Седьмое декабря
Классная работа
Тема: Равнобедренные и равносторонние треугольники
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. У данного треугольника АВС АВ=ВС. Равные стороны АВ и ВС называются боковые, а сторону АС – основанием треугольника.
Свойства равнобедренного треугольника
- У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так, у данного треугольника угол А равен углу В:
Свойства равнобедренного треугольника
2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
3. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
4. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства 2, 3 и 4 показаны на данном рисунке в треугольнике АВС. Мы видим, что отрезок АD, проведенный к основанию ВС, является биссектрисой (делит угол А пополам), медианой (ВD=DC), высотой (АD перпендикулярен ВС). Эти свойства работают для равнобедренного треугольника только тогда, когда отрезок проведен именно к основанию.
Равносторонний треугольник
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. На рисунке мы видим, что стороны АВ, ВС и АС равны.
Работа с учебником
Откройте учебник на странице 34 и прочитайте пункт 18 Свойства равнобедренного треугольника. Выпишите в тетрадь теоремы.
Задача 2
В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Пройдите тест
- Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:
- а) всегда верно;
- б) может быть верно;
- в) всегда неверно.
- Если треугольник равносторонний, то:
- а) он равнобедренный;
- б) все его углы равны;
- в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
- В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?
- а) в любом;
- б) в равнобедренном;
- в) в равностороннем.
- Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:
- а) всегда верно;
- б) может быть верно;
- в) всегда неверно.
- Если треугольник равнобедренный, то:
- а) он равносторонний;
- б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;
- в) два его угла равны.
- В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?
- а) в любом;
- б) в равнобедренном;
- в) в равностороннем.
- Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является:
- а) равносторонним;
- б) равнобедренным;
- в) прямоугольным.
- Если в треугольнике две стороны равны, то:
- а) у него равны два угла;
- б) у него все углы равны;
- в) этот треугольник равносторонний.
Домашнее задание
- Выучить теорию
- Решить тест
- Рассмотреть и записать решение задач.
Биссектриса и медиана в геометрии
Биссектриса и медиана – два важных понятия в геометрии, связанные с треугольниками. Интересно, что в равнобедренном треугольнике они пересекаются. Но чтобы понять, почему так происходит, давайте разберемся с определением каждого из этих терминов.
Биссектриса
Биссектриса – это линия, которая делит угол на две равные части. В равнобедренном треугольнике биссектриса делит основание на две равные части. Мы можем представить себе, что биссектриса – это линия, которая раздвигает основание треугольника пополам.
Медиана
Медиана – это линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В равнобедренном треугольнике медиана делит основание пополам и проходит через вершину.
Почему биссектриса равнобедренного треугольника является медианой?
Представим себе равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Проведем биссектрису угла BAC и обозначим точку пересечения с основанием как D. Так как треугольник ABC равнобедренный, то длины отрезков AD и CD равны.
Теперь рассмотрим медиану треугольника ABC, которая соединяет вершину B с точкой M — серединой основания AC. По определению медианы, длина отрезка BM равна длине отрезка MA.
Из предыдущего пункта мы знаем, что отрезок MA равен отрезку MD, так как BD равно DC. То есть, длины отрезков BM и MD равны. Значит, точка M, являющаяся серединой основания AC и пересечением биссектрисы и медианы, разделяет медиану пополам. Таким образом, любая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой.
Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
- Биссектриса равнобедренного треугольника делит основание на две равные части.
- Биссектриса равнобедренного треугольника является высотой и медианой.
- Биссектрисы всех трех углов равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.
- Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника является продолжением биссектрисы внутреннего угла.
- Биссектрисы внутреннего и внешнего углов равнобедренного треугольника образуют угол, равный половине суммы внутренних и внешних углов треугольника.
Эти свойства биссектрисы равнобедренного треугольника помогают в решении задач по нахождению длин сторон, углов и других параметров этого треугольника.
