Построение осевой линии
Чтобы построить осевую линию – биссектрису угла, образованного двумя указанными прямолинейными объектами, выполните следующие действия.
- Перейдите в режим построения осевой линии.
- Выберите способ построения осевой линии из предложенных.
- Укажите объекты для построения осевой линии.
Построение осевой линии относительно двух отрезков
Если выбран способ построения относительно двух отрезков:
- Укажите два отрезка.
- Осевая линия будет построена на биссектрисе угла, образованного этими отрезками.
Построение осевой линии относительно параллельных отрезков
Если отрезки параллельны:
- Осевая линия будет равноудалена от отрезков.
- Точки осевой линии находятся на линиях, соединяющих концы этих отрезков.
Построение осевой линии с указанием границ
Если выбран способ с указанием границ:
- Укажите два отрезка и первую и вторую точки осевой линии.
- Осевая линия будет построена на биссектрисе угла, образованного указанными отрезками.
Для точного задания положения осевой линии используйте привязки.
Для завершения работы команды нажмите кнопку Завершить.
Биссектриса угла треугольника
Биссектриса угла треугольника – это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части. Точки А и В равноудалены от сторон угла, что является условием равенства углов.
Важные факты о биссектрисах углов
Если вы очень внимательны и/или до просмотра этой темы изучили тему окружностей, то вам этот рисунок может показаться очень знакомым. Из определения окружности следует, что точки А и В можно рассмотреть как центры окружностей, вписанных в данный угол, а проведенные перпендикуляры представить в виде радиусов этих окружностей.
Также похожая ситуация складывается, если провести из одной точки две касательные к одной окружности.
Самое интересное заключается в том, что этот факт полностью вытекает из предыдущего.
Вы можете попробовать самостоятельно это прочувствовать.
Шаги для самостоятельного эксперимента
- Нарисуйте треугольник и проведите 2 пересекающиеся биссектрисы.
- Из точки пересечения опустите перпендикуляры к сторонам углов, из которых вы провели биссектрисы.
- Так как перпендикуляры должны быть между собой равны, получается, что из точки пересечения биссектрис выходит 3 равных между собой отрезка. Значит, концы этих перпендикуляров лежат на одной окружности, а сами перпендикуляры являются радиусами (следует из определения окружности).
- Вы также можете соединить точку пересечения биссектрис с вершиной оставшегося третьего угла. Полученный отрезок будет являться частью биссектрисы, по обратному свойству, описанному выше (если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе).
Что это все означает? Важно уже сейчас понять, что в геометрии на самом деле достаточно выучить базовые факты (их немало). Остальные будут выводиться уже из них.
Если вы научитесь понимать взаимосвязь между всеми этими теоремами и свойствами, вам не придется зубрить тонны формул, а самое важно заключается в том, что вы научитесь применять все эти знания на практике и будете видеть, что от вас хотят в той или иной задаче.
Определение биссектрисы угла треугольника
Биссектриса угла треугольника — это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части.
Важные свойства биссектрис углов треугольника
- Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла. Это не самый запоминающийся факт, но знание этого свойства может помочь при анализе возможных построений в задачах геометрии.
- Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Теоремы и свойства в геометрии
Теорема о перпендикулярах
Перпендикуляры должны быть между собой равны, что означает, что из точки пересечения биссектрис выходит 3 равных между собой отрезка. Это означает, что концы перпендикуляров лежат на одной окружности, а сами перпендикуляры являются радиусами.
Соединение точки пересечения биссектрис с вершиной третьего угла
Вы можете соединить точку пересечения биссектрис с вершиной оставшегося третьего угла. Полученный отрезок будет частью биссектрисы.
Теорема о биссектрисе
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Это важное свойство на второй части экзамена.
Нахождение длины биссектрисы
Длина биссектрисы в основном применяется во второй части экзамена. Лучше выучить формулу для нахождения длины биссектрисы.
Высота в треугольнике
Высота в треугольнике – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Это также важное свойство геометрии.
Понимание понятия высоты в геометрии
При изучении геометрии высота играет важную роль. Особенно важно понять, что высота проводится к прямой, которая содержит противоположную сторону треугольника. Некоторым школьникам бывает сложно проводить высоту в тупоугольном треугольнике, но освоив данную идею и отработав ее на практике, будет гораздо легче работать с этой фигурой.
Свойства высоты треугольника
Высоты треугольника пересекаются в одной точке (в ортоцентре). Это понятие часто используется для нахождения площади треугольника или при рассмотрении прямоугольного треугольника, где высота является одной из сторон.
Подобные треугольники при проведении двух высот в треугольнике. Это свойство можно легко доказать, рассмотрев прямоугольные треугольники ABA₁ и СBС₁. При этом важно отметить, что отношение пропорциональных сторон треугольников равно косинусу угла. Это знание может быть полезно при решении задач на подобие треугольников.
