ВЗЯТО ИЗ ПОЛОЖЕНИЯ ФИПИ О ПРОВЕДЕНИИ ОГЭ 2023 ПО МАТЕМАТИКЕ
Максимальное количество баллов, которое может получить экзаменуемый за
выполнение всей экзаменационной работы, – 32 балла. Задачи 1-19 оцениваются в 1 балл, задачи 20-25 – в два балла.
Чтобы получить оценку выше двойки, необходимо набрать не менее 8 баллов, из них не менее 2 – по геометрии.
Дальнейшее соответствие набранных баллов и оценок представлено в таблице.
Вы успешно справитесь с заданием 11 ОГЭ по математике в 2023 году при условии, что
— это соответствие (зависимость, правило) между двумя множествами , при котором каждому элементу множества
На рисунке изображены три соответствия:
. Определим, какое из них является функцией, а какое – нет.
– функция. Обозначают
– область определения функции, обозначают
– область значений функции, обозначают
не является функцией, так как элементу множества X соответствует элемент множества Y.
не является функцией так как элементу
множества X соответствует два элемента () множества Y.
Доказываем геометрические гипотезы.
Задание 24OM21RБиссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке N, лежащей на стороне ВС. Докажите, что N – середина ВС.Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.Ответ: см. решение
Задание OM2505oВ параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC= ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.Рассмотрим треугольники BEC и AED. BE = EA, так как E – середина стороны AB по условию. EC= ED по условию, а BC = AD по свойству параллелограмма (противолежащие стороны равны). Таким образом, BE = EA, EC= ED, BC = AD. Следовательно, треугольники BEC и AED равны по трём сторонам.В равных треугольниках – равные элементы. Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180° по свойству параллелограмма , то углы равны 90° (180 / 2 = 90 ) .Следовательно, данный параллелограмм — прямоугольник.Ответ: доказано
Задание OM2503oОкружности с центрами в точках М и N пересекаются в точках S и Т, причём точки М и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.Алгоритм решения:Делаем чертеж по условию задачи.Рассмотрим треугольники SMN и TMN и установим их равенство.Воспользуемся свойством равных фигур для определения вида треугольника SMT.Используем свойство равнобедренного треугольника и делаем вывод.Решение:
1. Делаем чертеж согласно условия задачи.
2. Рассмотрим треугольники SMN и TMN. Они равны по трем сторонам:SM=TM как радиусы окружности с центром в точке М,SN=TN как радиусы окружности с центром в точке N,а MN – общая сторона (см. рисунок выше).3. По свойству равных фигур, , как соответствующие углы в равных треугольниках.4. Рассмотрим треугольник SMT.В нем по доказанному выше , а значит MN – биссектриса угла M. Данный треугольник равнобедренный с равными сторонами SM и TM.Следовательно, MN – высота по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника. Следовательно, .Ответ: доказано
Задание OM2502oОкружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.Алгоритм решения:Делаем чертеж по условию задачи.Рассмотрим треугольники CEF и DEF и установим их равенство.Воспользуемся свойством равных фигур для определения вида треугольника CED.Используем свойство равнобедренного треугольника и делаем вывод.Решение:
1. Делаем чертеж по условию задачи:
2. Рассмотрим треугольники CEF и DEF и установим их равенство:У них CE=DE, как радиусы окружности с центром в точке Е,Аналогично, CF = DF, как радиусы окружности с центром в точке F.EF – общая сторона.Значит, данные треугольники равны.Тогда по свойству равных фигур .Рассмотрим треугольник CED. У него CE=DE, поскольку это соответствующие стороны равных фигур. Значит, треугольник равнобедренный.EF – биссектриса угла E. следовательно, EF – высота по свойству равнобедренного треугольника. Отсюда следует, что .Ответ: доказано
Задание OM2501oОкружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках А и В, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой АВ. Докажите, что прямые АВ и IJ перпендикулярны.Алгоритм решения:Делаем чертеж.Определяем место расположения точек I и J.Используем свойство серединного перпендикуляра.Делаем вывод.Решение:
1. Делаем чертеж, согласно условия:
2. Определяем место расположения точек I и J:Точка I равноудалена от точек A и B. Аналогично, точка J равноудалена от концов отрезка AB.3. По свойству геометрического места точек, равноудаленных от концов отрезка, эти точки расположены на серединном перпендикуляре к отрезку AB.А если две точки I и J лежат на серединном перпендикуляре, прямая IJ совпадает с ним. Следовательно, прямые IJ и АВ перпендикулярны.Ответ: доказано
Решаем сложную геометрическую задачу.
