. Вероятность того, что это будет вопрос по теме «Вписанная окружность», равна \(0,2\). Вероятность того, что это будет вопрос по теме «Параллелограмм», равна \(0,15\). Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: Обозначим события:
\(A\) – «школьнику достался вопрос по теме вписанная окружность»,
\(B\) – «школьнику достался вопрос по теме параллелограмм».
Тогда событие «школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем» будет суммой событий \(A\) и \(B\) (потому что нам подойдут они оба – или \(A\), или \(B\)). Причем заметим, что «вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», то есть, школьник не может вытащить билет сразу с двумя темами. Значит \(A\) и \(B\) вместе произойти не могут, иначе говоря, они несовместны. Зная всё это, получаем ответ:
Примеры, рассмотренные в данной статье могли показаться вам не слишком трудными. Однако разобраться в них важно, поскольку они – основа для решения более сложных задач.
Комбинаторика + классическая вероятность
Надо заметить, что если действовать исключительно переборным методом (как это делалось выше), с ростом числа монет быстро растет число комбинаций (для 5 монет – 32, для 6 монет – 64 и так далее), так что и вероятность ошибиться при выписывании исходов велика, метод решения теряет свою простоту и привлекательность.
Один из способов решения этой проблемы – остаться в рамках формулы классической вероятности, но использовать комбинаторные методы (см. формулы комбинаторики тут) для подсчета числа исходов. Поясню на примере последней задачи, решив ее другим способом.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 4 монет. Все исходы можно закодировать некоторой последовательностью вида $X_1 X_2 X_3 X_4$, где $X_i=O$ (в $i$-ый раз выпал орел) или $X_i=P$ (в $i$-ый раз выпала решка). Найдем число всех таких последовательностей. Значение $X_1$ (результат первого броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), значение $X_2$ (результат второго броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), и так далее. Итого получим всего $n=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ различных исходов. Или, если использовать формулу комбинаторики для числа размещений с повторениями из 2 объектов по 4 позициям, сразу получим $n=A_4^2=2^4=16$.
Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.
Например, если рассмотреть подобную задачу:
Пример 5. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза
Ради полноты изложения приведу еще пример задачи, решаемой подобным образом (но если хотите, можете сразу переходить к более простому способу 3).
Пример 6. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.
Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 6 монет. Так как каждый бросок дает 2 возможных исхода (О или Р), всего получим $n=2^6=64$ элементарных исхода (комбинации вида ОРОРОР, ОООРРР и т.д.).
Найдем число благоприятствующих исходов. Мысленно объединим два герба, которые должны появиться рядом, в один объект (ОО). Остается выбрать ему место среди остальных 4 решек (так гербов должно выпасть 2, то решек – 6-2=4). Существует $m=C_5^1=5$ способов выбрать позицию в последовательности из 5 объектов. Для наглядности, если выбрана позиция 2, то есть оба герба стоят на втором месте, это комбинация Р(ОО)РРР, если выбрана позиция 4 – РРР(ОО)Р.
Искомая вероятность: $P=m/n=5/64=0.078$.
Понятие обратного события и его вероятность
Событие, которое наступает, когда НЕ наступает событие \(A\), называется обратным событию \(A\) (обозначается \(\overline A\) ).
Наглядно события \(A\) и \(\overline A\) можно представить следующей картинкой:
То есть, события \(A\) и \(\overline A\) по определению включают в себя ВСЕ возможные исходы эксперимента (математики говорят «образуют полную группу исходов»). А это значит, что в любом эксперименте одно из этих событий наступит обязательно! Иными словами, суммарная вероятность их наступления равна \(100\%\): \(P(A)+P(\)\(\overline A\)\()=1\). Отсюда получаем формулу для вычисления вероятности обратного события:
\(P( \overline A)=1-P(A)\) , где \(P(A)\) – вероятность события \(A\)
\(P( \overline A )\) – вероятность события \(\overline A\) обратного событию \(A\).
Пример (ЕГЭ). Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем \(36,8 °С\), равна \(0,81\). Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется \(36,8 °С\) или выше.