Окружности при проведении высот. В геометрии можно заметить несколько окружностей, связанных с проведением высот треугольника. Изучив углы и свойства окружностей, можно сделать выводы о равенстве углов и дуг треугольника.
Понимание понятия высоты и ее свойств позволит легче справляться с геометрическими задачами и уверенно решать сложные вопросы на экзамене.
Вторая окружность территориально находится сверху и связывает вершины верхнего маленького треугольника и точку пересечения высот.
Это происходит потому, что в четырехугольнике ОС₁ВA₁ противоположные углы (по 90 градусов) в сумме дают 180 градусов, а значит, этот четырехугольник можно вписать в окружность. Более того отрезок BO будет являться диаметром этой окружности, так как на него опирается прямой вписанный угол ОС₁В (или угол ВA₁О).
Серединный перпендикуляр – это перпендикуляр к отрезку, который проходит через середину этого отрезка. (Логично, ничего не скажешь).
Зачем он нужен? Что нужно про него знать? Как часто используется на экзамене?
Ответим на эти вопросы в данной статье.
1. Любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка.
Доказывается это не очень сложно.
Важно лишь заметить, что в полученных треугольниках высота является в то же время медианой. Поэтому мы можем утверждать, что они являются равнобедренными, а значит, боковые стороны этих треугольников равны.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной окружности.
В первой части серединный перпендикуляр встречается крайне редко. Про вторую часть можно сказать почти также 🙂
Однако знайте, по закону подлости может оказаться, что именно вам попадется задача на использование свойств серединных перпендикуляров. Поэтому как минимум полезно держать эти свойства у себя в голове и периодически повторять их.
Большинство задач второй части содержат в себе несколько идей, где тема серединного перпендикуляра может не быть основной. При этом она может оказаться той самой маленькой деталью пазла, которая поможет собрать целостное представление о задаче.
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Разберемся в том, что необходимо знать про медиану, чтобы успешно справиться с заданиями на экзамене.
1. Медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 к 1, считая от вершины.
Все, что так или иначе связано с отношениями, любят спрашивать во второй части экзамена. Иногда необходимо использовать это свойство напрямую, чтобы найти какой-либо спрашиваемый элемент задачи, но достаточно часто это свойство используют как первый этап для нахождения чего-то более трудного.
Так, есть задачи, где на самих медианах ставят дополнительные точки, после чего их соединяют с серединами сторон треугольника, получая шестиугольник, с которым дальше необходимо работать. Подобные задания подробно рассматриваются на курсе МГ.
2. Медиана делит треугольник на два равновеликих.
Во второй части встречаются задачи на нахождение площадей отдельных кусочков фигур. В этом случае полезно обращать внимание на отношение оснований треугольников, лежащих на одной прямой.
Случай медианы является частным для более общей картины, которую приведем ниже.
Если в треугольнике провести какой-то отрезок (например, BD), то площади полученных треугольников будут относиться как их основания.
При проведении медианы площади равны, так как равны отрезки, на которые поделилось основание.
3. Нахождение длины медианы.
Также во второй части экзамена в некоторых случаях бывает крайне полезно найти длину медианы треугольника для вычисления других спрашиваемых величин. Это относительно легко сделать, если вы знаете 3 стороны треугольника.
Вообще, зная три стороны треугольника, можно найти все, что потенциально могут спросить на экзамене.
Разберем поэтапно каждое действие, которое необходимо будет выполнить для нахождения длины медианы.
Сначала определим, какую медиану будем искать.
В нашем случае рассмотрим треугольник с тремя известными сторонами и найдем длину медианы, проведенной к стороне «c» (по аналогии можно будет взять любую другую медиану).
Дальше на прямой, где лежит наша медиана, откладываем точно такой же по длине отрезок, как и наша медиана.
Теперь соединяем две вершины треугольника (из которых не выходит медиана) с концом построенного отрезка. В этом случае мы получаем четырехугольник, который будет являться параллелограммом.
Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Ну а вот теперь для кого-то начнется настоящая магия. У параллелограмма есть одно очень классное свойство, которое касается его сторон и диагоналей.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
В нашем случае мы применяем этот факт для нахождения длины медианы. Останется всего лишь выразить ее из полученного равенства и можно подставлять числа.
Этой формулой можно пользоваться на ЕГЭ без вывода, но ее крайне непросто запомнить, поэтому лучше понять идею того, как она выводится, чтобы на экзамене самому без проблем вывести ее.
Чтобы найти длину медианы к другой стороне, повторяем аналогичные действия. Можете попробовать сделать это самостоятельно.