Задание 25OM21RВ треугольнике АВС известны длины сторон АВ=36, АС=54, точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 900.Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.Составим отношение сторон: откуда по свойству пропорции АВ2=АЕАFРассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.Составим отношение сторон: ; откуда выразим AD=Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ2=АЕАF и AD=Видим, что 362=АЕАF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD=Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30Ответ: 30
Задание OM2604oОснование AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .Пусть O — центр данной окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC .Точка касания M окружностей делит AC пополам по условию.Лучи AQ и AO — биссектрисы смежных углов, так как касательные к окружностям равноудалены от центра. Так как AQ и AO — биссектрисы смежных углов, то угол OAQ прямой – смежные углы в сумме дают 180°, значит сумма их биссектрис:
180°/2 = 90°.
Далее рассмотрим прямоугольный треугольник OAQ. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, получаем:
AM² = MQ•MO
Отсюда:
QM = AM² / MOQM = 6² / 8 = 4,5Ответ: 4,5
Задание OM2603oТочки М и N лежат на стороне АС треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если cos ∠BAC = √11 / 6Алгоритм решения:Сделаем чертеж.Установим подобие треугольников AFM и ANF.Определим сторону FM.Определим ∠FNA.Найдем .Составим теорему синусов и найдем радиус окружности.Запишем ответ.Решение:1. Рассмотрим треугольники AFM и ANF. У них:Угол A является общим, а по доказанному выше.Следовательно, треугольник AFM подобен треугольнику ANF по двум углам. Отсюда вытекает:3. В треугольнике AFM сторона AF=3, сторона AM=9. Воспользуемся теоремой косинусов для определения FM:
Полученное значение означает, что AFM является равнобедренным. У него основание AF.
4. По свойству равнобедренного треугольника ∠FAM=∠AFM. Отсюда
5. Найдем
Значит,
6. Из FMN по теореме синусов:
где R – радиус описанной окружности.
Отсюда получим значение радиуса окружности:
Ответ: 5,4
Задание OM2602oБиссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки AM = 9 и MB = 12. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.Алгоритм решения:Сделаем чертеж.Определим равенство углов CDB и АВС.Определим соотношение отрезков, воспользовавшись свойством биссектрисы угла треугольника, и определим длину АВ.Покажем, что треугольники DAC и DCB подобны.Составим соотношения сторон подобных треугольников.Составим систему равенств.Решим систему.Запишем ответ.Решение:
1. Делаем чертеж.
2. Рассмотрим АСD. В нем, согласно свойству углов окружности, касательной и секущей,
угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла.
⇒∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА.
Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD.
3. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, согласно которому она делит АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,4. Рассмотрим DAC и DCB. У них:∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,∠ D – общий.Значит, DAC DCB по двум углам.5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:6. Составим систему равенств:7. Решим систему:Так как AD = DB-21, имеем:Таким образом, искомая длина CD=36.Ответ: 36
Задание OM2601oБиссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки AM = 5 и MB =10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.Алгоритм решения:Делаем чертеж.Определяем равенство угла между касательной и хордой и угла АВС.Определяем соотношение отрезков из свойства биссектрисы угла треугольника и найдем АВ.Показываем, что треугольники DAC и DCB подобны.Составляем соотношения сторон подобных треугольников.Составляем систему равенств.Решаем систему.Записываем ответ.Решение:
1. Выполняем чертеж данной задачи:
2. Рассматриваем АСD. В нем:Согласно свойству углов окружности, касательной и секущей, угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла. ∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА.
Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD.
3. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,4. Рассмотрим DAC и DCB. У них:∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,∠ D – общий.Следовательно, DAC DCB по двум углам.5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:6. Составим систему равенств:7. Решим систему:Ответ: 10
В 11-ом задании ОГЭ по математике идет работа с графиками функций. В большинстве случаев требуется установить соответствие между графиком функции и математическим выражением (формулой). В задании сопоставляется различная информация о функциях. Необходимо находить и использовать в выполнении задания область определения функции, ее промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, уметь читать графики функций. Работать надо с функциями, описывающими прямую пропорциональную зависимость, линейными функциями, гиперболами, квадратичными функциями. Хотя на самом экзамене мы ожидаем работу именно с графиками функций, тем не менее в некоторых заданиях дается вместо рисунков их описание. Это делается, чтобы подчеркнуть те детали, на которые надо обратить внимание при работе с графиками функций.
