Ент 2024 математическая грамотность

Математика и геометрия: понятие площади

Математика научит вас вычислять размеры основных геометрических фигур, а знание простых формул пригодится при обучении. Умение рассчитывать площади различных фигур имеет практическое применение.

Задачи на квадратной решетке

Задание 1:

Размеры клетки 1 дм x 1 дм.
Данная фигура равновелика прямоугольнику с длиной 10 дм и шириной:

1. 4 дм
2. 2 дм
3. 3 дм
4. 5 дм

Задание 2:

Размеры клетки 1 см x 1 см.
Данная фигура равновелика квадрату со стороной, равной:

1. 7 см
2. 6 см
3. 4 см
4. 5 см

Задание 3:

Если площадь одной клетки равна 1 кв. ед., то площадь фигуры равна.
Фигура составляется из квадратов, как показано на рисунке. В каждом следующем ряду на 2 квадрата больше, чем в предыдущем. Число квадратов в 15-м ряду равно.

Задание 4:

Размеры клетки 1 см × 1 см.
Данная фигура равновелика прямоугольнику с длиной 10 см и шириной, равной:

1. 3 см
2. 4 см
3. 2 см

Вопросы и утверждения

1. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
   Неверно

2. Если стороны одного четырехугольника соответственно равны сторонам другого четырехугольника, то такие четыреугольники равны.
   Неверно

3. Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
   Верно

4. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
   Верно

5. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
   Неверно

6. Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным.
   Неверно

7. Всякий равносторонний треугольник является остроугольным.
   Верно

8. Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов.
   Верно

9. Все высоты равностороннего треугольника равны.
   Верно

10. Если площади фигур равны, то и сами фигуры равны.
    Неверно

11. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
    Верно

Признаки подобия треугольников

Третий признак подобия

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

ВЕРНО

Равнобедренные треугольники

Любые два равнобедренных треугольника подобны.

НЕВЕРНО

Углы у одного равнобедренного треугольника могут быть не равны углам второго равнобедренного треугольника, поэтому нет признака подобия.

Равносторонние треугольники

Любые два равносторонних треугольника подобны.

ВЕРНО

Углы у всех равнобедренных треугольников равны 60 градусов, поэтому равносторонние треугольники подобны по первому признаку подобия.

Площадь прямоугольника

Площадь геометрической фигуры – это пространство на плоскости, заключенное в пределах периметра или границ данной фигуры.

Для прямоугольника площадь вычисляется как произведение его длины на ширину: S = a x b, где S – площадь, а и b – смежные стороны прямоугольника.

Пример: если сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то S = 10 x 5 = 50 см².

Площадь параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, равны и соединены под разными углами.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на его высоту: S = a x h, где a – основание, h – высота.

Для ромба, который является параллелограммом с равными сторонами, площадь равна половине произведения его диагоналей: S = d1 x d2 ÷ 2.

Пример: если d1 = 3 см, d2 = 6 см, то площадь ромба S = 3 x 6 ÷ 2 = 9 см².

Для более понятного представления и обучения геометрии, рекомендуется обратиться к образовательным ресурсам, таким как Twinkl и Splash Learn.

Формула вычисления площади параллелограмма: NUR.KZ

Площадь круга

Круг — это геометрическая фигура, которую создает замкнутая кривая линия, а все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от центра, а граница круга — это окружность. То есть круг — это часть плоскости внутри окружности.

У окружности есть радиус (расстояние от центра до любой точки окружности) и диаметр (соединяет две точки на окружности и проходит через ее центр). Диаметр равен двум радиусам.

Формула для вычисления площади круга

Площадь круга можно вычислить с помощью радиуса (r), диаметра (d), а также числа π. Число π — это константа (постоянная величина), которая равна отношению длины окружности к диаметру, π всегда равна 3,14. Формулы для расчетов:

S = π * r^2
S = π * (d^2) / 4

Иногда, чтобы найти площадь круга, требуется знать только длину его окружности (обозначается как L). В таком случае площадь круга вычисляется по формуле S=L²÷4π. Например, при L=40 см, площадь круга будет равна 20,09 см².

Площадь квадрата

Квадратом называется четырехугольник, все стороны которого равны и соединены под прямыми углами.

Способы вычисления площади квадрата

Для нахождения площади квадрата есть несколько способов, в зависимости от известной информации о нем.

По формуле S=a×a

Чтобы вычислить площадь квадрата по известной стороне (a), используйте формулу:

S = a * a

По известному периметру

Чтобы определить площадь квадрата по известному периметру, можно сначала найти длину одной стороны, разделив периметр на 4, так как все стороны квадрата равны.

Например, если периметр равен 20 см, то каждая сторона будет равна 5 см. Затем применяется формула S = a² для нахождения площади.

Площадь трапеции

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (называются основаниями), а две боковые — разные.

Формула для вычисления площади трапеции

Площадь трапеции рассчитывается по формуле: S = (a + b) ÷ 2 × h, где a и b — основания, h — высота.

Например, при a=10 см, b=6 см, h=8 см, площадь трапеции будет равна 64 см².

Площадь треугольника

Треугольники создают три отрезка ломаной линии, которые соединяются в трех вершинах.

Формула для вычисления площади треугольника

Для вычисления площади треугольника необходимо знать одну из его сторон и высоту, проведенную на эту сторону. Тогда площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

S = (a × h) ÷ 2

Например, если для треугольника дана высота h=7 см, основание a=10 см, то площадь будет равна 35 см² при использовании этой формулы.

Расчет площади прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике две стороны соединены под прямым углом 90° и называются катетами. Тогда один из его катетов (a) можно считать основанием, а второй (b) — высотой, проведенной на основание.

Площадь такого треугольника равна половине произведения его катетов:

S = (a × b) ÷ 2

Например, если a = 8 см, b = 5 см, то

S = (8 × 5) ÷ 2 = 20 см²

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника со сторонами 8 см и 5 см равна 20 квадратным сантиметрам.