Верные утверждения по геометрии

Теория по геометрии к ОГЭ. Задание 19.

Согласно теореме о сумме углов многоугольника, сумма углов четырёхугольника без самопересечений равна 360°.

Симметрии некоторых четырёхугольников

На рис. показаны некоторые симметричные четырёхугольники, их переход друг в друга, а также дуальные к ним. Обозначения на рис.

Внеописанный четырёхугольник для окружности

Внеописанный четырёхугольник ABCD и его вневписанная окружность

Внеописанный четырёхугольник для параболы

Замечание. Первая и вторая средние линии четырёхугольника — отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон

Формулы для четырёхугольников

Где p — полупериметр, а есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. Из этой формулы для вписанных четырёхугольников следует формула Брахмагупты.

Где p — полупериметр, e и f — диагонали четырёхугольника.

Для непрямоугольных четырёхугольников эта формула даёт завышенное значение площади. Можно предположить, что она использовалась только для определения площади почти прямоугольных участков земли. При неточном измерении сторон прямоугольника эта формула позволяет повысить точность результата за счёт усреднения исходных измерений.

Неравенство сторон

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон.

Эквивалентно: в любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны.

Для сторон и диагоналей выпуклого четырёхугольника выполнено неравенство Птолемея:

Причём равенство достигается тогда и только тогда, когда выпуклый четырёхугольник вписан в окружность или его вершины лежат на одной прямой.

Соотношения между сторонами и диагоналями

Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

Это соотношение можно представить в виде определителя:

Соотношения Бретшнайдера — соотношение между сторонами , , и и противоположными углами и диагоналями , простого (несамопересекающегося) четырёхугольника:

Достоверность этого раздела статьи поставлена под сомнение. Необходимо проверить точность фактов, изложенных в этом разделе.На странице обсуждения могут быть пояснения. (26 апреля 2023)

Четырёхугольники с параллельными противоположными сторонами

Полный четырёхсторонник

Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется полным четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Ньютона — Гаусса, прямая Обера, теорема Микеля и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.

Задания

. Угол

Угол $\angle x = 117°$. Найдите угол $x$. Ответ дайте в градусах.

. Окружность

Центр окружности, описанной около треугольника $\triangle ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 20. Найдите $\angle ABC$.

. Площадь треугольника

Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.

. Площадь параллелограмма

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

. Утверждения

Какое из следующих утверждений верно?

1. Две различные прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

2. Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.

3. Все углы ромба равны.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

. Прямоугольный треугольник

Высота $CD$ является основанием высоты $AC$, проведённой из вершины прямого угла $A$. Окружность с диаметром $BC$.

Катеты прямоугольного треугольника равны $CD$ и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

. Угол на окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ известно, что $\angle ACB = 44°$. Найдите угол $\angle ADB$. Ответ дайте в градусах.

. Площадь параллелограмма

Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов — 45°. Найдите площадь параллелограмма.

. Длина средней линии

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник $\triangle DEF$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $DF$.

. Утверждения

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти две прямые параллельны.

2. В любой треугольник можно вписать окружность.

3. Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

. Диагонали параллелограмма

$M$ — середина стороны $AB$. Известно, что $\angle AMD = 90°$. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

. Углы и касательные

Прямая касается окружности в точке $A$ — центр окружности. Хорда $BC$ образует с касательной угол, равный 75°. Найдите величину угла $\angle BAC$. Ответ дайте в градусах.

. Площадь трапеции

Основания трапеции равны 7 и 42, одна из боковых сторон равна 20, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $x$.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

. Утверждения

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.

2. Все углы ромба равны.

3. Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.

. Пересечение диагоналей

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки $NO$, $OP$ равны.

. Высота трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $A$, делит основание на отрезки длиной 1 и $x$. Найдите длину основания $BC$.

Решение геометрических задач

Задача 1

Окружность с центром в точке описана около равнобедренного треугольника , в котором = 62°. Найдите величину угла . Ответ дайте в градусах.

Задача 2

Сторона ромба равна 50, а диагональ равна 80. Найдите площадь ромба.

Задача 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Задача 4

1. В параллелограмме есть два равных угла.
2. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3. Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.

Задача 5

Найдите больший угол равнобедренной трапеции, если одна из диагоналей образует угол 120° с основанием и боковой стороной.

Задача 6

К окружности с центром в точке . Найдите радиус окружности, если равна 18. Точка — середина стороны . Найдите площадь трапеции.

Задача 7

1. Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
2. В параллелограмме есть два равных угла.
3. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Задача 8

В остроугольном треугольнике . Докажите, что углы вписаны в окружность. Угол равен 120°, угол равен 74°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Задача 9

Угол = 33 касается окружности радиуса 56 с центром . Окружность пересекает отрезок

Задача 10

Периметр ромба равен 28, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.

Задача 11

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки . Найдите расстояние от точки до середины отрезка . Ответ выразите в сантиметрах.

Задача 12

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
2. В любой прямоугольник можно вписать окружность.
3. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

Задача 13

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.

Задача 14

— середина стороны . Известно, что . Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Задача 15

В выпуклом четырехугольнике описана около окружности. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен , угол, лежащий напротив него, равен 60°, а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника.