Теория к заданию №11
Так как в данном задании речь идет о функциях и их графиках, приведем основные понятия и формулы.
На произвольном примере ознакомимся с исследованием функции:
Теперь рассмотрим данный материал на линейной функции:
y = kx + b
где k – угловой коэффициент, b – свободный член
Рассмотрим случай квадратичной функции:
Также вспомним, что такое коренная функция и модуль:
Задание OM1104oУстановите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.1) y = x²2) y = x/23) y = 2/xДля решения данной задачи необходимо знать вид графиков функций, а именно:y = x² – парабола, в общем виде это y = ax²+bx+c, но в нашем случае b = c = 0, а а = 1x/2 – прямая, в общем виде график прямой имеет вид y = ax + b, в нашем случае b = 0, а = 1/2y = 2/x – гипербола, в общем виде график функции y = a/x + b, в данном примере b = 0, a = 2Парабола изображена на рисунке А, гипербола на рисунке Б, а прямая – В.
Ответ: 132
Задание OM1102oУстановите соответствие между функциями и их графиками.A) y = -3/xБ) y = 3/xВ) y = 1/(3x)В данной ситуации можно воспользоваться двумя подходами — можно руководствоваться общими соображениями, а можно просто решить задачу подстановкой. Я рекомендую решать задачу общими соображениями, а проверять подстановкой.если уравнение гиперболы положительное (то есть не стоит знак -, как во втором и третьем случае), то график функции лежит в первой и третьей координатной четвертиесли перед уравнением гиперболы стоит знак — (как в первом случае), то график лежит во второй и четвертой четвертяхТаким образом можно сразу определить, что первое уравнение соответствует графику под номером 2.Второе правило, которым я пользуюсь, звучит так:чем больше число в знаменателе гиперболы (рядом с x), тем сильнее гипербола жмется к осям координатной плоскостичем больше число в числителе уравнения гиперболы, тем слабее и медленнее график функции прижимается к осямСледовательно, функция Б слабее прижимается к осям и ей соответствует график 3, а функции В соответствует график 1, так как она сильнее прижимается к осям.
Ответ: 231
В задании 16 проверяется умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. По спецификации ОГЭ здесь могут встретиться задания, связанные с необходимостью нахождения длин, углов и площадей.
Проверьте, что вы не ошибаетесь в определениях тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.
Кроме того, убедитесь, что все данные задачи отражены на вашем чертеже. При необходимости применяйте теорему Пифагора. Если сюжет задачи развивается в равнобедренном треугольнике, то учтите, что высота, опущенная из вершины такого треугольника, делит его на два равных прямоугольных треугольника и далее задача решается в прямоугольном треугольнике. Если события происходят в окружности, то, помимо всего прочего, надо учесть, что вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. Пусть треугольник вписан в окружность. Если этот треугольник остроугольный, то центр окружности лежит внутри треугольника. Если этот треугольник тупоугольный, то центр окружности лежит вне треугольника. А если это прямоугольный треугольник, то центр окружности лежит на середине гипотенузы.
В 16 задании нам предстоит продемонстрировать свои знания в нахождении неизвестных элементов треугольника. Это могут быть углы, стороны, высоты, медианы или биссектрисы. Могут встретится задания на нахождение площади.
Теория к заданию №15
Так как задания №16 основаны на теории по теме “треугольники”, рассмотрим базовые понятия, определения и формулы.
Вначале предлагаю рассмотреть углы на плоскости:
Многие задачи построены на нахождении медиан и биссектрис треугольника:
Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.
Теперь вспомним основные формулы нахождения площади треугольника:
Во многих задачах встречается понятие средняя линия:
Средняя линия – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Теперь рассмотрим частные случаи треугольников – равнобедренный, равносторонний, прямоугольный.
Перейдем к рассмотрению равнобедренного треугольника:
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.