Заключение
Биссектриса является одной из важнейших линий равнобедренного треугольника, объединяя свойства медианы и других значимых линий. Понимание свойств биссектрисы поможет вам эффективно решать геометрические задачи и изучать структуру равнобедренных треугольников.
Равнобедренный треугольник и его свойства
Рассмотрим любой равнобедренный треугольник. У такого треугольника две стороны и два угла равны между собой.
Биссектрисы в равнобедренном треугольнике
Биссектрисы как медианы
Также стоит отметить, что в равнобедренном треугольнике все биссектрисы являются медианами, соединяющими вершину с серединой противоположной стороны.
Любая биссектриса через вершину равнобедренного треугольника
Оказывается, что любая биссектриса, проведенная через вершину равнобедренного треугольника, является медианой.
Биссектриса равноудалена от основания и боковой стороны
В равнобедренном треугольнике биссектриса, делящая угол пополам, равноудалена от основания и делит его на равные отрезки.
Высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике
Биссектриса делит высоту на две равные части
Биссектриса в равнобедренном треугольнике делит его высоту на две равные части.
Свойства биссектрис в равнобедренных треугольниках играют важную роль в геометрических вычислениях и доказательствах. Лучше всего понять их значение, решая различные задачи и проводя конкретные геометрические построения.
Свойства биссектрис и вписанных окружностей в равнобедренных треугольниках
Таким образом, если треугольник равнобедренный, биссектриса, проведенная из вершины до основания, делит высоту на две равные части. Это обстоятельство может использоваться при решении различных задач нахождения отрезков и углов в равнобедренных треугольниках.
Биссектрисы различных углов равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке
Биссектриса — это линия, которая делит угол на два равных по величине угла. В равнобедренном треугольнике каждая из биссектрис соответствующих углов имеет особое свойство: они все пересекаются в одной точке, которая лежит на пунктирной прямой, равноудаленной от всех сторон треугольника.
- Биссектриса основного угла: Пересекает биссектрисы двух других углов в одной точке, центре вписанной окружности
- Биссектриса угла у основания: Половина основания равнобедренного треугольника
- Биссектриса угла при вершине: Перпендикулярна к основанию равнобедренного треугольника
Таким образом, пересечение биссектрис различных углов равнобедренного треугольника создает особую точку, которая является центром вписанной окружности. Это свойство может быть использовано для решения различных задач, связанных с равнобедренными треугольниками.
Вопросы и утверждения
Какие из следующих утверждений верны?
Утверждения:
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.
- Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.
- Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
- Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
Проверка:
- Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.
- Всякий равносторонний треугольник является остроугольным.
- Любой квадрат является прямоугольником.
Дополнительные утверждения
Утверждения:
- Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.
- Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.
- Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса.
Еще утверждения:
- Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
- Диагонали прямоугольника равны.
- У любой трапеции основания параллельны.
Сравнение и проверка утверждений
Утверждения:
- Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.
- Прямая не имеет осей симметрии.
- Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.
- Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.
Еще утверждения:
- Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведённой к основанию треугольника.
- Квадрат является прямоугольником.
- Сумма углов любого треугольника равна 180°.
Заключение
Итак, биссектрисы и вписанные окружности в равнобедренных треугольниках представляют собой важные концепции, которые могут использоваться для решения различных задач и доказательств в геометрии. Понимание этих свойств поможет углубить знания о структуре и взаимосвязи элементов равнобедренных треугольников.
Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.
1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
2. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.
Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.
Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.
В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность.
Диагональ параллелограмма делит его углы пополам.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
Смежные углы равны.
Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.
Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
У любой трапеции боковые стороны равны.
1. Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
3. Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.
1. Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
2. Любые два равносторонних треугольника подобны.
3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
1. Все высоты равностороннего треугольника равны.
2. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
3. В любой ромб можно вписать окружность.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.
Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.
Через любые три точки проходит не более одной прямой.
Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.
Существует квадрат, который не является ромбом.
Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
Любые два равнобедренных треугольника подобны.