Решение: Эксперимент тут – измерение температуры тела здорового человека, а исходами будут результаты измерения. Понятно, что какую-то температуру градусник покажет в любом случае, т.е. вероятности всех исходов дают в сумме единицу.
Также понятно, что события «температура ниже \(36,8 °С\)» и «температура равна или выше \(36,8 °С\)» – взаимно обратны (если произошло одно из них, то гарантировано не произошло другое, и наоборот).
Исходы, подходящие событию «температура ниже чем \(36,8 °С\)» имеют суммарную вероятность \(0,81\). Ну и как же найти суммарную вероятность исходов «температура равна или выше чем \(36,8 °С\)»???
До этого, конечно, безумно сложно догадаться, но решение таково:
\(P(\overline A )=1-0,81=0,19\)
Событие \(A+B\). Сложение вероятностей событий
Событием \(A+B\) называется такое событие, которое происходит если произошло хотя бы одно из событий \(A\) и \(B\) (то есть, произошло или \(A\), или \(B\), или они оба вместе).
Например, если событие \(A\) «на кубике выпало четное число», а событие \(B\) «на кубике выпало более двух очков», то событие \(A+B\) произойдет, если выпадет \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) или \(6\) очков.
Наглядно событие \(A+B\) можно представить так:
Вероятность \(A+B\) вычисляется по следующей формуле:
\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)\), где \(P(A)\) – вероятность события \(А\)
\(P(B)\) – вероятность события \(B\)
причем \(A\) и \(B\) – совместные события!
Замечание! Обычно в этом месте у учеников возникает непонимание – почему вычитается \(P(A·B)\), ведь оно входит в заштрихованную область? Чтобы это понять, давайте мысленно «пронумеруем» области на схеме, вот так:
А теперь подумайте: нам надо взять все исходы, подходящие хотя бы одному событию, то есть, взять области \(I\),\(II\) и \(III\) по одному разу. Однако если мы просто сложим все исходы \(A\) и все исходы \(B\) – мы возьмем область \(II\) два раза (ведь она входит и в \(A\), и в \(B\)! Именно поэтому мы убираем одну лишнюю область \(II\), вычитая \(P(A·B)\).
\(P(A+B)=P(A)+P(B)\), где \(P(A)\) – вероятность события \(A\)
\(P(B)\) – вероятность события \(B\)
причем \(A\) и \(B\) – не совместные события!
Пример (ЕГЭ). На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных. Вероятность того, что это будет вопрос по теме «Вписанная окружность», равна \(0,2\). Вероятность того, что это будет вопрос по теме «Параллелограмм», равна \(0,15\). Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: Обозначим события:
\(A\) – «школьнику достался вопрос по теме вписанная окружность»,
\(B\) – «школьнику достался вопрос по теме параллелограмм».
Тогда событие «школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем» будет суммой событий \(A\) и \(B\) (потому что нам подойдут они оба – или \(A\), или \(B\)). Причем заметим, что «вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», то есть, школьник не может вытащить билет сразу с двумя темами. Значит \(A\) и \(B\) вместе произойти не могут, иначе говоря, они несовместны. Зная всё это, получаем ответ:
Примеры, рассмотренные в данной статье могли показаться вам не слишком трудными. Однако разобраться в них важно, поскольку они – основа для решения более сложных задач.
Решебник по вероятности
А здесь вы найдете более 200 задач о бросании монет с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):
Бросание монет. Решение задач на нахождение вероятности
Кстати, сразу упомяну, что в контексте подобных задач не существенно, написать “бросают 3 монеты” или “бросают монету 3 раза”, результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).
Для задач о подбрасывании монеты существуют два основных метода решения, один – по формуле классической вероятности (фактически переборный метод, доступный даже школьникам), а также его более сложный вариант с использованием комбинаторики, второй – по формуле Бернулли (на мой взгляд он даже легче первого, нужно только запомнить формулу). Рекомендую по порядку прочитать про оба метода, и потом выбирать при решении подходящий.
Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично
Спасибо за ваши закладки и рекомендации