Свойства равнобедренного треугольника:
Рассмотрим равносторонний треугольник:
Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
Задание 15OM21RВ треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 840, АD – биссектриса. Найдите угол ВАD. Ответ дайте в градусах.Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 840:2=420Ответ: 42
Задание OM1611oВ равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123° . Найдите величину угла ВАС. Ответ дайте в градусах.Для решения этого задания нужно помнить два факта:Внутренний угол с внешним углом дают в сумме 180°Углы при основании равнобедренного треугольника равны.Из первого пункта следует, что угол BCA = 180 – 123 = 57°Из второго – что ∠BCA = ∠BAC = 57°Ответ: 57
Задание OM1610oБиссектриса равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите его сторону.До этого мы искали медиану, биссектрису или высоту равностороннего треугольника по формуле:m = ( a • √3 )/ 2Здесь же нам необходимо решить обратную задачу, найти a, если известно m.a = ( 2 • m ) / √3a = ( 2 • m ) / √3 = ( 2 • 11 • √3 ) / √3 = 22Ответ: 22
Задание OM1609oКатеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите гипотенузу этого треугольника.Воспользуемся теоремой Пифагора:c² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400c = √400 = 20Ответ: 20
Задание OM1608oСторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите его высоту.Вспоминаем, что в равностороннем треугольнике высота является и медианой и биссектрисой.Для медианы, а значит и для высоты, формулу я приводил чуть выше:m = ( a • √3 )/ 2m = ( 12√3 • √3 )/ 2 = ( 12 • 3 )/ 2 = 36 / 2 = 18Ответ: 18
Задание OM1607oДва катета прямоугольного треугольника равны 15 и 4. Найдите его площадь.Формула площади для прямоугольного треугольника выглядит следующим образом:Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.Это следует из того, что один из катетов является высотой к основанию, которым является второй катет.Исходя из вышесказанного, можем решить задачу:S = ½ • 15 • 4 = 30Ответ: 30
Задание OM1606oВ треугольнике ABC известно, что AC = 56, BM – медиана, BM = 48. Найдите AM.Для решения необходимо вспомнить определение медианы.Медиана – отрезок, проведенный из вершины и делящий противоположную сторону на два равных отрезка.Таким образом, медиана BM делит сторону AC (противоположную вершине B) пополам, следовательно^AM = ½ AC = ½ 56 = 28Ответ: 28
Задание OM1605oОдин из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите второй острый угол. Ответ дайте в градусах.Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а в прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то сумма двух острых углов равна 90°. Отсюда можно вывести следующее правило:Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.Следовательно, второй острый угол равен:90 – 23 = 67°Ответ: 67
Задание OM1604oСторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите его медиану.Для решения этой задачи необходимо знать формулу медианы в равностороннем треугольнике, или уметь выводить её из теоремы Пифагора. В данном случае мы воспользуемся готовой формулой, и я советую вам её запомнить, чтобы не тратить время на вывод в каждом случае:m = ( a • √3 )/ 2Где m – медиана в равностороннем треугольнике, а a – сторона. Таким образом, для решения данной задачи подставим значение в формулу:m = ( 10√3 • √3 )/ 2 = ( 10 • 3 )/ 2 = 30 / 2 = 15Ответ: 15
Задание OM1603oВ треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 122°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.Если в треугольнике две стороны равны – значит он равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, угол в вершине равен 122°, значит сумма углов при основании равна:180 – 122 = 58°Так как углы при основании равны, значит угол BCA равен углу BAC:58° = ∠BCA + ∠BAC = 2 ∠BCA∠BCA = 58 / 2 = 29°Ответ: 29
Задание OM1602oТочки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 20, сторона BC равна 58, сторона AC равна 64. Найдите MN.Для решения этой задачи не нужно пользоваться всеми данными в условии. Для успешного решения необходимо знать, что такое средняя линия треугольника.Средняя линия – это линия соединяющая середины сторон и параллельная основанию.Средняя линия равна половине основания, которому она параллельна.Таким образом, если точки M и N являются серединами сторон AB и BC, значит эта линия параллельна AC – третьей стороне. А это в свою очередь означает, что она равна половине AC:MN =½ • AC = 64 / 2 = 32Ответ: 32
Задание OM1601oВ треугольнике два угла равны 73° и 48°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.Для решения этого задания достаточно знать правило – сумма углов в треугольнике равна 180°.Нам известны два угла, значит можем найти третий:180 – 73 – 48 = 59Ответ: 59
Практические задачи с ответами для задания №16 ОГЭ 2022 по математике для 9 класса, центральный и вписанный угол, касательная, хорда, секущая, радиус, окружность, описанная вокруг многоугольника решу ОГЭ онлайн на сайте.
Задание 16 ОГЭ 2022 математика 9 класс с ответами окружность
1)Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 39°. Ответ дайте в градусах.
2)Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 64°. Ответ дайте в градусах.