Любые два прямоугольных треугольника подобны.
, у которого = 5, является тупоугольным.
Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.
Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.
Диагонали квадрата равны.
Диагонали параллелограмма делят его углы пополам.
1. Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.
2. Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
3. Все хорды одной окружности равны между собой.
1. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
2. Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
3. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
1. Треугольник со сторонами 10, 12, 4 существует.
2. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
3. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.
Через любую точку проходит не менее одной прямой.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Все диаметры окружности равны между собой.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.
Если расстояние от центра окружности до прямой равно диаметру окружности, то эти прямая и окружность касаются.
Если радиус окружности равен 2, а расстояние от центра окружности до прямой равно 3, то эти прямая и окружность не имеют общих точек.
1. Вертикальные углы равны.
2. Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
3. Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.
Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.
Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
1. Все углы ромба равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
3. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника
3. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
Около любой равнобедреннной трапеции можно описать окружность.
Около любого ромба можно описать окружность.
Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис.
Все квадраты подобны.
Через любые три точки проходит ровно одна прямая.
Сумма смежных углов равна 90°.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны.
Через любые две точки проходит не более одной прямой.
1.Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
2.Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
3.Треугольника со сторонами 2, 2, 4 не существует.
Любые три прямые имеют не более одной общей точки.
Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°.
Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.
Любые два прямоугольных треугольника подобны.
Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними
Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на сумму оснований.
Через любые две точки можно провести прямую.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.
При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°.
Диагонали ромба перпендикулярны.
Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис.
2. Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
3. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
Если дуга окружности составляет 80°, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен 40°.
Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.
Вписанные углы окружности равны.
1. Все хорды одной окружности равны между собой.
2. Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника
3. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
1. Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
2. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
3. Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
1. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
2. Все углы прямоугольника равны.
3. Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
1. Все углы равнобедренного треугольника равны.
2. Угол, вписанный в окружность, в два раза меньше соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна сумме длин его катетов.
Около любой трапеции можно описать окружность.
Около прямоугольника можно описать окружность.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.
Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 градусам.
Биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.
Сумма смежных углов равна 90°.
2.Площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту.
3.Треугольника со сторонами 8, 8, 1 не существует.
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его смежных сторон.
Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 4.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
, у которого = 5, является прямоугольным.
1. Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам
2. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Вертикальные углы равны.
Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.
Через любые три точки проходит не более одной окружности.
Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°.
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Основания любой трапеции параллельны.
Через любые три точки проходит ровно одна прямая.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы равны.
Если сторона и два угла одного треугольника равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
1. В параллелограмме есть два равных угла.
3. Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.
1. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
2. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.
3. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180°.
1. Треугольника со сторонами 3, 2, 1 не существует.
2. Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.
3. Все диаметры окружности равны между собой.
1. Сумма углов любого треугольника равна 360°.
2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
3. Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
1. Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
2. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
3. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
1. В трапеции две стороны параллельны..
2. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны
2. Высота равнобедренного треугольника является его медианой.
3. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
1. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
2. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
3. Сумма двух углов вписанного четырехугольника равна 180°
1. Если угол прямой, то смежный с ним угол также является прямым.
2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
3. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
1. Биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой
2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
1. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
3. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
1. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
2. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
3. Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Центром окружности, вписанной в квадрат, является точка пересечения его диагоналей.
Если стороны прямоугольника равны 3 и 4, то диаметр описанной около него окружности, равен 5.
Сумма противоположных углов описанного четырехугольника равна 180°
Если в четырехугольнике две стороны параллельны, а две другие равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Диагонали параллелограмма равны.
Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 130°.
Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.
Треугольник со сторонами 3, 2, 4 существует.
Точка касания двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
В параллелограмме есть два равных угла.
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов
Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3.Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.
В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.
Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.
Если два угла в сумме составляют 180°, то они смежные.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.
Через любые три точки проходит не более одной прямой.
Сумма вертикальных углов равна 180°.
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
Треугольника со сторонами 2, 2, 5 не существует.
