Тесты по темам
Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.
На рисунке изображён график функции f (x)=ax^2+bx+c. Найдите c.
Рисунок к задаче. На рисунке изображен график функции f (x)
Нам даны точные координаты четырех точек — они отмечены на рисунке точками. Это точки с координатами (3; -1), (4; -4), (5; -3), (6; 2).
Координаты точек на графике.
В уравнении три неизвестных, значит, нам достаточно взять три точки и подставить их координаты в уравнение функции, а затем решить полученную систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
От второго уравнения системы отнимем первое уравнение:
Теперь отнимем от (3) -го (2) -е уравнение, получим:
И нашу систему можно записать в виде:
Теперь из (3) вычтем (2):
Найдем из равенства: ;
подставим в (1):
9 cdot 2+3 cdot (-17)+c=-1
Уравнение функции тогда
Проверим правильность найденной функции, подставив в полученное уравнение координаты четвертой точки (6; 2), которые мы не использовали для составления системы уравнений:
2=2 (6)^2-17 cdot 6+32
Все верно. Таким образом, значение с=32.
( 3 оценки, среднее 3.67 из 5 )
Что такое тангенс угла и как его найти
Живущим людям на Землевсегда хотелось знать,как путь найти в пустыне, море,и можно к звёздам ли попасть.
Хотелось труд свой облегчить,создать машины, чтоб летать.И чтоб вопросы разрешить,пришлось про тангенс всем узнать.
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.
Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.
Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.
№8. Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.
Опустим перпендикуляр AH на сторону OB.
Рассмотрим прямоугольный △ A O H :
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg ∠ A O H = A H O H = 4 2 = 2
№9. Найдите тангенс угла A треугольника ABCб изображённого на рисунке.
Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg ∠ B A C = B C A C = 2 5 = 0,4
№10. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя рисунок, найдите sin ∠ B A H .
Рассмотрим прямоугольный △ A B H :
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin ∠ A = B H A B
Найдем AB по теореме Пифагора:
A B 2 = A H 2 + B H 2
A B 2 = 3 2 + 4 2
A B 2 = 9 + 16 = 25
A B = 5
sin ∠ A = B H A B = 4 5 = 0,8
№11. На рисунке изображен ромб ABCD. Используя рисунок, найдите tg ∠ O B C .
tg ∠ O B C = O C B O = 3 4 = 0,75
№12. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя рисунок, найдите cos ∠ H B A .
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos ∠ A B H = B H A B
Найдем A B по теореме Пифагора:
A B 2 = 6 2 + 8 2
A B 2 = 36 + 64 = 100
A B = 10
cos ∠ A B H = B H A B = 8 10 = 0,8
№13. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке.
tg β = tg ( 180 ° − α ) = − tg α
Рассмотрим прямоугольный △ B C H .
tg α = C H B H = 3 1
tg β = − tg α = − 3
№14. Найдите тангенс угла AOB.
Опустим высоту BH на сторону OA.
Рассмотрим прямоугольный △ O B H :
tg ∠ O = B H O H
Найдем B H и O H по теореме Пифагора:
B H 2 = 2 2 + 8 2 = = 4 + 64 = 68
B H = 2 17
O H 2 = 1 2 + 4 2 = 1 + 16 = 17
O H = 17
tg ∠ O = B H O H = 2 17 17 = 2
Задание 3715
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Задание 3716
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Задание 3717
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Задание 3718
Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
Задание 3371
Радиус основания конуса равен 3, а высота 4. Центр шара совпадает с центром основания конуса и касается боковой поверхности конуса. Найдите отношение объемов шара и конуса.
Задание 4908
Во сколько раз уменьшится объем октаэдра, если все его ребра уменьшить в два раза?
Для решения данных заданий надо помнить, что периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия, площади – как квадрат коэффициента подобия, а объемы – как куб коэффициента подобия. То есть, если уменьшить ребро в два раза, объем изменится в 8 раз
Задание 5098
Для каждой грани куба с ребром 6 проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2. Найдите объем оставшейся части.
Задание 6563
В конус вписан цилиндр так, что плоскость его верхнего основания делит высоту конуса пополам. Найдите объем цилиндра, если объем конуса равен 12.
Задание 7033
Найдите объём пирамиды, изображённой на рисунке. Её основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
ЕГЭ по математике профильный уровень На рисунке изображены части графиков функций f (x)=k/x и g (x)=c/x+d. Найдите абсциссу точки пересечения графиков этих функций
Задание из сборника типовых экзаменационных заданий под редакцией И.В. Ященко по ЕГЭ профильного уровня 2023 год. Взято только условие. Подробное решение приведено ниже. Задача объемная, но простая. Важно знать функции и их графики, геометрический смысл коэффициентов.