3)Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 25°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
4)Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром О. Угол ACB равен 28°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
5)В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 40°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
6)В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 38°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
7)На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что NBA = 36°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
8)На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что NBA = 42°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
9)Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ABC = 56° и OAB = 15°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
10)Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ABC = 62° и OAB = 53°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
11)Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ABC = 76°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
12)Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ABC = 57°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
13)Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 100°, угол CAD равен 31°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
14)Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 29°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
15)Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 10°, угол CAD равен 62°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
16)Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 12°, угол CAD равен 71°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
17)На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что AOB = 45°. Длина меньшей дуги AB равна 10. Найдите длину большей дуги
18)На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что AOB = 30°. Длина меньшей дуги AB равна 12. Найдите длину большей дуги.
19)Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 25°. Ответ дайте в градусах.
20)Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 27°. Ответ дайте в градусах.
21)Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 2,5. Найдите AC, если BC = 3.
22)Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 12,5. Найдите AC, если BC = 7.
23)Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 15. Найдите BC, если AC = 24.
24)Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20,5. Найдите BC, если AC = 9.
25)Точка О – центр окружности, ACB = 75°. Найдите величину угла BOA (в градусах).
26)Точка О – центр окружности, ACB = 60°. Найдите величину угла BOA (в градусах).
27)Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 11. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.
28)Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 17. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.
29)Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C таким образом, что OABC – ромб. Найдите угол OAB. Ответ дайте в градусах.
30)Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C таким образом, что OABC – ромб. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
31)Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ABC = 109° и OAB = 48°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
32)Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ABC = 131° и OAB = 53°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
33)В угол C величиной 80° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O – центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
34)В угол C величиной 73° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O – центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
35)Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 60°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
36)Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 54°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
37)Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP = 30, CP = 12, DP = 20 . Найдите AP.
38)Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP = 4, CP = 12, DP = 24. Найдите AP.
39)На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 142°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
40)На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 96°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
41)Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 3, AC = 12. Найдите AK.
42)Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 3, AC = 27. Найдите AK.
43)Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О – центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 125°.
44)Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О – центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 135°.
45)Отрезок AB = 8 касается окружности радиуса 6 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.
46)Отрезок AB = 24 касается окружности радиуса 7 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.
47)К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 15, AO = 17.
48)К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 8, AO = 10.
49)На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 7 и BC = 18. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
50)На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 12 и BC = 8. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведѐнной из точки B к этой окружности.
51)Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 64°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
52)Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 72°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
53)Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 9. Найдите диаметр окружности
54)Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 35. Найдите диаметр окружности.
55)Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 10.
56)Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 5.
57)Радиус круга равен 3. Найдите его площадь, деленную на π.
58)Радиус круга равен 5. Найдите его площадь, деленную на π.
59)Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3 : 4 : 11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 16.
60)Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3 : 7 : 8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 25.
61)В треугольнике ABC известно, что AC = 24, BC = 10, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника
62)В треугольнике ABC известно, что AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
63)Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите C, если A = 64°. Ответ дайте в градусах.
64)Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите C, если A = 59°. Ответ дайте в градусах.
65)Радиус окружности с центром в точке O равен 65, длина хорды AB равна 126. Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k, если k и AB расположены по разные стороны от центра окружности.
66)Радиус окружности с центром в точке O равен 82, длина хорды AB равна 36. Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k, если k и AB расположены по разные стороны от центра окружности.
67)Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
68)Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
69)Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 177°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
70)Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и ∠ABC = 107°. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах
71)Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 6.
72)Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 4.
Задание 15 ОГЭ 2022 математика 9 класс с ответами
Прогрессии задание 14 ОГЭ 2022 математика 9 класс с ответами
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
Разбор решения задания 11 ОГЭ по математике
Рассмотрим несколько примеров того, как решать 11 задания ОГЭ по математике 2023.
Найдите область определения и область значений функции y=
Напомним свойства функций, которые применяются в задании 11.
На рисунках изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций. В таблице под каждой буквой запишите соответствующий номер.
Пример 3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
1) y= – x– 2x+1 2) y= x+2x– 1 3) y=x– 2x– 1
Решение. Из трёх формул 1) – 3) только в формуле 3 старший коэффициент отрицательный, а из графиков только у графика В ветви параболы направлены вниз, значит В соответствует 1. В формуле 2 а в формуле 3 значит А соответствует 3, а Б – 2.
Решение. Графиком квадратичной функции А является парабола, значит А соответствует 3. График обратной пропорциональности Б гипербола 1, а графиком линейной функции В является прямая 2.