Сумма углов любого треугольника равна 360°.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.
Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
Около любого ромба можно описать окружность.
В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.
Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
1. Все квадраты имеют равные площади.
2. Основания равнобедренной трапеции равны.
3. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны
1. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
3. Диагонали ромба равны.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
Смежные углы равны.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180°,
Вписанные углы окружности равны.
Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
Через любые две точки проходит не более одной прямой.
Если расстояние от точки до прямой больше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, больше 1.
Периметр прямоугольника равен произведению длин всех его сторон
Диагонали параллелограмма делят его углы пополам.
Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований, деленной на 2.
3. В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
Около любого прямоугольника можно описать окружность.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны 90°, то прямые параллельны.
Любые три прямые имеют не более одной общей точки.
Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°.
Если в четырехугольнике две стороны параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
1. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
Сумма углов остроугольного треугольника равна 180° .
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.
Через любую точку проходит более одной прямой.
Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
Диагонали параллелограмма равны.
Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны
Если угол прямой, то смежный с ним угол также является прямым.
2. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
3. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
1. Диагональ ромба является биссектрисой угла, из которого она проведена.
1. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
2. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°.
3. Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
2. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
3. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.
Если в четырехугольнике две стороны параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
Сумма сторон четырехугольника равна его периметру.
Площадь ромба равна произведению его диагоналей
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны.
1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
3. Любой квадрат является прямоугольником.
1. Противоположные углы ромба равны.
3. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 является прямоугольным.
1. Диагонали параллелограмма равны.
3. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Диагонали ромба равны.
3. Тангенс любого острого угла меньше единицы.
1. Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
2. Боковые стороны любой трапеции равны.
1. Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.
2. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
3. Основания любой трапеции параллельны.
1. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
2. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
3. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
1. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.
Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.
Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.
В прямоугольном треугольнике катет прилежащий к углу в 30° равен половине гипотенузы.
Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
1. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
2. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
3. Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.
2. Сумма углов остроугольного треугольника равна 180°.
3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
3. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
1. Смежные углы в сумме равны 180°.
2. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
3. Сумма углов трапеции равна 360°.
1. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
2. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
3. Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
1. Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной.
2. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к противолежащему катету
3. Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника не смежных с ним.
1. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
2. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно диаметру.
Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3. В четырёхугольник можно вписать окружность, если равны суммы противоположных сторон.
1. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
2. Квадрат – это ромб с равными углами.
3. Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
НЕВЕРНО (Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны)
Если стороны одного четырѐхугольника соответственно равны сторонам другого четырѐхугольника, то такие четырѐхугольники равны.
НЕВЕРНО (например, сторона квадрата 5 и сторона ромба 5, но эти фигуры не равны, т.к. не совпадут при наложении)
ВЕРНО. (т. к. треугольник, два угла которого равны, является равнобедренным, причѐм равные стороны лежат напротив равных углов.)
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
ВЕРНО (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против меньшего угла – меньшая сторона)
НЕВЕРНО (неравенство треугольника не выполняется: каждая сторона меньше суммы двух других сторон)
Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным.
НЕВЕРНО (может быть треугольник, например, с углами 120,30 и 30 градусов – тупоугольный.)
ВЕРНО. в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов
Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов
Все высоты равностороннего треуголка равны
ВЕРНО. Также равны биссектрисы и медианы
Если площади фигур равны, то и сами фигуры равны
НЕВЕРНО. площадь треугольника может быть 4, как и площадь квадрата
НЕВЕРНО (площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними 1 2 absinA)
ВЕРНО (Первый признак подобия . Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны)
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трѐм сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
ВЕРНО (Третий признак подобия. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.)
НЕВЕРНО (углы у одного равнобедренного треугольника могут быть не равны углам второго равнобедренного треугольника, поэтому нет признака подобия)
ВЕРНО (углы у всех равнобедренных треугольников равны 60 градусов, поэтому равносторонние треугольники подобны по первому признаку подобия)