На рисунке изображены части графиков функций g (x) и f (x)
Для точного определения функции, необходимо знать значения коэффициентов
расположен ниже графика
так как он не смещен в вертикальном направлении и не пересекает ось
Определение координат точек функций
Для него возьмем точки с координатами
Определим для первой функции
, подставив в нее координаты точки
Отсюда находим, что
Проверим, используя координаты второй точки:
Итак, первая функция определена:
Определим вид второй функции. В ней две неизвестных, поэтому необходимо решить систему из двух уравнений, каждое из которых получается, если в исходное уравнение
На графике находим координаты двух точек:
Из первого уравнения системы выразим
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
Упростим и найдем
Итак, вторая функция будет иметь вид:
Нам в задаче нужно найти абсциссу точки пересечения графиков двух функций. То есть найти координату
Если графики пересекаются, то в точке пересечения равны и абсциссы (
) и ординаты (
Если левые стороны уравнений функций равны, то равны и правые:
Решим полученное уравнение:
. Сделаем проверку. Подставим значение
сначала в первое уравнение, потом во второе уравнение. Значения
Задача решена верно.
Посмотрите, если построить графики этих функций, то вот где будет точка их пересечения.
Графики функций f (x) и g (x) и их пересечение, зеленым цветом выделен график функции f (x), а красным — g (x).
Похожая задача решена здесь.
( 4 оценки, среднее 5 из 5 )
Найдите тангенс угла A треугольника ABC, изображенного на рисунке.
Найдите тангенс угла A треугольника ABC , изображенного на рисунке.
Посмотрим на рисунок и узнаем числовые значения BC и AC , посчитав их по клеточкам.
Посчитали и получили BC = 2, AC = 5. Нужно найти tg угла А.
В треугольнике ABC известно, что AC = BC = 4√5, AB = 16. Найдите tg A.
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.
В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.
Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.
Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.
Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.
Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.
Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).
Тангенс — это отношение.
Итак, есть два определения:
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу.
Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.
Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan(α).
Как найти тангенс угла (формулы)
Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.
Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому
Так как тангенс – это отношение катетов, то
Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.
Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.
Как найти тангенс по клеточкам
Учитывая первое определение, можно определить, как найти тангенс угла по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.
Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:
Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение
и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.
Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится зависимость тангенса и косинуса:
Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Я Очень Люблю Правила, Теоремы, Формулы по Предмету «Математика», «Алгебра».
Прочитал статью и остался один главный вопрос, а собственно без вспомогательных таблиц найти угол В ГРАДУСАХ вообще возможно и есть ли у вас статья, где рассказыввается как это сделать? Спасибо.
Я ни разу не математик, но почему у вас сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. А так все хорошо начиналось. Объясняете хорошо, но после таких ошибок у меня сомнения что информация верная.
Спасибо. Уточнил в тексте, что это сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника.
Пишу стихи. Востребован тангенс для решения жизненных ситуаций поскольку состоит из тех же функций,как-то, касающийся,прилежащий, трогающий. Куда без них денешься.
3 способ – используем преобразование графиков функций
Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.
Главный недостаток этого способа – вершина должна иметь целые координаты.
Сам способ базируется на следующих идеях:
У вас наверно остался вопрос – как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:
Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).
А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).
То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:
(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)
Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:
2 способ – находим формулу по точкам
Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:
Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).
Таким образом имеем систему:
Сложим 2 уравнения:
(2=2a)
(a=1)
Подставим во второе уравнение:
(-2=1+b)
(b=-3)
Теперь найдем точки пересечения двух функций:
(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)
Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:
(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)
1 способ – ищем коэффициенты на графике
Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.
Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).
Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).
Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).
Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:
Тест по задачам №8, составные многогранники
Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь.
№8. Найдите тангенс угла A O B , изображенного на рисунке.
Опустим перпендикуляр A H на сторону O B .
Рассмотрим прямоугольный △ A O H :
tg ∠ A O H = A H O H = 4 2 = 2
№9. Найдите тангенс угла A треугольника A B C б изображённого на рисунке.
tg ∠ B A C = B C A C = 2 5 = 0,4
№10. На рисунке изображена трапеция A B C D . Используя рисунок, найдите sin ∠ B A H .
Рассмотрим прямоугольный △ A B H :
sin ∠ A = B H A B
Найдем A B по теореме Пифагора:
A B 2 = A H 2 + B H 2
A B 2 = 3 2 + 4 2
A B 2 = 9 + 16 = 25
sin ∠ A = B H A B = 4 5 = 0,8
№11. На рисунке изображен ромб A B C D . Используя рисунок, найдите tg ∠ O B C .
tg ∠ O B C = O C B O = 3 4 = 0,75
№12. На рисунке изображена трапеция A B C D . Используя рисунок, найдите cos ∠ H B A .
cos ∠ A B H = B H A B
A B 2 = 6 2 + 8 2
A B 2 = 36 + 64 = 100
cos ∠ A B H = B H A B = 8 10 = 0,8
tg β = tg ( 180 ° − α ) = − tg α
Рассмотрим прямоугольный △ B C H .
tg α = C H B H = 3 1
№14. Найдите тангенс угла A O B .
Опустим высоту B H на сторону O A .
Рассмотрим прямоугольный △ O B H :
Найдем B H и O H по теореме Пифагора:
B H 2 = 2 2 + 8 2 = = 4 + 64 = 68
O H 2 = 1 2 + 4 2 = 1 + 16 = 17
Составные многогранники. Площадь поверхности. Объем
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания $0,4$ и боковым ребром $1.$ Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.
Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в $6$ раз?
Площадь поверхности тетраэдра равна $1.$ Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Объем тетраэдра равен $1,5.$ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,;B,;C,;A_1,;C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 7.
Вы можете пройти тест “Cоставные многогранники”