Задача 16

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

Задача 17

1. Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.

Задача 18

Окружность пересекает стороны соответственно и проходит через вершины . Найдите длину отрезка = 7, а сторона в 1,4 раза больше стороны

Задача 19

Вариант № 8

Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен . Найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 54.

Задача 20

Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Найдите угол , если угол равен 9°. Ответ дайте в градусах.

Задача 21

= 1, а её площадь равна 63. Найдите площадь трапеции – средняя линия трапеции

Задача 22

На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки . Найдите расстояние от точки . Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ на задания

Задание 1

1. 123

Задание 2

1. 2

Задание 3

1. 1

Задание 4

1. 13

Задание 5

1. 121

Задание 6

1. 3

Задание 7

1. 2

Задание 8

1. 3

Задание 9

1. 14

Задание 10

1. 2

Задание 11

1. 3

Задание 12

1. 2

Задание 13

1. 2

Задание 14

1. 3

Задание 15

1. 60

Как видно из ответов, в каждом блоке только одно утверждение является верным. Надеемся, что этот материал поможет вам подготовиться к выполнению заданий!

Найдите тангенс угла , изображённого на рисунке.

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

3. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Вариант № 16

— биссектриса. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

В окружности с центром — диаметры. Центральный угол равен 74°. Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.

равна 56. Точка — середина стороны . Найдите площадь трапеции

В выпуклом четырёхугольнике равны. Докажите, что углы

Вариант №1( 32422802)

Вариант №2( 32423300)

Вариант № 3(32423426)

Вариант №4( 32423522)

Вариант № 5(32423631)

Вариант №6( 32423772)

Вариант № 7(32423900)

Вариант № 8(32424009)

Вариант №9( 32424084)

Вариант №10( 32424169)

Вариант №11( 32424257)

Вариант № 12(32424343)

Вариант № 13(32424385)

Вариант № 14(32424541)

Вариант №15( 32424601)

Вариант № 32424671

Свойства диагоналей некоторых четырёхугольников

Четырёхугольник Деление диагоналей пополам в точке их пересечения Перпендикулярность диагоналей Равенство длин диагоналей Деление углов пополам диагоналями

Трапеция Нет См. замечание 1 Нет Нет

Равнобедренная трапеция Нет См. замечание 1 Да Хотя бы двух противоположных углов

Дельтоид См. замечание 2 Да См. замечание 2 См. замечание 2

Замечание 1: Наиболее общие трапеции и равнобедренные трапеций не имеют перпендикулярных диагоналей, но есть бесконечное число (неподобных) трапеций и равнобедренных трапеций, которые действительно имеют перпендикулярные диагонали и не похожи на какой-либо другой названный четырёхугольник.Замечание 2: У дельтоида одна диагональ делит пополам другую. Другая же диагональ делит его противоположные углы пополам. Наиболее общий дельтоид имеет неодинаковые диагонали, но есть бесконечное число (неподобных) дельтоидов, у которых диагонали равны по длине (и дельтоиды не являются каким-либо другим из названных четырёхугольников).

Специальные прямые линии четырёхугольника

Точки E, K, F лежат на одной прямой, прямой Ньютона

Теоремы о средних линиях четырёхугольника

Запрос «Бимедиана» перенаправляется сюда; о бимедиане тетраэдра см. Тетраэдр#Свойства.

Прямая, получаемая соединением середин диагоналей (L, M и N), называется прямой Ньютона — Гаусса (зелёная)

Ортополярные линии ортополюсов троек вершин четырехугольника

Внутри четырёхугольника существует точка Понселе (см. параграф "Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника").

Точка Микеля четырёхугольника

Внутри четырёхугольника существует точка Микеля.

Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника

описанный четырёхугольник ортодиагональный четырёхугольник

– ортодиагональный четырехугольник, и прямоугольники, вписанные в , и стороны которых параллельны диагоналям четырехугольник.

– ортодиагональный четырехугольник. и точки Паскаля, формируемые с помощью окружности , – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника вписанного в . и точки Паскаля, формируемые с помощью окружности , – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника вписанного в .

Частные случаи четырёхугольников

1. Первая теорема Птолемея

2. Вторая теорема Птолемея

В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d, b и c опираются своими концами на диагональ длиной e. Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя.

3. Формулы для длин диагоналей (следствия первой и второй теорем Птолемея)

Японская теорема (Japanese theorem)

Теорема Микеля-Штейнера для четырёхстронника

где p — полупериметр четырёхугольника.

Вписанные четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями

Вводя понятие полупериметра p, имеем . Следовательно, также имеем . Далее можно заметить: Следовательно, Тогда по формуле (1) в рамке в параграфе «Площадь» имеем

Вписано-описанные четырёхугольники ABCD и EFGH и Поризм Понселе для них

Вписано-описанный четырёхугольник ABCD с центром I вписанной и с центром O описанной окружностей

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD и его внутренне-касающийся вписанный четырёхугольник WXYZ

Для вписанно-описанного четырёхугольника справедлива теорема Понселе

Площадь вписанно-описанного четырёхугольника

Разбиение сторон касательного четырехугольника точками касания с окружностью