Вписанный четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник – это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности.
В этом случае окружность называется описанной.
не каждый четырёхугольник можно вписать в окружность
Свойство и признак вписанного четырехугольника
Если четырехугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащих углов равна
свойство вписанного четырехугольника
Пусть четырёхугольник вписан в окружность. Докажем, что
Так как углы и являются вписанными, то
◡ и ◡ (свойство вписанного угла).Сумма этих дуг составляет окружность: ◡ +◡ Из этого следует, что Аналогично:
Распознать четырёхугольники, около которых можно описать окружность, позволяет следующая теорема.
Если в четырёхугольнике сумма противолежащих углов равна , то он является вписанным в окружность.
признак вписанного четырехугольника
Пусть в четырехугольнике сумма противолежащих углов
признак вписанного четырёхугольника
Предположим, что около четырёхугольника нельзя описать окружность.Тогда опишем окружность около треугольника , в таком случае точка будет лежать вне или внутри этой окружности. Пусть она лежит вне её.
Тогда прямая пересекает окружность в другой точке; пусть в точке . Значит четырёхугольник является вписанным и
Из равенств и заключаем, что
, но этого не может быть так является внешним углом треугольника и большего любого не смежного с ним, в частности
Обе теоремы можно сформулировать в виде одной теоремы:
Для того чтобы четырёхугольник был вписанным в окружность, необходимо
и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов была равна .
необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника
Следствия из теоремы
Вопросы для самоконтроля
Задачи I и II уровня сложности
Задачи III уровня сложности
В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.
Пример описанного четырёхугольника
Все треугольники имеют вписанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, в который нельзя вписать окружность, может служить прямоугольник, не являющийся квадратом. Раздел «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы четырёхугольник был описанным.
или . Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.
Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру s четырёхугольника:
Далее выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является описанным тогда и только тогда, когда
Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.
Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.
Площадь K касательного четырёхугольника задаётся формулой
дающая площадь в терминах диагоналей p, q и сторон a, b, c, d касательного четырёхугольника.
где O является центром вписанной окружности.
где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.
Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a, b, c, d удовлетворяет неравенству
Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр p описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству
с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник — квадрат.
Свойства частей четырёхугольника
Описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r.
Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида.
Радиус вписанной окружности
где S — площадь четырёхугольника, а p — полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным.
Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD. Если u = AO, v = BO, x = CO и y = DO, то
Формулы для углов
Прямая Нагеля QO и ортоцентры HM, HN, HK, HL
Конкурентные и перпендикулярные прямые
где e, f, g и h — отрезки касательных в вершинах A, B, C
и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что “центроид вершин” описанного четырёхугольника совпадает с центром вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.
Свойства четырёх внутренних треугольников
Описание Чао и Симеонова (Chao, Simeonov) в терминах радиусов окружностей, вписанных в каждый из четырёх и треугольников
Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.
где m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB) — площадь треугольника APB.
Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника
Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным.
Larry Hoehn. A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral. — 2011. — .
Martin Josefsson. On the inradius of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010b. — .
Вписанные и описанные четырехугольники
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.
Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах.
Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны
Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Теорема 3. Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.
Теорема 4. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Теорема 5. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.
Теорема 6. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Теорема 7. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Теорема 8. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.
Теорема 9. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
Теорема 10. В любой ромб можно вписать окружность.
Теорема 11. В любой квадрат можно вписать окружность.
Теорема 12. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.
Теорема 13. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
Теорема 14. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.
Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
Задача 1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .
Задача 2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .
Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .
Задача 3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.
Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .
Задача 4. Угол A четырехугольника
, вписанного в окружность, равен
вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна
Сумма всех углов четырехугольника равна
А сумма каждой пары противоположных углов равна
(т.к. четырехугольник вписан в окружность).
Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:
Подставляем второе уравнение в первое и получаем
Задача 6. Стороны четырехугольника
стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно
Угол А – вписанный, опирается на дугу
, равную сумме дуг
Тогда вписанный угол А равен половине дуги
расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги
градусные величины которых относятся соответственно как
Найдите угол A четырехугольника
Обозначим градусные величины дуг
Задача 8. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна
Выразим сторону квадрата через его диагональ:
Задача 9. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.
Задача 10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен
Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.
Рассмотрим равнобедренную трапецию
Тогда боковые стороны
– равнобедренный, т.к.
и равносторонний, т.к.
– параллелограмм по построению, но
– ромб, и
Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию –
Задача 11. Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.
Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру,
Задача 12. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований
Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований:
Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны:
Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и
Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.
В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как
Радиус окружности равен половине диаметра:
Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому
Задача 15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).
тогда боковая сторона
Радиус вписанной окружности равен половине
Задача 16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.
Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:
Задача 17. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.
Задача 18. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.
Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:
Задача 19. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найти радиус вписанной окружности.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.
– прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза
равна сумме оснований трапеции (т.к.
– параллелограмм, и
является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника
Задача 20. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.
Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту
проходящую через точку О. Тогда
– прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем:
Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ. Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.
Задача 21. В четырёхугольник
можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а
Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.
Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника
образуется четыре прямоугольных треугольника. Это
Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:
Мы получили систему уравнений.
Сложив первое и третье из них и выразив
Это мы нашли в самом начале.
Из системы уравнений
Перестроим чертеж. Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник
равны по трем сторонам. Значит, углы
вписан в окружность, поэтому сумма углов
равна 180 градусов. Мы получили, что углы
– прямые. Тогда
По теореме Пифагора для
Если вы хотите разобрать большее количество примеров – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Вписанные и описанные четырехугольники» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
07.06.2023
Введение
В этой
заметке приводится решение задачи под номером №19 варианта № 11. Задание содержит
три спорных утверждения. В ответе следует указать номер верного утверждения.
Вопрос № 1
«Через
точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой
прямой»
Самый
убедительный способ доказать, что нечто можно сделать, показать, как это
делается. В данном случае при помощи циркуля и линейки. (Циркуль — это
инструмент для черчения окружности).
Но не пугайтесь, программа PowerPoint нам его заменит.
Построим
прямую AB, точку O и окружность с центром в этой точке
Допустим, С
это середина отрезка AB
Проведём
прямую через точки O и C
AO = OB – радиусы окружности
значит Δ AOB – равнобедренный
OC –
медиана в равнобедренном треугольнике,
опущенная на
его основание,
значит OC – высота, то есть перпендикуляр,
проведённый
через точку O на прямую AB
Таким
образом, первое утверждение верно и в ответ ставим цифру 1.
Вопрос №
2
«В любой прямоугольник
можно вписать окружность»
Начертим
прямоугольник ABCD и попробуем вписать в него окружность.
Чтобы это
сделать необходимо найти точку, равноудалённую от сторон прямоугольника.
Множество
всех точек, равноудалённых от сторон BC и AD, расположено на прямой MN,
где M – середина AB, а N – середина CD
Множество
всех точек, равноудалённых от прямых AB и CD, расположено на прямой EK,
здесь E – середина AD, а K – середина BC
Казалось бы,
расположенная на пересечении MN и EK точка O, должна быть равноудалённой и от всех четырёх сторон,
то есть OM = ON = OK = OE
но, увы, это
так, только в том случае, если все стороны прямоугольника равны, то есть он
является квадратом.
Если что и
можно вписать в наш прямоугольник ABCD, так это эллипс:
Итак,
второе утверждение не верно, и в ответ цифру 2 не пишем.
Вопрос №
3
«Любая
биссектриса равнобедренного треугольника является медианой»
То, что биссектриса,
опущенная из вершины равнобедренного треугольника на его основание, является
медианой – общеизвестный факт. А вот является ли медианой биссектриса угла при
основании равнобедренного треугольника, вопрос, конечно, интересный. Кажется
очевидным, что это не всегда так. Но, математика – наука строгая и требует доказательств.
Построим
равнобедренный треугольник ABC с биссектрисой AD угла A при основании.
Допустим,
что BD = DC
Опустим из
точки D перпендикуляр
DE на сторону AB и перпендикуляр DK на сторону AC.
Поскольку AD биссектриса, любая точка на ней, в том
числе, точка D равноудалена от сторон угла, значит DE = DK.
Из теоремы
Пифагора следует, что если две стороны одного прямоугольного треугольника равны
двум сторонам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.
Δ DBE =
Δ DKC, так как они прямоугольные, DE = DK, DB =
DC.
Отсюда следует, что ∟B =
∟C = ∟ A
В любом
треугольнике против равных углов лежат равные стороны, следовательно, Δ ABC – равносторонний.
Таким образом,
доказано, что любая биссектриса треугольника является медианой тогда и только
тогда, когда этот треугольник не просто равнобедренный, но и равносторонний,
а в общем случае это утверждение не верно.
Значит, в
ответ цифру 3 не пишем
Основные выводы
Желаю новых
успехов в подготовке к ОГЭ!
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.
Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.
В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если
И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:
то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.
AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,
то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.
3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.
(как отрезки касательных, проведенных из одной точки).
(как радиусы, проведенные в точки касания).
5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
где p — полупериметр четырехугольника.
Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.
Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и
Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен
Для описанного четырехугольника ABCD
Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)
Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Дано: ABCD вписан в окр. (O; R)
∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.
∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.
Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то
Что и требовалось доказать.
Теорема (признак вписанного четырёхугольника)
Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.
Дано: ABCD — четырёхугольник,
Доказать: ABCD можно вписать в окружность
Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.
Доказательство будем вести методом от противного.
Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.
Пусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.
В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.
По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.
Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.
Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то
∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.
Предположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.
Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.
По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.
Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,
∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.
Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.
Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)
Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.